基于MIMO系統(tǒng)的球形譯碼算法的改進(jìn)

陳云杰， 吳耀軍， 居貝思

（華東理工大學(xué) 信息學(xué)院，上海 200237）

0 引言

MIMO(多輸入多輸出)系統(tǒng)是近十年來(lái)現(xiàn)代數(shù)字通信領(lǐng)域最重大的技術(shù)突破之一。其優(yōu)勢(shì)在于潛在容量巨大，且隨著收發(fā)天線數(shù)目較小的一方呈線性增長(zhǎng)。但是 MIMO系統(tǒng)在帶來(lái)巨大容量的同時(shí)，也產(chǎn)生了極大的接收信號(hào)檢測(cè)復(fù)雜度。球形譯碼（SD）算法[1]最早由Fincke和Pohst提出，用于研究整數(shù)最小二乘問(wèn)題。Viterbo和Biglieri將SD算法引入到通信領(lǐng)域的多維星座的最大似然檢測(cè)中。已經(jīng)證明，采用窮盡搜索的ML檢測(cè)算法的復(fù)雜度隨天線數(shù)呈指數(shù)增長(zhǎng)，而 SD算法的復(fù)雜度在很大信噪比范圍內(nèi)與天線數(shù)呈多項(xiàng)式關(guān)系。因此，球形譯碼 SD算法可以用較少的計(jì)算量來(lái)獲得最大似然譯碼性能。但是也存在著一定的不足，如初始半徑的選擇，更新半徑的選擇和迭代次數(shù)等等。

在本文中，提出一種新的改進(jìn)的球形譯碼算法，它比傳統(tǒng)的算法要快得多。在文中，通過(guò)改變半徑收縮的速度來(lái)減小譯碼的復(fù)雜度。

1 MIMO 系統(tǒng)模型

考慮一個(gè)Nr×NtMIMO系統(tǒng)[2]，該系統(tǒng)有Nr個(gè)接收天線和Nt個(gè)發(fā)射天線。在該系統(tǒng)中，信道為平坦衰落信道，接收信號(hào)可以被表示為：

2 球形解碼及其改進(jìn)

2.1 傳統(tǒng)的球形譯碼算法[3]

球形譯碼的基本思想是在以一個(gè)矢量為中心的半徑為 d的多維球內(nèi)搜索格點(diǎn)通過(guò)限制或者減少搜索半徑從而減少搜索的點(diǎn)數(shù)，進(jìn)而使得計(jì)算時(shí)間減少。

復(fù)數(shù)表示的矩陣等式(1)能被轉(zhuǎn)換成實(shí)數(shù)的矩陣，其維數(shù)為原矩陣的兩倍，如下所示：

在球形譯碼中，球中的格點(diǎn)應(yīng)該能滿足下面的不等式：

為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們可以對(duì)矩陣H進(jìn)行QR分解[4]：

式（5）中( )*表示赫米特矩陣轉(zhuǎn)置，式(5)可以表示為：

式中,ijr 表示矩陣R中的第(i,j)個(gè)元素。R是上三角矩陣，根據(jù)上三角矩陣的性質(zhì)，我們可以得到上不等式的右邊(RHS)能被展開(kāi)成下式：

式中,右邊第一項(xiàng)決定于sm,第二項(xiàng)由來(lái)決定,以此類(lèi)推。因此，一個(gè)在球內(nèi)的點(diǎn)需滿足條件這個(gè)條件等價(jià)與sm屬于下式表示的范圍：

當(dāng)然，對(duì)于每一個(gè)sm也要滿足式(7),這里定義

式（6）中的前兩項(xiàng)是一個(gè)更需要滿足的條件，其使sm-1屬于下式表示的范圍：

以此類(lèi)推，可以用這種形式表示出sm-2，一直到s1。因此，我們可以滿足式(3)的所有網(wǎng)格點(diǎn)。

2.2 改進(jìn)的球形譯碼算法

在前面的部分中已經(jīng)提到過(guò)，傳統(tǒng)球形譯碼的一個(gè)重要因素是搜索半徑d的初始值。在這個(gè)部分中，我們提出一種改進(jìn)的球形譯碼算法，它的初始半徑d的選擇變得并不重要。在這個(gè)算法中，首先，我們選擇d為一個(gè)很大的值（如+∞），接著在傳統(tǒng)的譯碼算法上進(jìn)行改進(jìn)，以彌補(bǔ)這個(gè)半徑的選擇，并減少該算法的復(fù)雜度。

在我們改進(jìn)的方法中，我們主要的思想是加快半徑的縮減速度。在改進(jìn)的算法中，無(wú)論何時(shí)一個(gè)點(diǎn)在球內(nèi)被找到，新的半徑被定義為，在式中d'2前一個(gè)被發(fā)現(xiàn)點(diǎn)到球心距離的平方。其中，參數(shù)度量參數(shù)k(0≤1≤k)加快球形半徑的縮減速度。首先，初始半徑d應(yīng)該選擇的一個(gè)很大的值（如+∞）。換句話來(lái)說(shuō)，在第一階段，搜索區(qū)域是沒(méi)有限制的。但是，當(dāng)?shù)谝粋€(gè)點(diǎn)被找到后，搜索半徑將被設(shè)置成該點(diǎn)到球心的距離的平方。其中，系數(shù)k(t)被定義如下：

式中，t是在第n維網(wǎng)格中點(diǎn)的數(shù)目,α,β是控制收縮性能的參數(shù)，要進(jìn)行合適的選擇。

參數(shù)α和β用來(lái)控制彎曲部分的斜率和位置。對(duì)于α=∞的情況，參數(shù)k的值是1，在這種情況下，其性能等價(jià)于傳統(tǒng)的球形譯碼算法。從∞開(kāi)始遞減α可以加快算法的運(yùn)行速度。通過(guò)減小α，我們可以提高算法的速度。但是，對(duì)參數(shù)α或β取一個(gè)很小的值可能會(huì)產(chǎn)生一些錯(cuò)誤，且使其譯碼的性能有所下降。我們可以通過(guò)t的最大值來(lái)選擇參數(shù)α和β。t的最大值是由信號(hào)選擇的星座圖來(lái)決定的。如在4-PSK調(diào)制系統(tǒng)中的最大值是4([1+j,1-j,-1+j,-1-j])。

3 仿真結(jié)果

在仿真(如圖 1，下頁(yè)圖 2所示)中，我們采用兩個(gè)發(fā)射天線和兩個(gè)接收天線的MIMO系統(tǒng)。信息符號(hào)是從QPSK 星座圖中選取的。信道轉(zhuǎn)移矩陣H是隨機(jī)獨(dú)立高斯的，方差是0.5。在最初譯碼時(shí)，我們選取d的值等價(jià)于∞。接著，我們可以比較最大后驗(yàn)概率譯碼（MAP）、改進(jìn)的球形譯碼算法和傳統(tǒng)的球形譯碼算法。

圖1 α=5,β=3時(shí)的誤碼率

圖2 α=β=8時(shí)的誤碼率

圖1,圖2表示在銳利衰落信道中，參數(shù)α和β在不同的取值情況下，最大后驗(yàn)概率譯碼（MAP）、改進(jìn)的球形譯碼算法和傳統(tǒng)的算法的誤碼率。從圖1，圖2中可以看出，隨著信噪比的增加，在相同的信噪比情況下，在誤比特率上，改進(jìn)的球形譯碼算法在性能上非常接近于原來(lái)的算法，但其譯碼的速度提高了，隨著α和β的取值變小時(shí)，其譯碼性能有所下降，但誤碼率要比沒(méi)有進(jìn)行球形譯碼檢測(cè)的MAP譯碼小的多。

4 結(jié)語(yǔ)

在本文中，我們提出在MIMO系統(tǒng)中應(yīng)用的一種新的快速球形譯碼算法。在改進(jìn)的譯碼算法中，與傳統(tǒng)的譯碼算法相比，我們加快了搜索半徑的減小速率。因此，改進(jìn)算法的譯碼速度比傳統(tǒng)的譯碼速度更快。

我們也利用 Matlab軟件進(jìn)行仿真，展示了最大后驗(yàn)概率譯碼（MAP）、改進(jìn)的球形算法和傳統(tǒng)的球形算法的比較。在改進(jìn)的算法中，第一階段不限制搜索的區(qū)域。因此，初始半徑的選擇變得不重要。可以看出，改進(jìn)的譯碼算法比傳統(tǒng)的算法更快，且譯碼性能也接近于未改進(jìn)的球形譯碼[5]。

[1] Hochwald B M,Brink S T.Achieving Near-Capacity on a MultipleAntenna Channel[J].IEEE Transaction on Communication,2003,51(03):389-399.

[2] Burg A, Borgmann M, Zellwegger M. VLSI Implementation of MIMO Detection Using the Sphere Decoding Algorithm[J].IEEE J.Solid-State Circuits,2005,40(07):1566-1577.

[3] Hassibi B, Vikalo H.On the Sphere-Decoding Algorithm I.Expected Complexity[J].IEEE Transaction on Signal Processing,2005,53(08):2806-2818.

[4] Razavizadeh M, Vakili T. A New Sphere Decoder for MIMO System[J].IEEE Trans. Inform. Theory,2004,50(04):1639-1642.

[5] 單紅梅.MIMO系統(tǒng)中一種子空間追蹤的盲空時(shí)多用戶(hù)檢測(cè)方法[J].通信技術(shù),2008,41(08):79-80.