為何繩端速度如此分解

方銀良

(浙江省衢州二中,浙江衢州 324000)

用輕繩相聯(lián)系的“兩體”是高中物理常見的一種理想模型,這一類“兩體”問題經(jīng)常會(huì)涉及到“輕繩末端速度”的分解,這是高中物理教學(xué)中一個(gè)難點(diǎn).很多資料在介紹速度分解法時(shí),一般就明確告知學(xué)生此類問題要按運(yùn)動(dòng)的實(shí)際效果分解,或沿繩子方向和垂直于繩子方向分解,而沒有說明為什么要如此.對(duì)此學(xué)生知其然而不知其所以然,只能死記,沒有真正理解.下面筆者根據(jù)自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn),從例題入手,經(jīng)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、突破難點(diǎn)、例題解析、問題辨析等幾個(gè)方面一步一步地展開分析討論,讓學(xué)生理解為何要把繩端速度如此分解.

例.如圖1,甲小車在高臺(tái)上通過不可伸縮的輕繩拉動(dòng)地面上的乙小車,甲車以速度 v0做勻速直線運(yùn)動(dòng),當(dāng)傾斜繩子與水平面夾角為θ時(shí),求乙車的速度v.

分析:乙車的運(yùn)動(dòng)是由于繩子的牽引作用,但乙車并不沿繩子收縮方向運(yùn)動(dòng),它沿水平方向運(yùn)動(dòng).設(shè)甲車?yán)K子速度v0(即沿繩子方向速度)為牽引速度,很明顯乙車的速度不等于繩子牽引速度v0.要求乙車速度,一定得從繩子運(yùn)動(dòng)入手,那么兩者速度到底有什么關(guān)系呢?分析繩子上的點(diǎn),傾斜部分繩子上的各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)不沿繩子收縮方向(如B點(diǎn)沿BB′運(yùn)動(dòng),A點(diǎn)沿水平面運(yùn)動(dòng)),所以其上各點(diǎn)的速度是不一樣的,也不等于繩子牽引速度 v0,但由于繩子的不可伸縮性,傾斜部分繩子上點(diǎn)的速度在繩子上的投影都等于牽引速度v0.設(shè)繩子與乙車的接點(diǎn)為 A,則整根繩子上,只有A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)才是反映乙車的運(yùn)動(dòng).那么 A點(diǎn)的速度是多少呢?

圖1

圖2

現(xiàn)在我們就來研究接點(diǎn)A的實(shí)際運(yùn)動(dòng).A點(diǎn)水平向左運(yùn)動(dòng),可以看成如下兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的合成:一個(gè)沿繩子方向v1,一個(gè)垂直于繩子方向 v2(如圖2).兩分運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生兩個(gè)效果:v1的作用是使繩子收縮,v2的作用是使繩子轉(zhuǎn)動(dòng).因?yàn)榇怪崩K子方向的速度 v2對(duì)繩子收縮沒影響,故分速度v1與繩子牽引速度相等,即v1=v0,由平行四邊形定則可得此時(shí)乙物體的速度大小為

對(duì)于上面的分析,學(xué)生有疑惑:A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)為何一定要按圖2方向分解?沿其他方向分解不行嗎?

從理論上講,一個(gè)矢量不論是力、加速度、位移還是速度,都可以分解為無數(shù)對(duì)大小和方向不同的分矢量,而不像兩矢量合成那樣具有唯一性.一個(gè)實(shí)際的運(yùn)動(dòng)跟它的分運(yùn)動(dòng)形式無關(guān),只要分運(yùn)動(dòng)的合成是唯一的合運(yùn)動(dòng).即每一個(gè)分運(yùn)動(dòng)可能產(chǎn)生的影響可以不同,但所有分運(yùn)動(dòng)對(duì)物體總的影響是不變的.比如斜拋運(yùn)動(dòng)的分解,可以分解為豎直方向的勻變速直線運(yùn)動(dòng)和水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng);也可以是豎直方向的勻變速直線運(yùn)動(dòng)和初速方向的勻速直線運(yùn)動(dòng);還可以是沿初速方向的勻變速直線運(yùn)動(dòng)和垂直初速方向的勻變速直線運(yùn)動(dòng)等.

對(duì)于上述 A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),也應(yīng)該有多種分解方式.現(xiàn)在按圖3來分解,v3沿繩子方向,v4豎直向下.分析兩分速度的影響:因?yàn)?v4的作用既使繩子轉(zhuǎn)動(dòng),又使繩子伸長,它對(duì)繩子的收縮起作用,故分速度v3雖沿繩子方向,作用是使繩子收縮,它的大小卻與繩子牽引速度v0不相等.它們具體關(guān)系滿足v3-v4sinθ=v0,又因?yàn)?A點(diǎn)實(shí)際是水平運(yùn)動(dòng),故 v3sinθ=v4,而乙物體的速度大小 v=v3?cosθ,由以上可得結(jié)論是一樣的.

又如按圖4分解,v5方向與傾斜繩子的夾角為α,v6豎直向下.這時(shí)兩個(gè)分速度對(duì)繩子的收縮和轉(zhuǎn)動(dòng)都起作用.因?yàn)槔K子被牽引速度大小是不變的,可得方程 v5cosαv6sinθ=v0;又因?yàn)?A點(diǎn)水平運(yùn)動(dòng),故 v5sin(α+θ)=v6,v=v5cos(α+θ).由以上方程可得結(jié)論還是一樣的.

綜上所述,一個(gè)合運(yùn)動(dòng)的分解方式應(yīng)該是無數(shù)的,只是不同方法的解題難易差別很大.對(duì)于理想繩子端速度的分解,主要應(yīng)理解兩點(diǎn):一是繩子上各點(diǎn)的速度在繩上的投影是一樣的;二是弄清繩端的運(yùn)動(dòng)實(shí)際方向,即合運(yùn)動(dòng)的方向.繩端運(yùn)動(dòng)的分解可以任意,但要考慮清楚每個(gè)分運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的影響.如按圖2方式分解,兩分速度相互垂直,它們所起的影響相互獨(dú)立,所列方程比較簡單.而若按其他方向分解,那么各分速度的作用相互牽扯,列出的方程就比較復(fù)雜.所以,繩端速度分解一般沿繩子方向和垂直于繩子方向.

實(shí)際上,對(duì)于所有矢量的分解都是一樣,總是選取對(duì)解決問題最方便的分解方式.