基于確定當(dāng)量的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避零售商最優(yōu)訂貨決策分析

鄧景毅，張小康 DENG Jing-yi,ZHANG Xiao-kang

（1.暨南大學(xué) 管理學(xué)院，廣東 廣州 510632；2.廣東商學(xué)院 信息學(xué)院，廣東 廣州 510320）

供應(yīng)鏈?zhǔn)怯晒?yīng)商、零售商及用戶構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)，其目的是實(shí)現(xiàn)整體最優(yōu)，避免因局部理性造成的全局效率下降。在供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)上的各實(shí)體之間建立契約關(guān)系是的重要手段之一，包括批發(fā)價(jià)格契約、數(shù)量彈性契約、收入共享契約、銷售回扣契約、回購契約等[1-5]。目前，大部分的供應(yīng)鏈契約理論都是以報(bào)童模型為基礎(chǔ)，并且進(jìn)一步發(fā)展該模型。報(bào)童模型的假設(shè)之一是：供應(yīng)鏈實(shí)體 （agent）是風(fēng)險(xiǎn)中性的——各實(shí)體的目標(biāo)是收益最大化。但是，現(xiàn)實(shí)中的實(shí)體并不都是風(fēng)險(xiǎn)中性的，它們可能存在各種風(fēng)險(xiǎn)偏好，既可能是始終規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)或者趨向風(fēng)險(xiǎn)的，也有可能是在收益低時(shí)趨向風(fēng)險(xiǎn)而收益高時(shí)規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)。不少文獻(xiàn)對實(shí)體風(fēng)險(xiǎn)偏好進(jìn)行了研究，其中既有對供應(yīng)鏈中的單個(gè)實(shí)體決策進(jìn)行研究的成果 （如文獻(xiàn)[7,8,12]等），也有對整個(gè)供應(yīng)鏈中存在風(fēng)險(xiǎn)偏好實(shí)體時(shí)如何進(jìn)行協(xié)調(diào)的研究成果 （如[9,15]等）。其中，Lau等 （1999）應(yīng)用方差，對原有的收益函數(shù)進(jìn)行修正，進(jìn)而確定供應(yīng)商的定價(jià)策略[7]。Agrawal等 （2000）研究了價(jià)格隨需求發(fā)生變化的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避零售商的訂貨決策問題[8]。Gan等 （2004）則在原有的收益函數(shù)基礎(chǔ)上，將方差作為求解最大收益的約束條件，探討了風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避實(shí)體的供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)問題[9]。國內(nèi)不少學(xué)者也在供應(yīng)鏈的風(fēng)險(xiǎn)研究方面作了有益的探索，包括葉飛 （2006）和于春云 （2007）等[10-11]?？偟恼f來，對單個(gè)實(shí)體風(fēng)險(xiǎn)偏好研究較多，而對整個(gè)供應(yīng)鏈的風(fēng)險(xiǎn)偏好問題研究的較少 （或者說是：供應(yīng)鏈中包含一個(gè)或者多個(gè)風(fēng)險(xiǎn)偏好實(shí)體的協(xié)調(diào)問題），但前者是后者的基礎(chǔ)。在批發(fā)價(jià)格契約基礎(chǔ)上建立的報(bào)童模型，風(fēng)險(xiǎn)主要由零售商承擔(dān)。因此，本文以供應(yīng)鏈中零售商的訂貨決策為主要研究對象。

1 問題的提出

不論是研究單個(gè)實(shí)體的風(fēng)險(xiǎn)偏好還是研究整個(gè)供應(yīng)鏈在風(fēng)險(xiǎn)偏好下的協(xié)調(diào)問題，供應(yīng)鏈實(shí)體風(fēng)險(xiǎn)偏好研究的核心在于：應(yīng)用何種風(fēng)險(xiǎn)度量模型以何種方法對實(shí)體的風(fēng)險(xiǎn)偏好進(jìn)行處理。歸納目前的文獻(xiàn)，采用的風(fēng)險(xiǎn)度量模型包括：均值－方差模型、指數(shù)模型、CVaR模型等；風(fēng)險(xiǎn)對實(shí)體決策的影響處理方法包括：最大效用法[12]、確定當(dāng)量方法、約束條件法、收入函數(shù)修正法等。最大效用法直接應(yīng)用效用最大化為依據(jù)進(jìn)行決策，該方法的決策結(jié)果直接與選取的效用函數(shù)相關(guān)，還與效用的初始值等因素相關(guān)[12]。約束條件法要求收益方差不大于某一方差閾值δ，但是從文獻(xiàn)[8,10]等可以看出，該方差是一個(gè)絕對值，它的大小取值與收益的大小是相關(guān)的，即收益大時(shí)，即使方差較大也可能被風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者接受。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，閾值δ的取值較難確定。收入函數(shù)修正法也采用方差進(jìn)行分析，所不同的是其將δ與系數(shù)k相乘后直接代入收益函數(shù)進(jìn)行分析[7]，該方法中，系數(shù)k的取值與風(fēng)險(xiǎn)偏好相關(guān)，但是其取值的邏輯依據(jù)以及k是否是一個(gè)常數(shù)值得商榷。

確定當(dāng)量法由Simon和Theil提出，用于動態(tài)理性期望模型分析，其在資本預(yù)算領(lǐng)域中廣泛采用，是進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)處理的有效方法[13－14]，在文獻(xiàn)[14]中對確定當(dāng)量法的應(yīng)用進(jìn)行了詳細(xì)描述。確定當(dāng)量法的優(yōu)點(diǎn)在于引進(jìn)風(fēng)險(xiǎn)偏好的同時(shí)，仍然采用收益最大法進(jìn)行決策分析，這樣就保證了與風(fēng)險(xiǎn)中性分析的一致性，便于比較研究；而且，其采用的當(dāng)量處理可以部分減少效用函數(shù)選取對決策值的影響 （通過取效用函數(shù)的反函數(shù)實(shí)現(xiàn)），而保留風(fēng)險(xiǎn)偏好的影響，因此它是一種較好的風(fēng)險(xiǎn)研究方法。利用確定當(dāng)量法處理供應(yīng)鏈風(fēng)險(xiǎn)問題在國內(nèi)尚未見到相關(guān)文獻(xiàn)。本文采用指數(shù)效用模型對風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行定量，利用確定當(dāng)量法對風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行處理，并且數(shù)學(xué)證明了，風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避將使得零售商訂貨量下降；風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)越大，訂貨量下降越多。通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)，比較了不同風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)下，零售商的最優(yōu)訂貨量。

2 模型的基本描述與構(gòu)造

考察由一個(gè)供應(yīng)商和一個(gè)零售商組成的二階段供應(yīng)鏈系統(tǒng)。供應(yīng)商提供單一商品，在銷售季節(jié)開始前，零售商下達(dá)訂貨單，供應(yīng)商收到訂單后組織生產(chǎn)并且發(fā)貨。零售商在每個(gè)銷售季節(jié)開始前只有一次訂貨機(jī)會，向供應(yīng)商提交訂貨數(shù)量Q，中間不能補(bǔ)充訂貨。市場需求D是一個(gè)非負(fù)、連續(xù)型的隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為F（x ），密度函數(shù)為f（x），并且滿足IGFR條件 （Increasing Generalized Failure Rate，正態(tài)分布、指數(shù)分布、威布爾分布等均滿足該條件）。供應(yīng)商依據(jù)訂貨量進(jìn)行生產(chǎn)，生產(chǎn)成本為c，并且以批發(fā)價(jià)格w出售給零售商。零售商在獲得商品后將再次出售，售價(jià)為p，p＞w＞c。若商品在該銷售季節(jié)內(nèi)未被出售，其殘值為v，c＞v。為簡化模型，不考慮缺貨成本，這意味著供應(yīng)鏈的風(fēng)險(xiǎn)全部由零售商承擔(dān)，而供應(yīng)商不承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)。

根據(jù)已知條件，分析可知，供應(yīng)商的收益為：

零售商的收益為：

供應(yīng)鏈的收益為：

在滿足供應(yīng)鏈?zhǔn)找孀畲蟮臈l件下，對 （3）求導(dǎo)，可得：

其中， F－1（·）是F（x）的反函數(shù)，Q*是供應(yīng)鏈?zhǔn)找孀畲髸r(shí)訂貨量的取值。

2.1 風(fēng)險(xiǎn)中性下，零售商的訂貨決策

當(dāng)零售商為風(fēng)險(xiǎn)中性時(shí)，零售商的決策依據(jù)是收益最大化，即 （2）式取最大值。 （2）式對Q求導(dǎo)，可以得到：

由于增函數(shù)的反函數(shù)也是增函數(shù)，所以，可對式 （5）進(jìn)行變換可得：

由 （6） 式和 （2） 式，可以得到：

對 （7）式求導(dǎo)，得到：

由上式可知，在風(fēng)險(xiǎn)中性下，零售商的利潤隨著訂貨量的增加而增加。

由 （6） 式和 （3）式可以得到：

文獻(xiàn)[3]利用價(jià)格彈性證明了式 （9）是單峰的，πsn存在最大值，此時(shí)

2.2 風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避下，零售商的訂貨決策

指數(shù)效用函數(shù)是在處理風(fēng)險(xiǎn)和效用問題時(shí)常用的經(jīng)濟(jì)學(xué)模型。假設(shè)零售商具有如下的效用函數(shù)：

k＞0，稱為風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避因子，k越大，實(shí)體對風(fēng)險(xiǎn)越厭惡；R表示收入。由于U'/U"是一個(gè)常量，因此，在U的有效定義域內(nèi)，實(shí)體對風(fēng)險(xiǎn)的容忍程度保持不變。

由（2）式可知，當(dāng)市場需求在x∈[0,Q)時(shí)，零售商的收入可以表示為：p－（）v x；當(dāng)市場需求在x∈[Q,+∞)時(shí)，零售商的收入可以表示為：p－（）v Q。因此，零售商的期望效用可以表示為：

由 （2）式和 （13）可知，風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避零售商的收益為：

對風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避零售商的收益函數(shù)取最大值，可以得到，此時(shí)的最優(yōu)訂貨量為：

（15）的存在性證明見下文。

對于 （14）式，進(jìn)一步分析可以得出以下結(jié)論。

命題1對于給定的w，風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避零售商的收益為凹函數(shù)。

證明：式 （14）對Q取一階和二階導(dǎo)，可得：

命題得證，也就證明了 （15）式成立。

命題2對于給定的w，Qa＜Qn。

證明：若Q＝0，顯然對于式 （16）有：

對于給定的w，風(fēng)險(xiǎn)中性零售商的最優(yōu)訂貨量Qn滿足式 （5）。由式 （5）和式 （16）得到：

依據(jù)式 （17）、 （18）、 （19） 式以及拉格朗日中值定理可知， 在 ［0, Qn］之間存在Qa使得 πra取最大值。 因此，風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避零售商將選擇較風(fēng)險(xiǎn)中性零售商更小的訂貨量，這符合實(shí)際，與直覺吻合。同時(shí)，也從側(cè)面證明了模型的合理性。

命題3對于不同的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避因子k1,k2，若存在k1＜k2，則它們所對應(yīng)的最優(yōu)訂貨量存在如下關(guān)系：其中表示風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避因子為ki時(shí)的零售商最優(yōu)訂貨量。

變換可得：

式 （21）對k求導(dǎo)，可以得到：

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

表1 不同批發(fā)價(jià)格下，Qa和Qn的比較

圖1 最優(yōu)訂貨量隨批發(fā)價(jià)格的變動

由圖1可看出，風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避零售商的最優(yōu)訂貨量較風(fēng)險(xiǎn)中性零售商的訂貨量小，兩者之間的差值隨著批發(fā)價(jià)格的上升而下降。這一現(xiàn)象可以將市場需求的密度函數(shù)帶入式 （16）而得到數(shù)學(xué)上的解釋。更為直觀的解釋是：由于批發(fā)價(jià)格的上升，Qn和Qa均減小，但是由于Qn是風(fēng)險(xiǎn)中性下的訂貨量，其減小的速率更快些，從而使兩者的差值及其比率越來越小。

當(dāng)批發(fā)價(jià)格確定時(shí)，零售商的訂貨量將隨著風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避因子的變化而發(fā)生變化，見表2和圖2。

由圖2可以看出，隨著風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避因子的不斷增加，零售商的訂貨量不斷減少。當(dāng)w=4時(shí)，如果風(fēng)險(xiǎn)因此由0.05上升至0.45，訂貨量Qa下降超過50%。而根據(jù)負(fù)指數(shù)效用函數(shù)理論，當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避因子達(dá)到0.45時(shí)，已經(jīng)對風(fēng)險(xiǎn)相當(dāng)厭惡了。同時(shí)，也可以發(fā)現(xiàn)，w越小，曲線的曲率越大，說明在w較小時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避因子對訂貨量影響比較大。

表2 風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避因子對Qa的影響

4 總 結(jié)

模型的作用在于簡化系統(tǒng)內(nèi)部各要素之間的聯(lián)系，以便于分析問題，抓住事務(wù)的主要矛盾。建立模型后，應(yīng)該不斷對模型進(jìn)行修正，以使得模型能夠更好的預(yù)測現(xiàn)實(shí)世界。風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)與現(xiàn)實(shí)并不吻合，將風(fēng)險(xiǎn)因素引入供應(yīng)鏈模型是必要的。負(fù)指數(shù)效用函數(shù)在風(fēng)險(xiǎn)定量研究中有著廣泛的應(yīng)用。通過確定當(dāng)量法，將期望效用值轉(zhuǎn)化為確定效用值，從而將風(fēng)險(xiǎn)因素引入零售商收益函數(shù)進(jìn)行分析和處理，進(jìn)而計(jì)算出零售商的最優(yōu)訂貨量這是一種有效供應(yīng)鏈分析方法。供應(yīng)商在確定零售商為風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者時(shí)，將如何進(jìn)行決策是我們進(jìn)一步的研究方向。

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