尋找動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)主分岔參數(shù)的一種方法

秦朝紅，陳予恕

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001，zhh-qin@163.com)

尋找動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)主分岔參數(shù)的一種方法

秦朝紅，陳予恕

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001，zhh-qin@163.com)

對(duì)于多參數(shù)系統(tǒng)，為了能很好的研究系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性隨參數(shù)的變化，給出了一種尋找動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)主分岔參數(shù)的方法.通過對(duì)特征根進(jìn)行擾動(dòng)，來判斷對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性影響最主要的參數(shù).針對(duì)不同的特征根類型給出了不同的算法，并舉例進(jìn)行了驗(yàn)證.該方法能有效地從諸多的系統(tǒng)參數(shù)中識(shí)別出對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性影響比較大的參數(shù).而且按照參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力特性影響的大小進(jìn)行排序，同樣可識(shí)別出主要的開折參數(shù).該方法不僅適用于自治系統(tǒng)，同樣適用于非自治系統(tǒng).

動(dòng)力系統(tǒng);特征根;分岔參數(shù)

奇異性理論是研究約化方程分岔特性的一種有效的方法.利用奇異性理論［1－5］可分析各個(gè)開折參數(shù)區(qū)域內(nèi)狀態(tài)變量隨分岔參數(shù)的分岔情況.但對(duì)于實(shí)際的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，往往有很多的參數(shù).通常人們是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)選取某一參數(shù)作為一個(gè)分岔參數(shù).胡海昌［6］利用模態(tài)展開法和近似法研究了動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)引起結(jié)構(gòu)固有振動(dòng)特性(固有頻率和振動(dòng)模態(tài))變化的問題.William［7］對(duì)標(biāo)準(zhǔn)的一階攝動(dòng)法進(jìn)行了改進(jìn)，用結(jié)構(gòu)修改前的特征向量關(guān)于修改后的質(zhì)量矩陣的內(nèi)積來代替關(guān)于修改前的質(zhì)量矩陣的內(nèi)積，從而提高了一階攝動(dòng)的精度.陳塑寰等［8－12］對(duì)小參數(shù)法做了一些補(bǔ)充，并提出了改進(jìn)方法，如振型一階導(dǎo)數(shù)的高精度截尾模態(tài)展開法、混合基展開法等.Seyranian，Mailybaev［13］給出了多參數(shù)穩(wěn)定性理論，詳細(xì)討論了參數(shù)變化時(shí)，系統(tǒng)參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響.本文將利用該思想給出一種尋找主分岔參數(shù)的方法.對(duì)于特征根為單根和半簡(jiǎn)的情況，該方法尤為簡(jiǎn)單.對(duì)于特征根為虧損的情況同樣適用.該方法不僅可以識(shí)別出主分岔參數(shù)，而且按照參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力特性影響的大小進(jìn)行排序，同樣可識(shí)別出主要的開折參數(shù).該方法還可推廣到具有周期系數(shù)的動(dòng)力系統(tǒng)中.

1 特征根分析

考慮特征根問題:

式中:A是m×m階實(shí)數(shù)矩陣，u是右特征向量.則特征根λ為

式中:I為單位陣.

特征根的重?cái)?shù)稱為代數(shù)重?cái)?shù)k.對(duì)應(yīng)特征根的線性無關(guān)的特征向量的最大個(gè)數(shù)稱為幾何重?cái)?shù)kg.通常kg≤k.如果代數(shù)重?cái)?shù)為k，但幾何重?cái)?shù)為 1，那么稱特征根為虧損的.如果代數(shù)重?cái)?shù)為 1，則稱特征根為單根;如果代數(shù)重?cái)?shù)為k，幾何重?cái)?shù)也為k，那么稱特征根為半簡(jiǎn)的.單根和半簡(jiǎn)根稱為非虧損特征根.

1.1 虧損特征根情況

首先考慮虧損特征根λ，其存在k個(gè)線性無關(guān)的特征向量滿足方程:

式中:u0，u1，…，uk－1為長(zhǎng)度為 k 的約當(dāng)鏈，其中，u0稱為特征矢量，u1，…，uk－1為相關(guān)矢量.式(3)可寫成矩陣形式為

同樣可以考慮左特征向量及約當(dāng)鏈問題.

式中:v為特征根λ的左特征向量，vT為v的轉(zhuǎn)置.

對(duì)于非虧損特征根，其左、右特征向量之間滿足正交關(guān)系:

1.2 單根情況

如果特征根λ為單根，則存在特征向量u使得

同樣，其左、右特征向量之間滿足正交關(guān)系為

1.3 半簡(jiǎn)特征根情況

如果特征根為k重半簡(jiǎn)特征根，則存在k個(gè)線性無關(guān)的特征向量滿足方程:

式(11)可寫成矩陣形式為

其左、右特征向量之間滿足正交關(guān)系為

式中:δij為 Kronecker Delta符號(hào).

對(duì)于所有特征根，可計(jì)算其約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型為

2 動(dòng)力系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)特征根的影響

對(duì)于一般的自治動(dòng)力系統(tǒng)，都可將其寫為一階狀態(tài)方程的形式:

式中:X為狀態(tài)向量，A為Frechet導(dǎo)數(shù)，F(xiàn)(X)為狀態(tài)向量X的非線性向量函數(shù).

在實(shí)際問題中，矩陣A通常都是參數(shù)的函數(shù).假設(shè)矩陣A光滑依賴于參數(shù)矢量p=(p1，…，pn).

2.1 單根情況

設(shè)λ(p0)是A(p0)的單根時(shí)，計(jì)算p0處λ和u對(duì)參數(shù)p的導(dǎo)數(shù).將式(9)兩邊對(duì)參數(shù)求導(dǎo)得

式中:u0為p0處特征根λ0=λ(p0)的右特征向量.式(19)可變形為

其正交條件為

將式(22)兩邊對(duì)系統(tǒng)參數(shù)求導(dǎo)得

將式(23)兩端左乘v0的共軛矢量v0并與式(20)相加得

G0是非奇異的，于是得

對(duì)于單根，通常比較關(guān)心的是特征根為0或±iω附近特征根隨系統(tǒng)參數(shù)變化的情況.

例1 對(duì)于Lorenz方程:

顯然(x，y，z)=( 0， 0，0)是平衡點(diǎn)，其線性化的系數(shù)矩陣為

當(dāng)(σ，ρ，β)=( 2， 0，1)時(shí)，A有3個(gè)特征值 0，－ 3，－ 1.根據(jù)式(21)可以求得在(σ，ρ，β)=( 2， 0，1)附近，特征根λ =0隨參數(shù)的變化關(guān)系為

從式(28)可以看出，在(σ，ρ，β)=( 2， 0，1)附近參數(shù)ρ對(duì)特征根λ=0的影響最大.

當(dāng)(σ，ρ，β)=(－ 1， 1，1)時(shí)，A有3個(gè)特征值± iω，－1.根據(jù)式(21)可求得(σ，ρ，β)=(－ 1， 1，1)附近，特征根λ =iω隨參數(shù)的變化關(guān)系為

當(dāng)參數(shù)變化時(shí)，特征根實(shí)部影響的是動(dòng)力系統(tǒng)振動(dòng)的穩(wěn)定性及解的拓?fù)湫再|(zhì)，而虛部影響的是振動(dòng)的頻率，由式(29)得:

從式(30)可以看出，在(σ，ρ，β)=(－ 1， 1，1)附近，參數(shù)σ對(duì)特征根λ=iω的實(shí)部影響最大.

2.2 虧損特征根的情況

因?yàn)閷?shí)際工程中經(jīng)常遇到的是二重零根或二重純虛根的情況，下面只討論二重虧損特征根.

設(shè)矩陣A(p)，當(dāng)p=p0時(shí)A0=A(p0)有一個(gè)虧損的二重根λ0，其左、右特征向量分別為v0，v1和 u0，u1，它們之間滿足

且左、右約當(dāng)鏈滿足:

假設(shè)參數(shù)是沿著光滑曲線變化的，且

在起始點(diǎn)處曲線的方向?yàn)閑=(e1，…，en)，即

p(ε)在ε=0處對(duì)ε的二階導(dǎo)數(shù)為

沿著曲線p(ε)，可將矩陣A=A(p(ε))展成泰勒級(jí)數(shù)形式:

由特征根理論知，當(dāng)參數(shù)變化時(shí)二重非虧損特征根λ0分裂為兩個(gè)單根λ.λ和其對(duì)應(yīng)的特征向量的u的Newton-Puiseux級(jí)數(shù)形式為

將式(38)和式(39)代入到式(1)得

為了唯一的確定特征向量u，選擇正交條件為

式中:vT1為左特征矢量，且有vT1u0=1.將式(40)的第2式代入到式(42)可得:

將式(41)的第2式與式(31)相比較得

根據(jù)式(44)，可將式(41)的第3式寫為

因?yàn)锳0－λ0I是奇異的，所以w2要有解，只有式(45)右端滿足正交條件為

根據(jù)正交條件式(32)可得

將式(43)的第4式左乘vT0并利用式(31)、式(32)、式(44)和式(48)得

由正交條件式(43)得:

將式(51)左乘ˉv0并與式(45)相加得

例2 以Lorenz系統(tǒng)為例.其線性化的系數(shù)矩陣為

當(dāng)(σ，ρ，β)=(－ 1， 0，1)時(shí)，A有3個(gè)特征值02，－1.根據(jù)式(54)可得特征根λ=02隨參數(shù)的變化關(guān)系為

所以在(σ，ρ，β)=(－ 1， 0，1)附近，參數(shù)ρ對(duì)特征根λ=02的影響比較大.

2.3 半簡(jiǎn)特征根的情況

這里只考慮雙半簡(jiǎn)的情況.其滿足特征方程:

假設(shè)在p=p0時(shí)，矩陣A0=A(p0)有兩個(gè)特征根λ1=λ2=λ，其左、右特征向量分別為v1，v2，u1，u2，它們滿足正交關(guān)系式(15).可計(jì)算式(62)在p=p0處的導(dǎo)數(shù)為

從式(67)可以看出，參數(shù)p1對(duì)特征根變化的影響更大.

3 非自治系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)特征根的影響

對(duì)于非自治系統(tǒng)，通?？梢岳闷骄ɑ蛘叨喑叨确ǖ葘⑵浠癁樽灾蜗到y(tǒng).將系統(tǒng)化為自治系統(tǒng)后，仍可用上述方法來尋找分岔參數(shù).以非線性Mathieu方程來進(jìn)行說明.方程形式為

采用多尺度法可求得其一階近似的平均方程為

( 0，0)是式(69)的平衡點(diǎn)，且在( 0，0)處的Frechet導(dǎo)數(shù)矩陣為

式(70)的臨界特征可能有4種情況: 0，± iω，02，( 0，0).

3.1 有一個(gè)0特征根的情況

從式(72)可以看出，參數(shù)μ1對(duì)特征根λ=0的影響更大.

3.2 有一對(duì)純虛特征根的情況

3.3 有一對(duì)虧損0特征根的情況

此時(shí)式(75)有一對(duì)虧損特征根為λ1= 0，λ2= 0，根據(jù)式(54)可求得:

從式(76)可以看出，參數(shù)μ1對(duì)特征根λ=02的影響更大.

3.4 有兩個(gè)半簡(jiǎn)0特征根的情況

這種情況不存在.

從上述分析可以看出，當(dāng)系統(tǒng)有一個(gè)0特征根和一對(duì)虧損0特征根時(shí)，參數(shù)μ1對(duì)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的影響更大;當(dāng)系統(tǒng)有一對(duì)純虛根時(shí)，參數(shù)δ對(duì)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的影響更大.

4 結(jié)論

1)該方法可以有效地識(shí)別出對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力特性影響比較大的參數(shù).對(duì)于特征根為單根和半簡(jiǎn)的情況，該方法尤為簡(jiǎn)單.對(duì)于特征根為虧損的情況，該方法雖略復(fù)雜，但同樣適用.

2)該方法不僅可以識(shí)別出主分岔參數(shù)，而且按照參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力特性影響的大小進(jìn)行排序，同樣可識(shí)別出主要的開折參數(shù).

3)該方法還可推廣到具有周期系數(shù)的動(dòng)力系統(tǒng)中.對(duì)于有外激勵(lì)的非自治系統(tǒng)，可以用平均法、多尺度法將其化為自治系統(tǒng)，同樣可用該方法識(shí)別出對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為影響比較大的主參數(shù).

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A method to find the main bifurcation parameter of dynamic system

QIN Zhao-hong，CHEN Yu-shu

(School of Astronautics，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China，zhh-qin@163.com)

To study the change of bifurcation properties of the system with structural parameters，a method to find the main bifurcation parameter of the dynamic system is presented in this paper.After disturbing the eigenvalue of Frechet matrix，the main bifurcation parameter is found.Different algorithms are given for different eigenvalue forms.The bifurcation parameter which has appreciable effect on dynamic characteristics of the system can be effectively identified from multiple parameters.And the unfolding parameters can be identified as well according to the effects of parameters on the system.This method can not only be used in autonomous systems，but also in nonautonomous systems.

dynamic system;eigenvalue;bifurcation parameter

O322

A

0367－6234(2010)05－0716－05

2009－04－01.

國(guó)家自然科學(xué)基金重點(diǎn)資助項(xiàng)目(10632040).

秦朝紅(1979—)，女，博士研究生;

陳予恕(1931—)，男，教授，博士生導(dǎo)師.

(編輯 張 紅)