奇點定義注記

楊云鋒，夏小剛，馮衛(wèi)兵

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奇點定義注記

楊云鋒，夏小剛，馮衛(wèi)兵

（西安科技大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710054）

通過一個假命題的論證，對已有文獻所給出的奇點的兩種定義進行了比較，給出了兩種定義下的主要結(jié)論；并根據(jù)定義1對奇點的性質(zhì)進行了討論，得出了奇點與邊界點的關(guān)系以及孤立奇點的存在條件.

解析函數(shù)；奇點；邊界；孤立奇點

解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)研究的中心對象，其概念及相關(guān)理論是復(fù)變函數(shù)理論體系的重要組成部分；奇點與解析點對立，其定義的嚴密對完善復(fù)變函數(shù)解析性的理論具有非常重要的意義. 在現(xiàn)行教材中兩種奇點定義并存，由之得出的結(jié)論也不相同，本文比較并討論了二者的不同和優(yōu)劣.

1 兩種奇點定義的比較

根據(jù)定義1，可以證明下列結(jié)論成立：

1）在復(fù)平面內(nèi)處處不解析的函數(shù)沒有奇點.

2）定義域外的點不一定是奇點.

4）定義域的孤立點不是奇點.

5）奇點是解析點的極限點.

根據(jù)定義2，也可證明如下結(jié)論成立：

1）在復(fù)平面內(nèi)處處不解析的函數(shù)的每一點都是奇點.

2）定義域外的點都是奇點.

4）定義域的孤立點是奇點.

5）奇點不一定是解析點的極限點.

2 定義1下奇點性質(zhì)的討論

證明 1）證明奇點是邊界點

2）證明邊界點也是奇點

將命題1修改得命題2：

3 結(jié)語

通常，泛稱的解析函數(shù)允許有奇點且它在復(fù)平面上總有解析點，故它不包含復(fù)平面上處處不解析的函數(shù)；本文定義2下的奇點包括：處處不解析函數(shù)的每一點、定義域外的點、定義域的孤立點，這些點我們通常并不研究；因此，定義1要優(yōu)于定義2.

[1] 蓋云英，包革軍. 復(fù)變函數(shù)與積分變換[M]. 2版. 北京：科學(xué)出版社，2007.

[2] 鐘玉泉. 復(fù)變函數(shù)論[M]. 2版. 北京：高等教育出版社，1979.

[3] 余家榮. 復(fù)變函數(shù)[M]. 3版. 北京：高等教育出版社，2000.

[4] 西安交通大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室. 復(fù)變函數(shù)[M]. 4版. 北京：高等教育出版社，2002.

[5] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析[M]. 3版. 北京：高等教育出版社，2001.

[責(zé)任編輯：熊玉濤]

A Note on the Definition of Singularity

YANGYun-feng,XIAXiao-gang,FENGWei-bing

Through the demonstration of a false proposition, two definitions of singularity given in the existing literature are compared and main conclusions under the two definitions are drawn. The characteristics of singularity are discussed according to the first definition and the relationship between singularity and boundary points as well as the conditions for the existence of isolated singularity are derived.

analytic function; singularity; boundary; isolated singularity

1006-7302（2010）03-0003-42

O241.82

A

2010-03-25

國家“十一五”課題重點資助項目（FIB070335-A2-15）；教育部教改項目（高教司函（2009）59號）；陜西省教育廳教改項目（陜教高（2009）39號）

楊云鋒（1978—），男，陜西永壽人，講師，碩士，主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)的教學(xué)和研究工作，E-mail: yangyunfeng_1978@126.com.