基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論的作戰(zhàn)體系節(jié)點(diǎn)重要性分析

李茂林，龍建國(guó)，張德群

（1.海軍指揮學(xué)院，江蘇 南京 210016；2.軍事科學(xué)院軍事運(yùn)籌分析研究所，北京 210016）

隨著戰(zhàn)爭(zhēng)形態(tài)由機(jī)械化戰(zhàn)爭(zhēng)向信息化戰(zhàn)爭(zhēng)轉(zhuǎn)變，體系對(duì)抗成為作戰(zhàn)的主要樣式和基本理念。為了準(zhǔn)確判定作戰(zhàn)體系的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)重要性分析變得尤為重要。一般而言，作戰(zhàn)體系節(jié)點(diǎn)重要性分析需要采用定性定量相結(jié)合的方法進(jìn)行，既需要充分利用指揮決策者的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，同時(shí)要借助相關(guān)的模型和工具進(jìn)行計(jì)算。但是，由于信息化條件下作戰(zhàn)體系節(jié)點(diǎn)信息量非常龐大，節(jié)點(diǎn)之間相互作用非常復(fù)雜，決策者僅憑自己以往經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分析判斷，很難做出正確的決策。

近年來，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論得到了國(guó)內(nèi)外研究者的廣泛關(guān)注，在數(shù)理科學(xué)、生命科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、技術(shù)科學(xué)和管理科學(xué)等眾多學(xué)科中都掀起了研究和應(yīng)用的熱潮，被稱為“網(wǎng)絡(luò)的新科學(xué)”[1]。本文嘗試將復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論應(yīng)用于作戰(zhàn)體系節(jié)點(diǎn)重要性分析領(lǐng)域，在對(duì)作戰(zhàn)體系結(jié)構(gòu)進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)描述的基礎(chǔ)上，根據(jù)節(jié)點(diǎn)重要性指標(biāo)對(duì)節(jié)點(diǎn)的重要程度進(jìn)行度量，并根據(jù)作戰(zhàn)體系受到攻擊后的受損程度對(duì)重要性指標(biāo)的有效性進(jìn)行分析。

1 作戰(zhàn)體系結(jié)構(gòu)的基本特征和網(wǎng)絡(luò)描述

機(jī)械化戰(zhàn)爭(zhēng)時(shí)代，在通信手段和指揮控制手段受限的情況下，作戰(zhàn)體系采取節(jié)點(diǎn)中心模式進(jìn)行構(gòu)建，即將所有作戰(zhàn)力量分解為若干作戰(zhàn)集團(tuán)，這些作戰(zhàn)集團(tuán)保留一部分機(jī)動(dòng)力量后，其余力量又分別向下分解為若干小的作戰(zhàn)集團(tuán)或作戰(zhàn)集群，照此依次向下劃分，形成了一種樹狀結(jié)構(gòu)。隨著指揮信息系統(tǒng)的功能越來越強(qiáng)，信息傳輸更加迅捷，戰(zhàn)場(chǎng)網(wǎng)絡(luò)更加拓展，作戰(zhàn)體系的構(gòu)建逐步轉(zhuǎn)為網(wǎng)絡(luò)中心模式，即借助高效的信息網(wǎng)絡(luò)，將廣泛分布于戰(zhàn)場(chǎng)的各種節(jié)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)有效連接，作戰(zhàn)體系任何兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間均可以根據(jù)需要建立聯(lián)系，各種聯(lián)系縱橫交錯(cuò)，逐步形成網(wǎng)絡(luò)化結(jié)構(gòu)[2]。

依據(jù)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論，可以定義作戰(zhàn)體系由節(jié)點(diǎn)集合V和邊集合E組成的圖 G ＝ ( V,E)。其中，V＝｛v1, v2,…,vn｝，代表組成作戰(zhàn)體系的指揮控制節(jié)點(diǎn)、預(yù)警偵察節(jié)點(diǎn)（包括戰(zhàn)場(chǎng)態(tài)勢(shì)信息源節(jié)點(diǎn)和目標(biāo)信息源節(jié)點(diǎn)）、攻防交戰(zhàn)節(jié)點(diǎn)等； E ＝｛e1, e2,…,em｝，代表節(jié)點(diǎn)之間信息傳遞關(guān)系[3]。

圖1為具有一定信息化程度作戰(zhàn)體系的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋱D。該作戰(zhàn)體系包含100個(gè)節(jié)點(diǎn)，362對(duì)節(jié)點(diǎn)之間存在信息傳遞關(guān)系。其中，空心圓形節(jié)點(diǎn)代表核心指揮控制節(jié)點(diǎn)，實(shí)心圓形節(jié)點(diǎn)代表一般指揮控制節(jié)點(diǎn)，三角形節(jié)點(diǎn)代表攻防交戰(zhàn)節(jié)點(diǎn)，空心方形節(jié)點(diǎn)代表戰(zhàn)場(chǎng)態(tài)勢(shì)信息源節(jié)點(diǎn)，實(shí)心方形節(jié)點(diǎn)代表目標(biāo)信息源節(jié)點(diǎn)。

圖1 作戰(zhàn)體系的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋱D

2 作戰(zhàn)體系節(jié)點(diǎn)重要性的度量指標(biāo)和結(jié)果

2.1 節(jié)點(diǎn)重要性指標(biāo)

不同類型的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)可以用不同的指標(biāo)衡量網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的重要程度，比如度指標(biāo)、介數(shù)指標(biāo)、緊密度指標(biāo)、特征向量指標(biāo)[4]等。作戰(zhàn)體系作為一種典型的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，同樣可以使用這些指標(biāo)對(duì)節(jié)點(diǎn)的重要性進(jìn)行度量。

2.1.1度指標(biāo)

度指標(biāo)是研究網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的基本參數(shù)，用于描述在靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)所產(chǎn)生的直接影響力。根據(jù)節(jié)點(diǎn)度的定義，將節(jié)點(diǎn)i的度指標(biāo)定義為：

式中， d （ i）表示節(jié)點(diǎn)i的度。

為了根據(jù)度指標(biāo)來比較不同規(guī)模網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的重要性，需要對(duì)度指標(biāo)進(jìn)行歸一化處理。具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)的度不會(huì)超過 n - 1，故歸一化的度指標(biāo)定義為

2.1.2介數(shù)指標(biāo)

介數(shù)指標(biāo)是指網(wǎng)絡(luò)中最短路徑通過該節(jié)點(diǎn)的數(shù)量，反映的是節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)中的樞紐性。設(shè)網(wǎng)絡(luò)具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，則節(jié)點(diǎn)i的介數(shù)指標(biāo)定義為

式中，gjk表示節(jié)點(diǎn) j和節(jié)點(diǎn)k之間的最短路徑數(shù)，gjk（x ）表示節(jié)點(diǎn)j和節(jié)點(diǎn)k之間經(jīng)過節(jié)點(diǎn)i的最短路徑數(shù)。

具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)中，對(duì)于給定節(jié)點(diǎn)i來說，最為極端的情形是任意兩個(gè)其它節(jié)點(diǎn)之間的最短路徑均經(jīng)過該節(jié)點(diǎn)，此時(shí)該節(jié)點(diǎn)的介數(shù)指標(biāo)達(dá)到最大值（n- 1 ）（ n - 2）2，故歸一化的介數(shù)指標(biāo)可以定義為

2.1.3緊密度指標(biāo)

緊密度指標(biāo)用于刻畫網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)通過網(wǎng)絡(luò)到達(dá)網(wǎng)絡(luò)中其它節(jié)點(diǎn)的難易程度，其值定義為該節(jié)點(diǎn)到達(dá)所有其它節(jié)點(diǎn)的距離之和的倒數(shù)。設(shè)網(wǎng)絡(luò)具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，則節(jié)點(diǎn)i的緊密度指標(biāo)定義為：

式中，dij表示節(jié)點(diǎn)i到節(jié)點(diǎn)j之間的距離。

具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)到達(dá)所有其它節(jié)點(diǎn)的距離之和不會(huì)小于n-1，故歸一化的緊密度指標(biāo)定義為

2.1.4特征向量指標(biāo)

一個(gè)節(jié)點(diǎn)的度指標(biāo)描述了該節(jié)點(diǎn)對(duì)于其它節(jié)點(diǎn)的直接影響力，若一個(gè)節(jié)點(diǎn)與另一個(gè)度值很高的節(jié)點(diǎn)之間存在連接，則該節(jié)點(diǎn)的影響力也應(yīng)該很大，可以引入特征向量指標(biāo)來分析這種通過具有高度值的相鄰節(jié)點(diǎn)所獲得的間接影響力。

設(shè)網(wǎng)絡(luò)具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，其鄰接矩陣記為A，λ為A的主特征值，e ＝ （ e1, e2,… ,en）為矩陣A對(duì)應(yīng)的 λ 的特征向量。節(jié)點(diǎn)i的特征向量指標(biāo)定義為

2.2 節(jié)點(diǎn)重要性的度量結(jié)果

使用度指標(biāo)、介數(shù)指標(biāo)、緊密度指標(biāo)和特征向量指標(biāo)分別對(duì)圖1所示作戰(zhàn)體系節(jié)點(diǎn)的重要性進(jìn)行了度量。表1列舉了重要性位于前20位的節(jié)點(diǎn)的序號(hào)。

表1 節(jié)點(diǎn)重要性的度量結(jié)果

3 作戰(zhàn)體系節(jié)點(diǎn)重要性指標(biāo)有效性分析

從表1可以看出，不同指標(biāo)對(duì)節(jié)點(diǎn)重要性的度量結(jié)果存在著一定的差別，那么選擇哪種指標(biāo)能夠更有效地衡量作戰(zhàn)體系中節(jié)點(diǎn)的重要程度，便成為作戰(zhàn)體系節(jié)點(diǎn)重要性分析的另一問題。

3.1 指標(biāo)有效性的衡量標(biāo)準(zhǔn)

按照重要性指標(biāo)對(duì)節(jié)點(diǎn)的重要程度進(jìn)行度量后，如果按照節(jié)點(diǎn)重要性的大小對(duì)作戰(zhàn)體系進(jìn)行攻擊，伴隨著節(jié)點(diǎn)受損，作戰(zhàn)體系中某些節(jié)點(diǎn)之間無法進(jìn)行信息交換，必將導(dǎo)致整個(gè)作戰(zhàn)體系分裂為很多相互獨(dú)立的連通分支。根據(jù)Albert和Border等人的研究成果，可以利用最大連通分支的大?。⊿）和平均路徑長(zhǎng)度（L）這兩個(gè)拓?fù)鋵傩远攘孔鲬?zhàn)體系的受損程度[5]。

最大連通分支的大小指的是相對(duì)大小，即最大連通分支的節(jié)點(diǎn)數(shù)與所有節(jié)點(diǎn)數(shù)的比值。

平均距離長(zhǎng)度定義為：

其中，N為節(jié)點(diǎn)數(shù)；dij為任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)i和 j之間的距離，即連接這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的最短路徑上的邊數(shù)。

因此，為了選取適用于度量作戰(zhàn)體系中節(jié)點(diǎn)重要性的指標(biāo)，可以按照不同指標(biāo)的度量結(jié)果對(duì)作戰(zhàn)體系進(jìn)行攻擊實(shí)驗(yàn)，即按照重要性指標(biāo)值從大到小的順序刪除該節(jié)點(diǎn)和與之相連的所有邊，根據(jù)為了達(dá)到一定受損程度而必須攻擊重要節(jié)點(diǎn)數(shù)量的多少，來衡量不同重要性指標(biāo)度量節(jié)點(diǎn)重要程度的有效性。

3.2 重要性指標(biāo)有效性分析

根據(jù)度指標(biāo)、介數(shù)指標(biāo)、緊密度指標(biāo)和特征向量指標(biāo)對(duì)圖1所示作戰(zhàn)體系節(jié)點(diǎn)重要性的度量結(jié)果，對(duì)作戰(zhàn)體系進(jìn)行攻擊實(shí)驗(yàn)，并對(duì)最大連通分支的大小（S）和平均路徑長(zhǎng)度（L）隨刪除節(jié)點(diǎn)比例f的變化情況進(jìn)行了仿真分析，進(jìn)而對(duì)作戰(zhàn)體系中重要性指標(biāo)的有效性進(jìn)行分析。

作戰(zhàn)體系受到攻擊分裂成多個(gè)連通分支，勢(shì)必引起最大連通分支大小的降低。因此，可以從f增大時(shí)，S下降的速度說明重要性指標(biāo)的有效性。從圖2可以看出，在 f從0增大到0.62的過程中，根據(jù)介數(shù)指標(biāo)的度量結(jié)果刪除節(jié)點(diǎn)，S下降的速度要快于度指標(biāo)、緊密度指標(biāo)和特征向量指標(biāo)；在f從0.62增大到1的過程中，根據(jù)度指標(biāo)和介數(shù)指標(biāo)的度量結(jié)果刪除節(jié)點(diǎn)，S下降的速度基本相同，且均快于緊密度指標(biāo)和特征向量指標(biāo)。這說明在對(duì)作戰(zhàn)體系中節(jié)點(diǎn)重要性進(jìn)行度量時(shí)，介數(shù)指標(biāo)的有效性要好于度指標(biāo)、緊密度指標(biāo)和特征向量指標(biāo)。

圖2 S隨 ff的變化情況

作戰(zhàn)體系受到攻擊的初期，最大連通分支的大小相比整個(gè)作戰(zhàn)體系節(jié)點(diǎn)數(shù)目來說較大，攻擊發(fā)生后去掉了一些關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)導(dǎo)致某些關(guān)鍵路徑也從作戰(zhàn)體系中去掉，影響了節(jié)點(diǎn)間通信的平均路徑長(zhǎng)度，確切說是增大了平均路徑長(zhǎng)度；然而隨著攻擊的增加，最大連通分支越來越小，即作戰(zhàn)體系被分成了許多獨(dú)立的小的連通分支，而這時(shí)最大連通分支的平均路徑長(zhǎng)度會(huì)變小。因此?？梢詮?f增大時(shí)，L增大和下降的速度說明重要性指標(biāo)的有效性。從圖3（a）、（b）可以看出，在 f從0增大到0.04的過程中，根據(jù)度指標(biāo)、介數(shù)指標(biāo)、緊密度指標(biāo)和特征向量指標(biāo)的度量結(jié)果刪除節(jié)點(diǎn)，L增大的速度基本相同；在f從0.04增大到1的過程中，根據(jù)介數(shù)指標(biāo)的度量結(jié)果刪除節(jié)點(diǎn)，L開始減小，而根據(jù)度指標(biāo)、緊密度指標(biāo)和特征向量指標(biāo)的度量結(jié)果刪除節(jié)點(diǎn)，L繼續(xù)以基本相同的速度增大，分別在f等于0.40、0.33和0.32時(shí)開始下降。根據(jù)介數(shù)指標(biāo)的度量結(jié)果刪除節(jié)點(diǎn)，L不僅開始減小的時(shí)間要早于其他指標(biāo)，而且減小的速度也快于其他指標(biāo)。同樣說明在對(duì)作戰(zhàn)體系中節(jié)點(diǎn)重要性進(jìn)行度量時(shí)，介數(shù)指標(biāo)的有效性要好于度指標(biāo)、緊密度指標(biāo)和特征向量指標(biāo)。

4 結(jié)束語

根據(jù)作戰(zhàn)體系最大連通分支的大小和平均路徑長(zhǎng)度隨刪除節(jié)點(diǎn)比例的變化情況仿真分析的結(jié)果表明，在對(duì)作戰(zhàn)體系中節(jié)點(diǎn)重要性進(jìn)行度量時(shí)，介數(shù)指標(biāo)的有效性要好于度指標(biāo)、緊密度指標(biāo)和特征向量指標(biāo)。利用這一指標(biāo)，可以準(zhǔn)確、快速地判斷作戰(zhàn)體系中的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，既可以對(duì)敵方作戰(zhàn)體系實(shí)施精確打擊，破壞其作戰(zhàn)效能的生成和聚合，從整體上使其快速癱瘓；又可以在面臨敵方精確打擊時(shí)，對(duì)己方作戰(zhàn)體系中的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)進(jìn)行重點(diǎn)防護(hù)，保證其作戰(zhàn)能力的有效發(fā)揮，達(dá)成“消滅敵人，保存自己”的目的。

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