高強度氣體放電燈電氣特性數(shù)學(xué)模型

魏新勞 李家輝 王永紅 陳慶國

（哈爾濱理工大學(xué)電氣工程學(xué)院 哈爾濱 150080）

1 引言

高強度氣體放電（High-Intensity Discharge，HID）燈以其顯色性好、發(fā)光效率較高、節(jié)能、壽命長等優(yōu)點，成為目前最有應(yīng)用價值的大功率光源之一。HID燈有3種類型：汞燈（Mercury Vapor，MV）、高壓鈉燈（High Pressure Sodium，HPS）及金屬鹵化物燈（Metal Halide，MH）。

高強度氣體放電燈的基本發(fā)光原理是相同的，之所以產(chǎn)生不同的光輸出，是因為它們的填充氣體或蒸汽的種類不同。由于高壓汞燈光效相對較低、顯色性較差且壽命較短，已經(jīng)有被高壓鈉燈和金屬鹵化物燈所代替的趨勢。而高壓鈉燈和金屬鹵化物燈則具備光效高、顯色性好、發(fā)光集中等優(yōu)點，已經(jīng)成為繼白熾燈、熒光燈之后的第三代電光源。

在第三代電光源中，由于金屬鹵化物燈的顯色指數(shù)最高，而且其單燈功率又可以做得很大，所以被用于廣場、商場、體育場照明及建筑物泛光及投光照明等需要大功率且對色彩表現(xiàn)力要求很高的場合。而高壓鈉燈則由于其顯色性、壽命和單燈功率方面的綜合優(yōu)勢被廣泛應(yīng)用在道路、機場、碼頭及工礦企業(yè)的照明。

隨著國民經(jīng)濟的快速發(fā)展和農(nóng)村城鎮(zhèn)化的進程加快、城市建設(shè)力度加大和城市美容亮化工程的實施，照明產(chǎn)業(yè)獲得了高速發(fā)展。HID燈及配套的鎮(zhèn)流器、燈具產(chǎn)業(yè)也有了較快的發(fā)展。據(jù)調(diào)查統(tǒng)計[1]：2001年全國HID燈總產(chǎn)量5710.85萬只，2002年全國 HID燈總產(chǎn)量 6899.66萬只，2003年全國 HID燈總產(chǎn)量8310.26萬只，2004年全國HID燈總產(chǎn)量9400.57萬只，2005年全國HID燈總產(chǎn)量12 558.07萬只。據(jù)此預(yù)測，到2010年全國HID燈總產(chǎn)量將達到2億只。

HID燈是依靠燈管內(nèi)的氣體被擊穿以后的弧光放電來產(chǎn)生光的，它是典型的具有負阻特性的電氣元件。圖1是實驗得到的HPS燈在50Hz下穩(wěn)態(tài)工作時的電壓（帶有上沖的近似方波）、電流（接近正弦波）波形。圖2是其穩(wěn)定工作下的動態(tài)V-I特性?？梢钥闯?，HID燈是一個嚴重的非線性電氣元件，并且它的V-I特性具有非常明顯的滯回效應(yīng)。

圖1 50Hz下實驗得到的某HPS燈電壓、電流波形Fig.1 The tested waveforms of voltage and current in a HPS lamp at 50Hz

圖2 50Hz下實測得到的某HPS燈動態(tài)V-I特性Fig.2 The tested dynamic V-I characteristics of a HPS lamp at 50Hz

HID燈的工作原理決定了它必須與一定的外部電氣元件或控制系統(tǒng)配合才能工作，而它的電氣特性的非線性又使得選擇與它配套的電氣元件或控制系統(tǒng)變得比較復(fù)雜。特別是現(xiàn)在全世界都在提倡綠色照明，而電感鎮(zhèn)流器因為其功率因數(shù)低（一般為0.4左右）、重量大、體積大、損耗大、噪聲大、功率穩(wěn)定性差以及在工頻下燈光效率低等問題的存在，已經(jīng)很難滿足綠色照明的需要，開發(fā)能夠適應(yīng)綠色照明需要的HID燈電子鎮(zhèn)流器已經(jīng)成為一種迫切的需求，而HID燈嚴重的非線性伏安特性給電子鎮(zhèn)流器的設(shè)計工作帶來了很大的技術(shù)障礙。這也就是為什么盡管HID燈的產(chǎn)量已經(jīng)很大，但是對于它的電氣特性、外圍配套電氣元件、控制系統(tǒng)的研究工作仍然是目前熱門研究課題的主要原因。

目前，對HID燈及其照明技術(shù)的研究工作主要集中在以下四個方面：①HID燈電氣特性的數(shù)學(xué)模型；②HID燈電子鎮(zhèn)流器電路拓撲結(jié)構(gòu)研究；③HID燈的聲諧振抑制技術(shù)；④HID燈的調(diào)光技術(shù)。筆者認為對HID燈電氣特性的數(shù)學(xué)模型的研究工作是其他三個方面，特別是②、④兩個方面研究工作的基礎(chǔ)。這也是HID燈照明技術(shù)研究的難點，而這個難點的解決對于進一步研究HID燈照明的其他技術(shù)問題、發(fā)揮HID燈的優(yōu)勢是至關(guān)重要的。

2 以往研究成果簡介

HID燈與熒光燈的主要不同就在于放電管內(nèi)氣體氣壓的不同而引起的外部電特性的不同。HID燈電氣特性模型的建立是與電、光、氣體、聲、熱等相關(guān)的學(xué)科，到目前為止，眾多學(xué)者采取了各種方法對其進行了研究。部分研究人員在熒光燈模型的基礎(chǔ)上對HID燈的電特性模型進行了研究，并提出了一些HID燈電氣特性模型。有些模型對高頻適用，另一些對低頻適用。也有一些模型對于低頻和高頻都適用，但是這樣的模型在推廣應(yīng)用方面存在很大的技術(shù)障礙。這些模型大致可以分成四類：

（1）基于放電過程所形成的等離子體基本物理過程而建立的數(shù)學(xué)模型。比較典型的如文獻[2]的模型。該文從電弧基本能量平衡及等離子體基本物理過程出發(fā)，導(dǎo)出了下面的HID燈電氣特性數(shù)學(xué)模型：

式中，carc, cper是電弧和電弧外氣體的熱容量；ρarc,ρper是電弧和電弧外氣體的體積密度；Rarc, Rtube是電弧和燈管的半徑；kTred是電弧外介質(zhì)平均溫度與電弧平均溫度的比值；σ0i是與第i種氣體有關(guān)的常數(shù)；T是電弧的溫度；P是燈內(nèi)氣體壓力；Ei是第i種氣體的電離能；k(T)是熱量傳輸系數(shù)，k是波爾茲曼常數(shù)；Lg代表燈電極間的距離；Rel代表燈電極的半徑；Tamb代表燈所處的環(huán)境溫度；ε (T)是電弧表面輻射功率面密度；S是電弧橫截面面積。

由式（1）可以看出，這個模型需要的參數(shù)眾多，包括燈內(nèi)氣體的成分及其所占比例、各種氣體的密度、熱容量、壓強，燈管的長度、直徑、體積，燈點燃后氣體軸心溫度、管壁溫度、輻射功率系數(shù)、燈電流、燈電壓等。對于每一種燈來說，有些數(shù)據(jù)燈的生產(chǎn)廠家是保密的，有的數(shù)據(jù)由于實驗條件的限制，不易測得。所以，對于一般的電路設(shè)計者來說，這個模型基本上不能用。

（2）建立在經(jīng)驗基礎(chǔ)上的模型。比較典型的如文獻[3]所建立的模型。在這個模型中使用了一個描述燈電極特性的經(jīng)驗方程：

式中，A、B、C和D由經(jīng)驗值估算得到，它的主要方程有

除 A、B、C、D外，該模型有 6個參數(shù) a1, …, a6需要確定，對于這6個參數(shù)的確定，需要由求解下式得到

這里的vi、ii、分別是仿真和試驗得到的燈電壓和電流。為了得到滿足式（4）要求的a1, …,a6，必須要假定許多組 a1…a6并進行仿真，最后在這些組中求得一組最適合的參數(shù)?？梢钥闯觯@個模型的建立過程是比較費時費功的。

（3）等效電導(dǎo)模型。比較典型的如文獻[4]所建立的模型。此模型認為等離子氣體中自由電子密度（N）增加率與功率（vi）成正比，并認為電弧通道中由于復(fù)合而導(dǎo)致的自由電子密度損失率與電子密度的二次方成正比，而燈管壁上自由電子密度損失率與自由電子密度成正比，這樣就得到了下面的模型：

式中，k、A、B可以根據(jù)實際測量得到的燈的電壓、電流波形，由遞歸循環(huán)算法求得。

（4）曲線擬合法，如文獻[5]。應(yīng)用數(shù)學(xué)方法對得到的HID燈在某個頻率下的實驗波形進行曲線擬合，用數(shù)學(xué)公式逼近，得到這些波形的數(shù)學(xué)表達式，進而得到HID燈的數(shù)學(xué)模型。這類建模方法中常用的有分時段線性回歸法、差分方程擬合法兩種。這類方法思路簡單，運算量小，容易仿真，而且針對具體的曲線逼近，精度較高。但模型通用性差，模型應(yīng)用頻率范圍很窄。這種方法主要用在對HID燈的穩(wěn)態(tài)分析中，基本上是通過測量得到的HID燈穩(wěn)態(tài)伏安特性數(shù)據(jù)，通過線性回歸的方法得到一個穩(wěn)態(tài)伏安特性的解析表達式，然后再用這個解析表達式對HID燈進行仿真分析。

3 基于電弧放電理論的HID燈電氣特性新模型

由于HID燈中的放電過程是電弧放電，因而對于HID燈的電弧放電的研究可以借鑒以往對電弧放電的研究工作和研究成果。以往，關(guān)于電弧放電模型的研究工作開展了很多，取得的研究成果也相對較多[7]。其中，影響最大的應(yīng)該是1939年由Cassie[8]等人提出的數(shù)學(xué)模型和 1943年由 Mayr[9]等人提出的模型。

Cassie等人假定：電弧的電流密度是一個常數(shù)，這樣，電弧的橫截面就與電弧電流成正比；電弧通道的電阻率是一個常數(shù)；電弧單位體積內(nèi)存儲的能量是一個常數(shù)。在這三個基本假設(shè)的前提下，得到了著名的Cassie電弧數(shù)學(xué)模型

式中，R為電弧的瞬時電阻，定義為電弧的瞬時電壓降與電弧電流的比值；Tc是電弧的時間常數(shù)，定義為電弧單位體積所存儲的能量與單位體積能量損失速率的比值；v是電弧的電壓降；E0是暫穩(wěn)態(tài)電弧電壓，在 50Hz下等于電弧電壓波形上的平坦部分的電壓值。

在 Mayr的模型里，假定熱量損失僅僅發(fā)生在電弧的外圍邊界面上，而電弧的電導(dǎo)則隨著電弧內(nèi)儲存能量的變化而變化。由此他得出的電弧數(shù)學(xué)模型是

式中，R為電弧的瞬時電阻；Tm是電弧的時間常數(shù)；v是電弧的電壓降；i是電弧電流；p0是暫穩(wěn)態(tài)電弧消耗功率，等于穩(wěn)態(tài)情況下電弧所消耗的有功功率。

上面的兩個數(shù)學(xué)模型都是對電弧放電過程的數(shù)學(xué)表述，但是，由于假定的前提條件不同，所得到的結(jié)果也就不相同。事實上，這兩個模型有各自的適用范圍。這可以從他們的數(shù)學(xué)模型本身看出。

從 Cassie的數(shù)學(xué)模型即式（6）可以看出，當電弧電壓的數(shù)值超過E0時，電弧電阻隨著時間的變化率是小于零的，也就是說，隨著時間的增長電弧電阻是減小的。這種情形與電弧電流過零點附近的實際情況是不一致的。因為，根據(jù)一般規(guī)律和常識，當電弧電流隨著時間的增加而減小時，電弧電阻一定是隨著時間的增加而增加的，并最終使電弧電流進一步減小到零而熄弧。同時，伴隨電弧電阻的增加，電弧電壓也將快速增長，這一點在低頻下電弧電壓波形上表現(xiàn)得非常清楚。

相反，從Mayr的數(shù)學(xué)模型即式（7）可以看出，它可以適用于描述電弧電流過零熄弧的情形。因為，隨著電弧電流的減小，電弧電阻增加，導(dǎo)致電弧消耗的功率 vi減小，由式（7）可以看出，這就保證了電弧電阻隨時間的變化率大于零，這意味著電弧電阻會隨著時間的增長而繼續(xù)增長，從而就會使電弧順利熄滅。

綜上所述，雖然 Cassie模型和Mayr模型都是非常著名的電弧數(shù)學(xué)模型，但是并不是對所有情形都適用的。但是，根據(jù)上面的分析可以看出，它們之間有一定的互補性。由此可見，如果能夠把它們進行合理的組合，發(fā)揮各自的優(yōu)勢，取長補短，克服單獨使用時的不足，將會得到一個適用范圍更廣泛的電弧數(shù)學(xué)模型。

為此，本文提出如下基本假設(shè)：

（1）一個完整的電弧放電過程可以用 Cassie模型和 Mayr模型的組合來描述，在電弧電流較小時電弧過程由 Mayr模型描述，當電弧電流較大時電弧過程由Cassie模型描述。

（2）Cassie模型和Mayr模型中的電弧時間常數(shù)Tdh相同。

（3）對于一個完整的電弧過程而言，除非電弧電流發(fā)生突變，否則整個電弧過程不會因為電弧電流的連續(xù)變化而發(fā)生突變。也就是說當用兩個不同形式的電弧模型描述整個電弧過程時，這兩個電弧模型之間的相互轉(zhuǎn)換或稱過渡不應(yīng)該是跳躍的，而應(yīng)該是連續(xù)過渡的。

（4）根據(jù)電弧電流的大小，兩個電弧模型之間的過渡按照負指數(shù)規(guī)律進行。

（5）無論電弧是否熄滅，電極間氣體材料的固有電導(dǎo)應(yīng)該被考慮在電弧的數(shù)學(xué)模型中。

為了以后應(yīng)用方便，首先對Cassie模型和Mayr模型進行變形。令電弧電導(dǎo) G=1/R，考慮到上面的假設(shè)（2），通過簡單推導(dǎo)可以得到 Cassie模型和Mayr模型的以電弧電導(dǎo)為待求參數(shù)的表達式為

根據(jù)上面的假設(shè)（4），過渡函數(shù)取為

式中，i為電弧電流瞬時值；I0為兩個模型過渡分界點電流。

這樣，綜合Cassie模型和Mayr模型后得到的新的電弧數(shù)學(xué)模型為

考慮到電弧電流、電壓與電導(dǎo)之間的關(guān)系i=Gv，式（11）可以寫成

這就是本文提出的新的電弧數(shù)學(xué)模型。

該模型也可以用電導(dǎo)G的形式表示為

這里的Gmin代表電極間氣體材料的固有電導(dǎo)。

上面的模型用于HID燈時，有5個參數(shù)需要確定。這些參數(shù)分別是 E0、p0、I0、Tdh、Gmin，這些參數(shù)可以通過測定HID燈在50Hz下的電壓、電流波形數(shù)據(jù)，然后利用相應(yīng)的數(shù)學(xué)手段計算得到，但是這樣做比較繁瑣。事實上，這些參數(shù)可以通過簡單的方法求得。

E0的求取。E0是低頻時 HID燈電壓的暫穩(wěn)態(tài)值，從電壓波形上看就是電壓波形的平坦部分的值，具體參見圖3。所以E0可以非常方便地從燈電壓波形上獲得。

圖3 E0、I0的求取辦法Fig.3 The acquirement method of I0 and E0 from the waveform of lamp current

I0的求取。I0是一個人為規(guī)定的劃分 Cassie模型和 Mayr模型適用范圍的分界值，實際應(yīng)用中可以利用燈的電壓、電流波形圖，求取對應(yīng)于燈電壓取得最大值時的燈電流，把此電流值作為I0即可。具體做法如圖3所示。

p0的求取。p0是燈的穩(wěn)態(tài)功率，也就是燈進入穩(wěn)態(tài)工作以后所消耗的電功率。所以p0可以通過常規(guī)的電功率測量手段確定出來。

Gmin的求取。Gmin是燈在沒有放電時的燈電極之間的電導(dǎo)?？梢酝ㄟ^高阻抗測量設(shè)備測量得到，此值一般很小，大約在10-8～10-6數(shù)量級。

Tdh的求取。在其他參數(shù)已經(jīng)確定的情況下，Tdh的求取既可以通過回歸分析法獲得，也可以在大概知道其數(shù)量級的情況下，通過選取幾個值進行仿真分析，并把仿真分析的結(jié)果（比如燈電壓波形圖）和試驗得到的結(jié)果加以比對來確定 Tdh的合理值。一般，HID燈的電弧時間常數(shù)在10-5～10-4s數(shù)量級。

4 HID燈新模型正確性和有效性的驗證

求取HID燈電氣特性數(shù)學(xué)模型的目的是用于這種燈的電子鎮(zhèn)流器計算機輔助設(shè)計。所以，在求得了HID燈電氣特性數(shù)學(xué)模型后就應(yīng)該著手研究如何把求得的模型應(yīng)用在電路的計算機仿真分析中去。同時也是通過仿真進一步驗證模型本身的正確性。

電路的計算機仿真分析技術(shù)現(xiàn)在已經(jīng)非常成熟，可以說，只要能夠給出電路元器件的伏安特性和電路拓撲結(jié)構(gòu)圖，就可以對整個電路進行計算機輔助分析和設(shè)計。這方面的大型工具軟件比較多。最著名、最專業(yè)同時也是被大家使用最多的應(yīng)該是原創(chuàng)于MicroSim公司，后幾經(jīng)變遷，現(xiàn)在為Cadence公司所有的OrCAD軟件。

除了專業(yè)的計算機電路仿真軟件外，一些通用的計算工具軟件，加上特別開發(fā)的專業(yè)工具箱，也可以構(gòu)成功能不錯的計算機電路仿真分析軟件。這方面最典型的就是MathWorks公司的Matlab。雖然專業(yè)的電路分析軟件可以提供更多更詳細的分析項目，但是，像Matlab這樣的通用的計算機軟件在元器件特性實現(xiàn)方面的便捷性和精確的計算技術(shù)有時可能是一個更好的選擇。

本文利用 Matlab來進行 HID燈的仿真分析。由上面的分析可以看出，HID燈的數(shù)學(xué)模型實際上是一個由式（12）所界定的一階微分方程。而且是一個非線性微分方程。所以，求取HID燈電導(dǎo)并進而求燈電壓、燈電流和燈功率的關(guān)鍵就是要求解這個微分方程。

在 Matlab中，無論是線性還是非線性微分方程，都可以非常方便地利用其DEE專用模塊求取微分方程（組）的數(shù)值解。使用者所要做的主要是按照DEE模塊要求的形式把微分方程（組）的具體表達式變換成標準表達式，并輸入到DEE的方程表達式區(qū)域，同時根據(jù)方程的具體情況給出輸入變量個數(shù)、輸出變量表達式和初始條件。

求解微分方程后就可以得到HID燈的電導(dǎo)G，進而就可以求得燈電流，再利用電流控制電壓源求得燈電壓，從而實現(xiàn)對HID燈的仿真分析。

本次研究以一個250W高壓鈉燈為試驗對象進行。首先利用電感鎮(zhèn)流器（電感量為220mH）按照規(guī)定接線，電源電壓為220V。待燈啟動并進入穩(wěn)態(tài)以后通過示波器測量燈兩端的電壓和流過燈的電流波形，得到的波形圖如圖4所示。

圖4 50Hz下250W高壓鈉燈電壓、電流測試波形Fig.4 The tested waveforms of voltage and current in a 250W HPS lamp at 50Hz

利用上面所述的參數(shù)求取方法，不難得到對于這只試驗用高壓鈉燈的 5個參數(shù)近似值分別是：E0=130V；p0=250W；I0=0.25A；Tdh=2×10-4s；Gmin=1.5×10-8S。

根據(jù)得到的具體 HID燈模型參數(shù)，在 Matlab的Simulink環(huán)境下，利用其電路仿真工具箱和DEE模塊，得到的電路仿真圖如圖5所示。圖中的CCVS為電流控制電壓源，C-M、V_M分別為Matlab中的電流和電壓采樣器，微分方程編輯器仿真得到的燈電壓、電流波形如圖6所示。

圖5 高壓鈉燈試驗線路的Simulink仿真符號圖Fig.5 The simulink symbol diagram of simulation for the test circuit of HPS lamp

圖6 HPS燈兩端的電壓、電流仿真結(jié)果Fig.6 The simulated waveforms of voltage and current in HPS lamp

將仿真得到的波形與測試得到的波形對比可以發(fā)現(xiàn)，兩者的一致性很好。這表明本文提出的HID燈數(shù)學(xué)模型在低頻下是正確的。

為了檢驗?zāi)Ｐ驮诟哳l下的適用性，利用上面的仿真電路改變電源頻率和鎮(zhèn)流器電感量（保持電感量與電源頻率的乘積不變）進行了仿真分析，得到的仿真分析結(jié)果如圖7所示。這些仿真結(jié)果與用最復(fù)雜的 HID燈數(shù)學(xué)模型所得到的仿真結(jié)果是一致的[6]。

圖7 不同頻率下HID燈兩端的電壓、電流仿真結(jié)果Fig.7 The simulated waveforms of voltage and current in HPS lamp at different frequencies

5 結(jié)論

本文對傳統(tǒng)的Cassie和Mayr電弧模型的適用性進行了分析，以此為基礎(chǔ)，以5條基本假設(shè)為前提，提出了一個新的HID燈外電氣特性數(shù)學(xué)模型，給出了該模型所涉及參數(shù)的提取方法。實際的HID燈實驗表明本文所提出的新模型在 50Hz下是正確的。而仿真分析結(jié)果與相關(guān)參考資料的對比也表明該模型在高頻下也是適合的，所以，本文所提出的HID燈外電氣特性模型可以被應(yīng)用在涉及HID燈的電路分析、設(shè)計中。

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