均勻圓陣DOA估計的一種酉變換方法

徐德琛,劉志文,齊曉東,2,徐友根

(1.北京理工大學信息與電子學院,北京100081;

2.中國電子科技集團公司第五十四研究所,河北石家莊050081)

0 引言

子空間類DOA估計算法包含大量的復數(shù)運算,其中,特征子空間計算硬件實現(xiàn)復雜[1]。文獻[2]中提出的酉變換實值化方法只適用于均勻線陣[3];文獻[4]中提出的均勻圓陣模式空間酉求根MUSIC算法容易受到殘留失真模式的影響。為了在圓陣陣元空間內(nèi)實現(xiàn)子空間類DOA估計算法的實數(shù)化,首先利用均勻圓陣的中心對稱性得到中心軛米特的協(xié)方差矩陣估計,利用文獻[2]中的方法實現(xiàn)協(xié)方差矩陣估計和導向矢量的實數(shù)化,最后綜合得到均勻圓陣陣元空間中的酉變換方法。此外,引入了前后向平均來保證實際應(yīng)用中該酉變換方法的有效性?；谏鲜鲇献儞Q和前后向平均的MUSIC算法在性能上優(yōu)于傳統(tǒng)的MUSIC算法,而且僅包含簡單的加法運算,易于硬件實現(xiàn)。

1 信號模型

設(shè)P個窄帶遠場信號入射到如圖1所示的M(M為偶數(shù))陣元均勻圓陣上,陣列響應(yīng)的數(shù)學模型為:

x(t)=As(t)+n(t)。(1)

式中,x(t)=[x1(t),x2(t),…,xM(t)]T為t時刻M個陣元的響應(yīng)向量,T表示轉(zhuǎn)置;s(t)為入射信號向量;n(t)為由方差均為 σ2且不相關(guān)的零均值高斯白噪聲構(gòu)成的向量;A為導向矢量矩陣。

圖1 M陣元均勻圓陣

設(shè)A=[a(θ1),a(θ2),…,a(θP)],導向矢量a(θi)=[a1(θi),a2(θi),…,aM(θi)]T,其中,i=1,2,…,P,aM(θi)=exp[j2π(r/λ)cos(2π(m-1)/M-θi)];λ為入射信號波長;r為陣列半徑;θi為第i個信號的方位角。陣列響應(yīng)的協(xié)方差矩陣為Rx=E[x(t)x(t)H]=ARsAH+σ2I,其中 ,Rs=E[s(t)?sH(t)]為入射信號的協(xié)方差矩陣;I為M×M的單位矩陣;H表示共軛轉(zhuǎn)置。

2 均勻圓陣DOA估計的一種酉變換方法

當采用子空間類算法估計入射信號的方位角時,需要對協(xié)方差矩陣Rx進行特征值分解來計算噪聲或信號子空間,這需要大量的復數(shù)運算,硬件實現(xiàn)復雜。為了實現(xiàn)均勻圓陣情況下子空間類DOA估計算法的實數(shù)化,下面給出均勻圓陣陣元空間中的一種酉變換方法。

設(shè)酉矩陣為:

式中,I為×的單位陣;J為×的反對角線元素為1的置換陣,則

由均勻圓陣的中心對稱性可知=J()*,此處,J為M×M的反對角線元素為1的置換陣,*表示取共軛。于是J(H)*J=U^Rx,即H為中心軛米特矩陣。

定理1[2]:設(shè)酉矩陣為:

式中,I和J分別為單位陣和反對角線元素為1的置換陣。對于任意的M×M中心軛米特矩陣R,?UR?UH為實對稱矩陣。

設(shè)酉矩陣為:

將式(1)兩邊左乘矩陣U,

式中,?n(t)是由方差均為 σ2且不相關(guān)的零均值高斯白噪聲構(gòu)成的向量。若設(shè):?A=[?a(θ1),?a(θ2),…,?a(θP)],則

即?a(θi)為實向量;而根據(jù)定理1可知,Ry=E[y(t)yH(t)]=URxUH為實對稱矩陣,因此,若基于式(4)運用MUSIC算法,則無論是特征值分解還是空間譜計算均可以在實數(shù)域內(nèi)完成,與未經(jīng)式(3)所示酉變換的情況相比大大減小了運算量。從硬件實現(xiàn)來看,實對稱矩陣特征值分解的硬件實現(xiàn)要比復共軛對稱矩陣情況容易得多,以并行Jacobi算法[5]為例,前者對應(yīng)的是實向量的平面旋轉(zhuǎn),可由單個CORDIC來實現(xiàn),而后者對應(yīng)的是復向量的旋轉(zhuǎn),硬件實現(xiàn)復雜[1];而式(3)對應(yīng)的僅是簡單的加法運算,所以總地來說,通過式(3)所示的酉變換可大大降低子空間類DOA估計算法的硬件實現(xiàn)復雜度。

3 引入前后向平均的酉變換方法

實際中,若根據(jù)有限的采樣數(shù)據(jù)估計協(xié)方差矩陣Rx,設(shè)Rx的估計為中,N為快拍數(shù),則雖然為軛米特矩陣,但不是中心軛米特矩陣,此時不能滿足定理1的條件,因此,通過上述酉變換得不到協(xié)方差矩陣Ry的實對稱的估計。由文獻[2]可知:

由矩陣范數(shù)三角不等式可得:

‖

-

Ry

‖≥‖Re[

]-

Ry

‖。可見,在歐氏距離意義上,用Re[

]作為

Ry

的估計比用

更準確,因此,基于Re[

]的DOA估計性能優(yōu)于基于

的DOA估計性能。

為了描述方便,將均勻圓陣情況下基于上述酉變換和前后平均的MUSIC算法稱為“均勻圓陣酉MUSIC算法”。

4 仿真實驗

仿真實驗1:為比較均勻圓陣酉MUSIC算法和傳統(tǒng)MUSIC算法的性能,做如下的仿真實驗:兩非相關(guān)入射信號方位角分別為10°和25°,陣元數(shù)目為12,r/λ=0.9,做100次獨立仿真,仿真結(jié)果如圖2所示。由圖2可見,當信噪比較低、快拍數(shù)較小時,均勻圓陣酉MUSIC算法具有更小的DOA估計均方誤差。

圖2 均勻圓陣酉MUSIC與傳統(tǒng)MUSIC的性能比較

仿真實驗2:為比較均勻圓陣酉MUSIC算法和模式空間酉MUSIC算法[4]的性能,做如下的仿真實驗:陣元數(shù)目為12,快拍數(shù)為100,信噪比為0 dB,模式空間酉MUSIC算法中的最大相位模式階數(shù)為2πr/λ,其中,?表示向下取整,對入射信號方位角為[10°,30°]和[10°,25°]的 2 種情況分別做次獨立仿真,仿真結(jié)果如圖3所示,其中,r為陣列半徑,λ為入射信號波長,二者的相對大小反映了陣列孔徑的大小。

圖3 均勻圓陣酉MUSIC與模式空間酉MUSIC的性能比較

由圖3可見,均勻圓陣酉MUSIC算法的性能優(yōu)于模式空間酉MUSIC算法,尤其是r/λ較大時二者的性能差別很大,這是因為殘留模式會嚴重影響算法的性能。在實際應(yīng)用中陣列的結(jié)構(gòu)一般是固定的,因此,均勻圓陣酉MUSIC算法比模式空間酉MUSIC算法更適于工作頻帶較寬的測向系統(tǒng)。

5 結(jié)束語

利用均勻圓陣的中心對稱性提出了陣元空間中的一種酉變換方法,并且通過前后向平均保證了該方法在實際應(yīng)用中的有效性。利用該酉變換方法可以實現(xiàn)子空間類DOA估計算法的實數(shù)化,從而大大減少此類算法的運算量,降低其硬件實現(xiàn)復雜度。仿真結(jié)果表明,基于該酉變換方法的MUSIC算法的性能優(yōu)于傳統(tǒng)的MUSIC算法和模式空間酉MUSIC算法。

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