一種與蒙特卡羅法及JC法相結(jié)合的響應(yīng)面法

丘晉文

目前,結(jié)構(gòu)可靠性分析中大多數(shù)方法如數(shù)值積分法和一次二階矩法及其改進(jìn)方法等針對(duì)功能函數(shù)都是明確表達(dá)的,而實(shí)際工程中,由于結(jié)構(gòu)本身構(gòu)造復(fù)雜,作用形式多樣,往往不能給出功能函數(shù)的明確表達(dá)式,若直接應(yīng)用上述方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠度分析就會(huì)遇見(jiàn)困難。響應(yīng)面方法就是用來(lái)處理這種結(jié)構(gòu)功能函數(shù)不能明確表達(dá)的一種有效方法。運(yùn)用響應(yīng)面法進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠度分析時(shí),計(jì)算可靠指標(biāo)有幾種方法:1)結(jié)合JC法。2)結(jié)合幾何法。3)結(jié)合蒙特卡羅法直接進(jìn)行數(shù)值模擬。本文簡(jiǎn)要介紹響應(yīng)面法、蒙特卡羅法和JC法,然后提出了一種與蒙特卡羅法和JC法相結(jié)合的響應(yīng)面技術(shù),并結(jié)合數(shù)值算例說(shuō)明具體應(yīng)用。

1 響應(yīng)面法

響應(yīng)面法(Response Surface Method)是處理結(jié)構(gòu)功能函數(shù)不能明確表達(dá)的一種有效方法。該方法采用有限的試驗(yàn)通過(guò)回歸擬合解析表達(dá)式ˉZ=ˉg(X)代替真實(shí)功能函數(shù)曲面 Z=g(X),通過(guò)響應(yīng)面法,可將功能函數(shù)近似表示為隨機(jī)變量的顯式,再結(jié)合其他計(jì)算可靠度的方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算。對(duì)n個(gè)隨機(jī)變量X1,…,Xn的情況,通常采用不含交叉項(xiàng)的二次多項(xiàng)式形式:

其中,a,bi,ci均為表達(dá)式的待定系數(shù)。從響應(yīng)面函數(shù)表達(dá)式可以看出,如果考慮n個(gè)隨機(jī)變量,則有m=2n+1個(gè)待定系數(shù)。要得到待定系數(shù),需要取一定的狀態(tài)進(jìn)行試驗(yàn)或者有限元分析。擬合的響應(yīng)面是否為真實(shí)曲面的較好近似,目前比較好的方法是在驗(yàn)算點(diǎn)附近展開(kāi)的響應(yīng)面比較接近真實(shí)的曲面。

2 蒙特卡羅法

蒙特卡羅法(Monte-Carlo Method),又稱統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)法或隨機(jī)抽樣技巧方法。此方法是一種數(shù)值模擬方法,其過(guò)程如下:

設(shè)結(jié)構(gòu)功能函數(shù)為Z=g(X1,…,Xn),Xi(i=1,…,n)為任意分布的隨機(jī)變量,對(duì)Xi(i=1,…,n)進(jìn)行 N次隨機(jī)抽樣,得 N組(j=1,…,N),將第 j組(j=1,…,N)的(i=1,…,n)的值代入結(jié)構(gòu)功能函數(shù)式,得到 N個(gè)Zj值(j=1,…,N),設(shè)在N個(gè)中存在0,則結(jié)構(gòu)構(gòu)件的失效概率為

3 JC法

JC法是解決結(jié)構(gòu)構(gòu)件功能函數(shù)由獨(dú)立任意分布基本隨機(jī)變量構(gòu)成時(shí)結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)計(jì)算問(wèn)題。JC法的基本思路是對(duì)非正態(tài)基本隨機(jī)變量作當(dāng)量正態(tài)化處理,將其轉(zhuǎn)換為等效正態(tài)隨機(jī)變量,然后用改進(jìn)的一次二階矩法求結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo),其計(jì)算步驟如下:6)以新的,重復(fù)步驟 2)～5),直到前后兩次算出的β值之差小于容許誤差。

其中,φ(),Φ()分別為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)及分布函數(shù);fXi(),FXi()分別為非正態(tài)變量Xi的分布密度函數(shù)及分布函數(shù);μi′,σi′分別為等效正態(tài)隨機(jī)變量Xi′的均值和均方差。若結(jié)構(gòu)功能函數(shù)由相關(guān)基本隨機(jī)變量構(gòu)成,要將相關(guān)變量轉(zhuǎn)換為獨(dú)立變量,然后再利用JC法計(jì)算結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)。

4 與蒙特卡羅法和JC法相結(jié)合的響應(yīng)面法

1)對(duì) n個(gè)隨機(jī)變量X1,…,Xn的情況,通常采用不含交叉項(xiàng)的二次多項(xiàng)式形式:

其中,a,bi,ci分別為表達(dá)式的待定和修正系數(shù)。假定迭代點(diǎn)),初次計(jì)算一般取均值點(diǎn)。

2)利用試驗(yàn)(復(fù)雜結(jié)構(gòu)的可靠度分析一般采用數(shù)值模擬試驗(yàn),如有限元計(jì)算)計(jì)算功能函數(shù)Z=g(,…,,…)以及Z=g(,…±fσi,…,)得到(2n+1)個(gè)點(diǎn)估計(jì)值,其中系數(shù) f在第一輪估計(jì)中取 3(根據(jù)工程中的 3σ原則),在以后的迭代計(jì)算中取1,σi為隨機(jī)變量Xi的均方差。

3)由于表達(dá)式只有(2n+1)個(gè)待定系數(shù),利用2)求得(2n+1)個(gè)函數(shù)值解出待定系數(shù)a,bi,ci,從而確定結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)。

4)利用蒙特卡羅法求解可靠度指標(biāo)β(k),并利用此可靠度指標(biāo)β(k)采用JC法計(jì)算出此極限狀態(tài)方程下的驗(yàn)算點(diǎn)X*(k),其中上標(biāo)k表示第k次計(jì)算。

判斷收斂條件:｜β(k)-β(k+1)｜＜ε(ε為收斂精度),滿足則停止迭代,否則用插值法得到:

這種與蒙特卡羅法和JC法相結(jié)合的響應(yīng)面法,具有響應(yīng)面法可解決功能函數(shù)不能明確表達(dá)的優(yōu)點(diǎn)和蒙特卡羅法模擬相對(duì)精確的優(yōu)點(diǎn)以及JC法計(jì)算驗(yàn)算點(diǎn)的優(yōu)點(diǎn),具有方法上的正確性和可行性、較高的計(jì)算效率和精度。下面結(jié)合算例說(shuō)明其應(yīng)用。

5 算例

圖1為門式平面框架,各單元的彈性模量為 E=2.0×106kN/m2,截面慣性矩與截面積的關(guān)系為 Ii=(i=1,2)。以節(jié)點(diǎn)3的水平位移作為需控制的結(jié)構(gòu)最大變形,可建立極限狀態(tài)方程:

其中,[u]為允許的最大水平位移,此處可取[u]=0.01 m;u3與隨機(jī)變量A1,A2以及P的關(guān)系不能用明確表達(dá)式表達(dá)。

通過(guò)自編程序用表1中的幾種方法進(jìn)行計(jì)算,應(yīng)用本文的方法共迭代8次,其中直接使用筆者編制的確定性平面框架結(jié)構(gòu)分析程序共進(jìn)行了56次運(yùn)算,計(jì)算結(jié)果及與其他方法對(duì)比見(jiàn)表1。

同時(shí)筆者研究計(jì)算表明,可靠指標(biāo)越大,失效概率越小,本文方法就越接近精確值。

表1 計(jì)算結(jié)果

6 結(jié)語(yǔ)

對(duì)于工程中常見(jiàn)的功能函數(shù)不能明確表達(dá)的情況,采用響應(yīng)面方法結(jié)合蒙特卡羅法和JC法,本文提出了一種迭代格式的響應(yīng)面法,通過(guò)數(shù)值計(jì)算表明本文方法正確性和可行性,有一定的廣泛性和較好的實(shí)用性,也可為研究人員和工程師提供一定的啟示。

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