自控原理教學(xué)中的根軌跡方程及其數(shù)學(xué)矢量分析

于蓮芝

（上海理工大學(xué) 光電信息與計算機(jī)工程學(xué)院，上海 200093）

自控原理教學(xué)中的根軌跡方程及其數(shù)學(xué)矢量分析

于蓮芝

（上海理工大學(xué) 光電信息與計算機(jī)工程學(xué)院，上海 200093）

自動控制理論是研究自動控制共同規(guī)律的技術(shù)科學(xué)，教好這門課，使學(xué)生深入理解和掌握本課程具有重大意義。根軌跡法是古典控制理論中對系統(tǒng)進(jìn)行分析和綜合的基本方法之一，由推導(dǎo)出的根軌跡方程可知， 根軌跡方程中開環(huán)的零點(diǎn)和開環(huán)極點(diǎn)均為系統(tǒng)的特征根，本文分析了根軌跡在系統(tǒng)性能分析中的原理應(yīng)用及特點(diǎn)，并對根軌跡方程進(jìn)行了詳細(xì)的矢量分析，使學(xué)生更深入清晰理解和掌握自動控制理論中的控制系統(tǒng)的根軌跡分析法，為自控原理教學(xué)提供參考。

自動控制原理；根軌跡；矢量

一、引 言

自動控制理論是各工科院校許多專業(yè)必修的主干課程，是一門理論性較強(qiáng)涉及數(shù)學(xué)、物理、電子等多學(xué)科專業(yè)領(lǐng)域?qū)I(yè)課程，教好這門課和學(xué)好這門課要求教師和學(xué)生必須有所涉及學(xué)科課程的深厚的理論基礎(chǔ)，因此，學(xué)好這門課，能深入理解和掌握本門課程對教師和學(xué)生都是一種嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。自動控制理論是研究自動控制共同規(guī)律的技術(shù)科學(xué)，以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)的經(jīng)典控制理論主要研究單輸入、單輸出、線性定常系統(tǒng)的分析和設(shè)計問題。盡管自動控制系統(tǒng)有不同的類型，對每個系統(tǒng)也都有不同的特殊要求，但對于各類系統(tǒng)來說，在已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)時，人們感興趣的都是系統(tǒng)在某種典型輸入信號作用下，其被控量變化的全過程，且對每一類系統(tǒng)被控量變化全過程提出的共同基本要求都是一樣的，可以歸結(jié)為穩(wěn)定性、快速性和準(zhǔn)確性，即穩(wěn)、快、準(zhǔn)。穩(wěn)定性是保證控制系統(tǒng)正常工作的先決條件， 從時域角度講控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是線性控制系統(tǒng)在初始擾動階躍信號作用下， 其輸出響應(yīng)隨著時間的推移逐漸衰減并趨向于零。也既是系統(tǒng)特征方程的所有根都具有負(fù)實部，或者說，系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)均在根平面的左半 S 復(fù)數(shù)開平面上（不包括虛軸）。

根軌跡是一種圖解方法，它是古典控制理論中對系統(tǒng)進(jìn)行分析和綜合的基本方法之一。1948年EVANS提出了根軌跡法，該方法不需要求解閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程，只需依據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)便可繪制出系統(tǒng)特征根隨某一參數(shù)變化的軌跡圖。本文分析了根軌跡在分析系統(tǒng)性能中的應(yīng)用原理及特點(diǎn)，對根軌跡方程進(jìn)行了詳細(xì)的矢量分析，供教學(xué)參考。

二、根軌跡分析法

根軌跡是開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)由零變化到無窮時，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根（即閉環(huán)極點(diǎn)）在S平面上的變化軌跡。由根軌跡圖直觀地描述了系統(tǒng)特征方程的根（即系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)）在S平面上的分布，因此，用根軌跡法分析控制系統(tǒng)十分方便，特別是對于高階系統(tǒng)和多回路系統(tǒng)，應(yīng)用根軌跡法比用其他方法更為方便，因此在工程實踐中獲得了廣泛應(yīng)用。實際控制系統(tǒng)往往是高階的，即其閉環(huán)特征方程是S的高階代數(shù)方程，當(dāng)系統(tǒng)中某環(huán)節(jié)的某個參數(shù)發(fā)生變化，或為改善系統(tǒng)的控制性能而改變系統(tǒng)中某環(huán)節(jié)的某個參數(shù)時，系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)也即閉環(huán)特征方程的根也發(fā)生相應(yīng)的變化，而閉環(huán)系統(tǒng)的控制性能與閉環(huán)極點(diǎn)在極點(diǎn)平面上的位置有密切的聯(lián)系。這就需要事先從理論上分析閉環(huán)極點(diǎn)隨某個參數(shù)變化時在極點(diǎn)平面上的變化趨勢從而得出某個參數(shù)的變化對系統(tǒng)性能的影響程度，作出理論上的指導(dǎo)。

三、根軌跡方程及矢量分析

1.根軌跡方程

根軌跡的概念描述為：當(dāng)系統(tǒng)中某個(或幾個)參數(shù)從0到+∞連續(xù)變化時，系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的根(即閉環(huán)極點(diǎn))在根平面(S平面)上連續(xù)移動而形成的軌跡，稱為系統(tǒng)的根軌跡。閉環(huán)控制系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)圖如下所示：

圖1 一般控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

Fig.1 The common structure of the control system

則系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

由于開環(huán)傳遞函數(shù)是各個環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積形式，由于系統(tǒng)中各個環(huán)節(jié)一般為典型環(huán)節(jié)，而典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)一般不超過二階，其分子和分母的S多項式極易因式分解，從而開環(huán)傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)也容易獲得。因此，閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可表為：

式中Zi是G0(S)的零點(diǎn)， i=1,2,….m, Pj是G0(S)的非零極點(diǎn)，sN表示有N個數(shù)值為0的極點(diǎn)， 且N+ r=n，n為系統(tǒng)的階數(shù)。K叫開環(huán)系統(tǒng)的增益， K’叫開環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益，K與K’的本質(zhì)相同，僅它們間的值有一系數(shù)關(guān)系，即：

式(5)、(6)也既為根軌跡方程。

2.數(shù)學(xué)矢量分析

根軌跡方程實質(zhì)上是一個矢量方程，直接應(yīng)用不方便，所以化為幅值方程和相角方程。

因為：

其中k=0,±1,±2, ……

式(6)中矢量s?zi在復(fù)平面s中的矢量表示為：

圖2 開環(huán)零（極）點(diǎn)矢量示意圖

Fig.2 The graph of open loop zero(pole)

式(7) 分解為幅值方程為：

在S平面上凡滿足相角條件的點(diǎn)一定是閉環(huán)極點(diǎn)，即是閉環(huán)特征方程的根，凡不滿足相角條件的點(diǎn)一定不是閉環(huán)極點(diǎn)，因此相角條件是繪制根軌跡的充分必要條件，根軌跡上某一點(diǎn)對應(yīng)的K’的值可由幅值條件求出。

四、結(jié) 論

通過以上分析可知，根軌跡方程是一矢量方程，通過對根軌跡方程進(jìn)行數(shù)學(xué)矢量分析將根軌跡方程轉(zhuǎn)化為根軌跡幅值方程和根軌跡相角方程，相角條件是繪制根軌跡的充分必要條件，根軌跡方程中的開壞的零點(diǎn)和開環(huán)極點(diǎn)均為系統(tǒng)的特征根，通過系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)就可繪制系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的隨某一控制參數(shù)的變化軌跡，從而達(dá)到分析系統(tǒng)性能的目的。

[1] 胡壽松.自動控制原理（第四版）. 科學(xué)出版社，2005.8

[2] 胡壽松.自動控制原理簡明教程（第二版）. 科學(xué)出版社，2007.10

[3] http://hi.baidu.com/zhaolinger_789/b log/item/ 7f1559f23d9edd58352acc5c.htm l

The Root Locul Equation and its Analysis of Mathematics Vectors in Teaching of Autocontrol Theory

Yu Lian-zhi

（College of Optoelectric Information and Computer Engineering, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093）

Autocontrol theory is technique science to study the universal autocontrol laws. It is very important for teaching this course well and to make student understand it more thoroughly. Root locul is one of the basic methods of analyzing and synthesizing the system in classical control theory. From the root locul equation, the open loop zeros and the open loop poles are all the roots of the characteristic equation. This paper described the application theory and the characteristics of root locul during analysis of the system control performance, and the mathematics vectors in root locul equation were analyzed in detail. It provides the reference for the teaching of aotocontrol theory and for the students to understand and master the root locul method clearly.

Autocontrol theory, root locul, vectors