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    水電站徑流調(diào)節(jié)的數(shù)值解法

    2010-05-31 06:36:32張曉波鄭雄偉陳昌軍
    東北水利水電 2010年4期
    關(guān)鍵詞:二分法迭代法將式

    張曉波,鄭雄偉,陳昌軍

    (浙江省水利水電勘測(cè)設(shè)計(jì)院,浙江 杭州 310002)

    隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的廣泛引用,水電站徑流調(diào)節(jié)計(jì)算方法已由傳統(tǒng)的列表試算法、圖解法轉(zhuǎn)向數(shù)值計(jì)算方法。大連理工大學(xué)于1981年首次提出采用改進(jìn)歐拉法進(jìn)行數(shù)值求解,受此啟發(fā),筆者將水電站徑流調(diào)節(jié)計(jì)算的數(shù)值解法進(jìn)行拓展,分別采用二分法、改進(jìn)歐拉法、不動(dòng)點(diǎn)迭代法、牛頓迭代法對(duì)水電站徑流調(diào)節(jié)進(jìn)行數(shù)值求解推導(dǎo),并從迭代效率、計(jì)算精度、實(shí)用性等方面進(jìn)行比較,推薦實(shí)用、簡(jiǎn)便的不動(dòng)點(diǎn)迭代法應(yīng)用于徑流調(diào)節(jié)計(jì)算。

    1 計(jì)算原理

    水電站徑流調(diào)節(jié)基于以下基本方程[1]:

    式(1)為水量平衡方程,Q(t)為入庫(kù)流量;q(t)為下泄流量;V(t)為水庫(kù)庫(kù)容。為便于公式表示,采用三次多項(xiàng)式擬合庫(kù)水位和庫(kù)容關(guān)系[1],如式(3):

    需要指出,地形復(fù)雜的水庫(kù)其水位庫(kù)容曲線很難用式(3)完整地表達(dá),很多時(shí)候需采用分段函數(shù)擬合,程序計(jì)算應(yīng)采用插值法。

    式(2)為水電站出力計(jì)算公式,N(t)為出力;Z上為庫(kù)水位;Z下為電站尾水位;k0為出力系數(shù),k0=9.81η,η為機(jī)組出力效率系數(shù),可取一定值;DH(t)為水頭損失,為便于公式表示,表達(dá)為q(t)的二次函數(shù),如式(4):

    需要指出,實(shí)際發(fā)電中,機(jī)組出力效率是變化的,水頭損失也受出力不均勻的影響,式(4)不能反映這些影響,程序計(jì)算應(yīng)考慮這些具體問(wèn)題。

    電站尾水位也可擬合為q(t)的n次函數(shù),如式(5):

    聯(lián)解式(1),(2)及相關(guān)公式,顯然難以直接求解。對(duì)該非線性方程,列舉以下方法求解之。

    2 數(shù)值解法

    2.1 改進(jìn)歐拉法

    (1)數(shù)學(xué)原理。歐拉法迭代原理如圖1,對(duì)于方程 y=y(x),可以從初始點(diǎn) P(x0,y0)出發(fā),沿該點(diǎn)切線方向推進(jìn)到x=x1上一點(diǎn)P1,然后再?gòu)腜1依該點(diǎn)切線方向推進(jìn)到x=x2上一點(diǎn)P2依次類推[2],記y′(xk)=f(xk,y(xk)),有求解關(guān)系:

    歐拉法相當(dāng)粗略,多次推進(jìn)后,歐拉法計(jì)算的Pn顯著偏離實(shí)際曲線,因此提出了改進(jìn)歐拉法[2]:

    (2)應(yīng)用求解。聯(lián)立式(1),(2),并代入輔助方程式(3),(4),(5),使得未知數(shù) q(t)和 Z上(t)顯現(xiàn)(以下 Z上(t)簡(jiǎn)化為 Z(t)),式(1)可變形為:

    圖1 歐拉迭代法

    式(2)可變形為:

    將式(10)代入式(9),可得:

    式(8)為非線性的微分方程。大連理工大學(xué)陳守煜教授將式(11)看作常微分方程的初值問(wèn)題求解[3],采用改進(jìn)歐拉法求解,陳守煜教授對(duì)式(11)的改進(jìn)歐拉求解公式為:

    應(yīng)用式(12),(13)可以對(duì)水電站徑流調(diào)節(jié)直接求解。q=f-1(Z)無(wú)法直接求解,需要迭代法求解。

    (3)解法評(píng)價(jià)。改進(jìn)歐拉法使得所求的末時(shí)段的Z(t)顯式表示,無(wú)需迭代,方法簡(jiǎn)便。但是,正是由于改進(jìn)歐拉法是非線性方程的二階近似,只有二階精度。對(duì)于在步長(zhǎng)△t較大時(shí)(如逐月徑流調(diào)節(jié)),誤差較大,陳守煜教授在其文獻(xiàn)[3]中的示例,已經(jīng)說(shuō)明了該法精度不及傳統(tǒng)的迭代法,因?yàn)閭鹘y(tǒng)的迭代法可控制誤差精度,歐拉法正是以犧牲精度來(lái)實(shí)現(xiàn)其簡(jiǎn)單的計(jì)算方法。而且,發(fā)電流量q(t)仍需迭代求解,總體上效率提高有限。

    2.2 二分法

    (1)數(shù)學(xué)原理。二分法是解非線形方程最常用的一種方法。其原理如圖2。在有根區(qū)間[a,b],取中點(diǎn)x0=(a+b)/2,假設(shè)中點(diǎn)x0不是f(x)的零點(diǎn),進(jìn)行根的搜索,若f(x0)與f(a)同號(hào),則所求根x*必在x0的右側(cè),令 a1=x0,b1=b;否則 x*必在 x0的左側(cè),這時(shí)令 a1=a,b1=x0,…,如此迭代下去,最終逼近 x*[2]。

    圖2 二分迭代法

    (2)應(yīng)用求解。將式(1)離散化,得:

    將式(3)代入式(14)可得:

    將式(2),(4),(5)整理得:

    將式(16)代入式(15),可得:

    式(17)為僅包含未知量 qt+1的非線形方程。因此,水電站徑流調(diào)節(jié)計(jì)算可轉(zhuǎn)化為非線性方程的求解問(wèn)題。

    為求解式(17):F(qt+1)=0??梢粤?a0=0,b0=qm,qm為最大過(guò)機(jī)流量。

    (3)解法評(píng)價(jià)。二分法算法簡(jiǎn)單,只要給定合理的根區(qū)間,迭代且總是收斂的,且容易控制精度。缺點(diǎn)是由于尋根區(qū)間范圍較大,收斂速度較慢。在實(shí)際應(yīng)用計(jì)算中,除了采用式(17)的流量作為迭代因子外,也可采用水位作為迭代因子,迭代精度亦可采用流量、水位、出力任一指標(biāo)控制,只需應(yīng)用其原理即可。

    2.3 不動(dòng)點(diǎn)迭代法

    (1)數(shù)學(xué)原理。不動(dòng)點(diǎn)迭代的基本思想是:對(duì)于 f(x?)=0,可以改成等價(jià)形式 x=φ(x)。若要求 x*滿足 f(x?)=0,則 x?=φ(x*);反之亦然。稱 x*為函數(shù) φ(x)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。建立迭代關(guān)系:xk+1=φ(xk),k=0,1,2,…。

    其幾何意義如圖3,方程x=φ(x)的求根問(wèn)題就是確定直線y=x于曲線y=φ(x)的交點(diǎn)P?。給定初值 x0,求得 y0=φ(x0),再令 x1=φ(x0),求得 y1=φ(x1),再令 x2=φ(x1)……,直至|xk+1-xk|<ε[2]。

    圖3 不動(dòng)點(diǎn)迭代法

    (2)應(yīng)用求解。將式(15)等價(jià)改寫為:

    由此可以建立迭代關(guān)系式(20),(21):

    (上標(biāo) k 為迭代次數(shù),k=0,1,2,…)

    (3)解法評(píng)價(jià)。同二分法相比,不動(dòng)點(diǎn)迭代法具有方法簡(jiǎn)便,收斂速度快的優(yōu)勢(shì)。本文在第3節(jié)給予實(shí)例說(shuō)明。需要指出的是:不動(dòng)點(diǎn)迭代法要求有收斂條件:對(duì)于x=φ(x),存在x*的某個(gè)鄰域連續(xù) R:|x-x*|<δ,且|φ′(x)|<1,則不動(dòng)點(diǎn)迭代局部收斂。

    水電站徑流調(diào)節(jié)的迭代函數(shù)式(19)求導(dǎo)較為復(fù)雜,難以直接判斷,因此在直接采用式(20),(21)迭代時(shí)有時(shí)會(huì)遇到不收斂的情況。將x=φ(x)化為等價(jià)形式:x=(1-ω)x+ωφ(x)[4],ω 為松弛因子。于是有迭代公式:

    于是對(duì)水電站徑流調(diào)節(jié)迭代公式有:

    可以證明,取ω=0.5時(shí),可使得式(23)迭代無(wú)條件收斂[4]。

    因此,采用改進(jìn)的不動(dòng)點(diǎn)迭代收斂公式式(23),可使得迭代條件同二分法一樣簡(jiǎn)單,但收斂要快很多,同時(shí)可控制計(jì)算精度。與二分法類似,在實(shí)際應(yīng)用計(jì)算中,除了采用式(23)的流量作為迭代因子外,也可采用水位作為迭代因子,迭代精度亦可采用流量、水位、出力任一指標(biāo)控制,只需應(yīng)用其原理即可。2.4牛頓迭代法

    (1)數(shù)學(xué)原理。牛頓迭代法的基本思想為:方程f(x)=0的根x?可解釋為曲線y=f(x)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。設(shè)xk是根x?的某個(gè)近似值,過(guò)點(diǎn)Pk=xk,f(xk))作 y=f(x)的切線,與 x 軸相交于 xk+1,如此逐步迭代,逼近x?[2]。其迭代方程為:

    (2)應(yīng)用求解。對(duì)于式(15)建立迭代關(guān)系為:

    聯(lián)立式(15),(24),(25),(26)可求解。

    圖4 牛頓迭代法

    需要指出的是:牛頓迭代法收斂速度很快,但對(duì)初值要求很高,若初值偏離真實(shí)解很遠(yuǎn),牛頓法可能發(fā)散。因此,為保證收斂,在式(21)增加下山因子 λ(0<λ≤1),式(24)改寫為:

    迭代計(jì)算可從λ=1開始,逐次將λ減半,直至|F(xk+1)|<|F(xk)|,可保證迭代收斂。

    (3)解法評(píng)價(jià)。牛頓迭代法的優(yōu)點(diǎn)是收斂快,可以說(shuō)是幾種數(shù)值迭代方法中最快的。但是,牛頓法需要求導(dǎo) F′(qt+1),如式(25),(26),顯然較為復(fù)雜。實(shí)際上,式(25)對(duì)于水庫(kù)地形復(fù)雜,庫(kù)容難以用多項(xiàng)式函數(shù)表示的情況難以適應(yīng),式(26)對(duì)于機(jī)組效率k0非恒定(與發(fā)電流量有關(guān))、水頭損失隨出力不均勻的影響等問(wèn)題難以用函數(shù)形式直接求導(dǎo),故牛頓迭代法實(shí)際應(yīng)用較為困難。

    3 不動(dòng)點(diǎn)迭代法與二分法比較

    改進(jìn)歐拉迭代法已在文獻(xiàn)[3]中與二分法迭代相比較,精度要低于二分法計(jì)算成果,而且發(fā)電流量仍需迭代,效率總體提高不大。牛頓迭代法由于要求導(dǎo)計(jì)算較為復(fù)雜,且對(duì)出力不均勻的水頭損失、出力系數(shù)隨裝機(jī)效率變化的情況難以用函數(shù)簡(jiǎn)單考慮,故在實(shí)用中使用較為困難。文中以某水電站44年長(zhǎng)系列逐月調(diào)節(jié)為例,選擇較為實(shí)用的改進(jìn)的不動(dòng)點(diǎn)迭代法和二分法迭代計(jì)算進(jìn)行比較 。可以看出不動(dòng)點(diǎn)迭代收斂速度約是二分法的3倍。

    在大中型水庫(kù)、電站中,常需要推求多條調(diào)度線,以充分提高水庫(kù)電站的調(diào)節(jié)能力;在新建工程設(shè)計(jì)方案比較中,有些電站需要逐日調(diào)節(jié)以比較其效益差別;甚至有的水電站需要根據(jù)來(lái)水預(yù)報(bào)進(jìn)行實(shí)時(shí)調(diào)度,采用實(shí)用的不動(dòng)點(diǎn)迭代法,可有效提高計(jì)算效率。

    [1]葉秉如.水利計(jì)算及水資源規(guī)劃[M].北京:中國(guó)水利水電出版社,2003.

    [2]李慶揚(yáng),王能超,易大義.數(shù)值分析[M].北京:清華大學(xué)出版社,2008.

    [3]陳守煜.水電站水庫(kù)徑流調(diào)節(jié)的迭代數(shù)值計(jì)算[J].水利學(xué)報(bào),1981,(2):1-10.

    [4]張卷美.一類不動(dòng)點(diǎn)迭代法的求解[J].河南理工大學(xué)學(xué)報(bào),2006,(2):169-171.

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