一種求解多孔邊裂紋板應(yīng)力強(qiáng)度因子的解析方法

趙晉芳 謝里陽 劉建中 趙 群

1.東北大學(xué)，沈陽，110004 2.北京航空材料研究院，北京，100095 3.沈陽工程學(xué)院，沈陽，110136

0 引言

在眾多的孔口問題，特別是一些形狀比較復(fù)雜的單孔口問題上，復(fù)變函數(shù)在求解其應(yīng)力強(qiáng)度因子時，都體現(xiàn)出了一定的優(yōu)越性［1－4］，如文獻(xiàn)［5］研究了帶裂紋的方形孔口問題，文獻(xiàn)［6］研究了帶裂紋的圓形孔口問題。但以上文獻(xiàn)大都是對各種單孔口問題的應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行研究，對于多孔口問題的研究尚不多見。較為典型的共線多孔邊裂紋結(jié)構(gòu)常見于老齡飛機(jī)外蒙皮的鉚釘孔邊處，這種結(jié)構(gòu)會對飛機(jī)的結(jié)構(gòu)安全性形成極大威脅，因此求解其應(yīng)力強(qiáng)度因子，認(rèn)識其發(fā)展變化規(guī)律有著十分重要的意義［7－9］。

本文介紹了一種求解多孔邊裂紋板應(yīng)力強(qiáng)度因子的解析方法。首先利用復(fù)變函數(shù)性質(zhì)確定單孔裂紋板的復(fù)變應(yīng)力函數(shù)，再運(yùn)用復(fù)變函數(shù)的近似迭加法［10］求解出多孔邊裂紋板的應(yīng)力強(qiáng)度因子。通過與有限元結(jié)果的比較可知，這種解析方法在此類問題的求解上具有較高精度，而且相比有限元方法［11－12］更加省時。

1 基本原理

1.1 Muskhelishvili復(fù)變函數(shù)法

對于一般的彈性力學(xué)平面問題，當(dāng)不計體力時，其應(yīng)力分量和位移分量可以由復(fù)變解析函數(shù)Φ（z）、Ψ（z）決定，表示為

式（1）為平面應(yīng)力情況。對于平面應(yīng)變情況，只要將式中的E換為即可。

為了便于討論邊界條件，引入輔助平面ζ，于是z平面與ζ平面之間存在變換關(guān)系：z＝ω（ζ）。將Φ（z）、Ψ（z）看作ζ的解析函數(shù)，則有

式中，φ（ζ）、ψ（ζ）為應(yīng)力函數(shù)。

在無限大的多連體中，欲保證結(jié)構(gòu)為平面應(yīng)力狀態(tài)，則在ζ平面上的應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式為

其中，X、Y分別是有限邊界上沿x、y方向上的面力之和，B、B′、C′由無限遠(yuǎn)處的應(yīng)力條件決定，φ0（ζ）和ψ0（ζ）為未知函數(shù)，作補(bǔ)充項用于求解應(yīng)力函數(shù)。經(jīng)邊界條件變換后，函數(shù)φ（ζ）和ψ（ζ）在彈性體的邊界上必須滿足：

式中，［］s表示沿邊界s積分。

在單位圓邊界上作極坐標(biāo)（ρ，θ）變換，由于ρ＝1，因而ζ＝ρeiθ＝eiθ，引入記號σ＝eiθ，則式（4）可以寫成

取式（3）的邊界值，則有

則φ0（ζ）的邊界條件可以寫成：

上述過程是將物體映射到ζ平面上單位圓外部的復(fù)變應(yīng)力函數(shù)推導(dǎo)過程。在確定φ0（ζ）后，可由式（3）確定φ（ζ），再由式（2）求得相應(yīng)的應(yīng)力分量和位移分量。

對于求解二維復(fù)合型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子，可由下式分離得到相應(yīng)的KⅠ和KⅡ：

式中，KⅠ為Ⅰ型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子，KⅡ?yàn)棰蛐土鸭y的應(yīng)力強(qiáng)度因子。

1.2 單孔邊裂紋問題的復(fù)變應(yīng)力函數(shù)

解決單孔邊裂紋問題的關(guān)鍵一步就是建立保角映射函數(shù)。設(shè)有一含有孔邊不對稱裂紋的無限大平面，圓孔半徑為a，裂紋長分別為b－a和c－a，如圖1所示。以圓孔中心為原點(diǎn)，以裂紋所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，作保角映射：

圖1 物理平面上含孔邊不對稱裂紋的無限板到數(shù)學(xué)平面上單位圓外部的映射

該映射將物理平面上含單孔邊不對稱裂紋的無限板保角映射到數(shù)學(xué)平面上單位圓的外部，且有ω－1（b）→ 1，ω－1（－c）→－1，ω－1（ai）→ B，ω－1（－ai）→B1，同時把a(bǔ)的上岸映射到點(diǎn)A，把a(bǔ)的下岸映射到點(diǎn)A1，把－a的上岸映射到點(diǎn)C，把－a的下岸映射到點(diǎn)C1。

顯然，ω（ζ）有且只有一個一級極點(diǎn)ζ→ ∞。計算

其中，Res表示留數(shù)，對映射函數(shù)求導(dǎo)有

現(xiàn)在假設(shè)該無限板在y軸方向受到均勻外力q作用，孔口不受力，于是有

將式（15）代入式（16），得

則H（ζ）是在單位圓外的解析函數(shù)，且為圓周上的連續(xù)函數(shù)。由無窮遠(yuǎn)處Cauchy積分公式，式

因此，式（17）可簡化為

因?yàn)棣啤?∞是ω（ζ）和ω1（ζ）的一級極點(diǎn)，由留數(shù)定理有

將式（20）、式（21）、式（10）代入式（19），得

將式（22）代入式（13），得

這樣便完成了對φ（ζ）的求解。

1.3 復(fù)變應(yīng)力函數(shù)的近似迭加法

對于多孔邊裂紋問題（圖2所示為兩孔結(jié)構(gòu)），可以運(yùn)用復(fù)變應(yīng)力函數(shù)的近似迭加法進(jìn)行計算，即孔口1裂紋尖端P點(diǎn)的應(yīng)力強(qiáng)度因子應(yīng)迭加其他孔口對P點(diǎn)應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響，即

其中，φ1為孔口1的復(fù)變應(yīng)力函數(shù)，ζ1為孔口1局部坐標(biāo)中裂紋尖端P的坐標(biāo)，其余各項的應(yīng)力函數(shù)φ2、φ3…表示相應(yīng)孔口對孔口1裂紋尖端P點(diǎn)應(yīng)力場強(qiáng)度的影響項。顯然，復(fù)變應(yīng)力函數(shù)φi應(yīng)滿足各自孔口i的應(yīng)力邊界條件，應(yīng)滿足無限遠(yuǎn)處的應(yīng)力條件。于是，的各項可以通過無限板上僅有第i個孔邊裂紋時的解求出，并除去其中表示無限遠(yuǎn)邊界條件的影響項。

圖2 含多孔邊裂紋的無限板

在式（24）中，ζi是裂紋尖端P 點(diǎn)在第i個孔口的局部坐標(biāo)中的相應(yīng)值，可由變換函數(shù)z＝ωi（ζi）的反函數(shù)ζi＝fi（z）求得。

2 數(shù)值算例

本部分計算了無限板上含共線雙孔對稱裂紋的情況，并將解析結(jié)果與有限元結(jié)果進(jìn)行了比較。由于結(jié)構(gòu)的對稱性，雙孔內(nèi)側(cè)兩條裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子相等，雙孔外側(cè)兩條裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子亦然，因此圖3只給出了Tip1和Tip2的解析結(jié)果及有限元結(jié)果。

圖3 無限板共線雙孔對稱裂紋的SIF值

通過比較表明，這兩種計算結(jié)果比較一致，特別是在裂紋長與孔徑之比A／R較大時，兩者基本一致。因?yàn)楸疚臉?gòu)造的保角函數(shù)是一個超越函數(shù)，即不滿足任何以多項式作為系數(shù)的多項式方程函數(shù)，所以該映射函數(shù)和傳統(tǒng)方法中通過截項獲得的由許多項組成的多項式映射函數(shù)有些許不同，這便導(dǎo)致了在A／R較小時，解析結(jié)果與有限元結(jié)果有所差異。不過，人們較為關(guān)注的是多孔邊裂紋在貫穿或合并的瞬間以及在此之前的時刻，因此這種解析方法在解決實(shí)際的工程斷裂問題中有一定的適用性。

3 結(jié)論

文章提出了一種求解無限板多孔邊裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的解析方法，方法主要分為兩個部分：①利用解析函數(shù)性質(zhì)求解無限板單孔邊裂紋的復(fù)變應(yīng)力函數(shù)；②利用復(fù)變應(yīng)力函數(shù)的近似迭加法逐一將其他裂紋對所求裂尖應(yīng)力場強(qiáng)度的影響迭加上去，從而得到無限板多孔邊裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子。這種方法不但簡化了傳統(tǒng)求解方法中通過截項法找到近似應(yīng)力函數(shù)的繁瑣步驟，而且將復(fù)雜的多位置損傷問題轉(zhuǎn)化為簡單的單位置損傷問題進(jìn)行處理。計算過程簡單、易行，計算結(jié)果精確、可靠。

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