速度前瞻控制中的伺服動力學(xué)約束條件

楊征宇 李 寧 閆 華

南京工程學(xué)院，南京，211167

0 引言

在數(shù)控加工中，復(fù)雜的加工路徑被CAM的后置處理器分解成一系列的微小路徑段。數(shù)控系統(tǒng)對每一小路徑段進行插補運算和加減速控制。對于由大量的微小線段組成的加工路徑，如果還按照處理長線段的方式，在每個線段內(nèi)獨立地進行加減速控制，將會導(dǎo)致伺服系統(tǒng)頻繁啟停，加工緩慢［1］。解決這一問題的辦法是采用速度前瞻技術(shù)，將相鄰的小線段當(dāng)成一個整體，提前考慮前面的若干個小路徑段的情況，以決定當(dāng)前插補線段的速度。

目前，國內(nèi)外對小線段高速加工問題的研究已經(jīng)取得了一定的成果，文獻［1］研究了基于前瞻技術(shù)的微小線段連續(xù)軌跡插補方法，通過預(yù)測軌跡的曲率變化，自適應(yīng)調(diào)整進給率以達到高速高精加工的目的。文獻［2－3］研究了基于樣條技術(shù)的前瞻插補方法，得到了樣條曲線和直線的銜接點處位置、斜率、曲率連續(xù)性的條件，并利用曲率門限標(biāo)準(zhǔn)識別擬合曲線的銳角，計算擬合曲線內(nèi)相鄰線段銜接處與銳角處的進給率，另外也研究了NURBS樣條曲線的實時自適應(yīng)前瞻插補算法。文獻［4］基于機床伺服驅(qū)動的功率限制，提出了速度約束條件。但是在機床進給控制中，伺服驅(qū)動電機總是工作在恒轉(zhuǎn)矩狀態(tài)，而非恒功率狀態(tài)，因而所提出的速度約束條件有一定的局限性。文獻［5］構(gòu)建了插補幾何元素銜接矢量角模型，并把S形加減速算法運用到速度前瞻算法，使得整個插補過程更加柔順。文獻［6］研究了小線段高速加工速度銜接數(shù)學(xué)模型，提出了在相鄰路徑段轉(zhuǎn)角處的加工速度約束條件。但是這些約束條件是根據(jù)運動學(xué)原理提出的，沒有考慮機床的動力學(xué)伺服特性對小線段加工速度銜接規(guī)律的影響。文獻［7］討論了微小線段之間過渡的問題，提出了當(dāng)剩余距離小于一個插補周期里的運行距離時，提前變換方向，采用斜線連接過渡的方法，但是沒有討論速度的約束條件及變化規(guī)律。

本文從機床伺服驅(qū)動系統(tǒng)的動力學(xué)特性出發(fā)，研究了在高速加工中相鄰小線段間拐角處的速度銜接數(shù)學(xué)模型，分析了機床伺服系統(tǒng)的動力學(xué)特性對速度銜接過渡過程的影響，給出了相應(yīng)的速度約束條件。

1 小線段加工速度銜接過程分析

本文以空間直小線段為例，分析速度銜接過渡過程。如圖1所示，加工路徑是從小線段An－1An，過渡到小線段 AnAn＋1。設(shè)在線段 An－1An上的終點加工速度是v1e，在線段AnAn＋1上的起點加工速度是v2s，為保證加工速度的平穩(wěn)，應(yīng)當(dāng)有的夾角是θ，小線段An－1An與小線段AnAn＋1的夾角是π－θ。速度從v1e過渡到v2s是在一個插補周期Δ內(nèi)完成的，設(shè)機床進給加速度為a，則有：

式中，（v1x，v1y，v1z），（v2x，v2y，v2z），（ax，ay，az）分別為v1e、v2s、a在三個坐標(biāo)軸上的投影。

圖1 小線段銜接

根據(jù)圖1，在由v1e和v2s組成的三角形中，有

將式（2）直接代入式（3）并整理可得

在式（4）等號右邊的是一個小于零的量，等號左邊的則是三個坐標(biāo)軸方向的速度和加速度的乘積之和。由式（4）可以看出，在三個坐標(biāo)方向的速度和加速度的乘積中，至少有一個是負的，并且這個負的乘積項在數(shù)值上居主導(dǎo)地位。這就說明，在小線段速度銜接的過程中，無論線段的方向角怎么變化，至少有一個坐標(biāo)軸方向處于制動減速狀態(tài)，并且這個坐標(biāo)軸方向的伺服驅(qū)動機構(gòu)的制動減速性能決定了小線段加工速度銜接的質(zhì)量。

2 小線段銜接速度的約束條件

在機床進給驅(qū)動中，伺服驅(qū)動電機工作在恒轉(zhuǎn)矩控制狀態(tài)下，短時間里允許輸出轉(zhuǎn)矩超過額定值，但是輸出功率以額定值為上限。對于處于制動狀態(tài)下的坐標(biāo)軸來說，伺服電機短時工作在發(fā)電狀態(tài)，其提供的制動轉(zhuǎn)矩使機床減速。位置進給伺服系統(tǒng)加減速性能源于靜態(tài)和動態(tài)兩個方面：在靜態(tài)方面源于伺服電機最大輸出轉(zhuǎn)矩的限制；在動態(tài)方面源于伺服系統(tǒng)內(nèi)部的速度環(huán)帶寬對速度過渡快速性的限制。下面分別對這兩方面進行討論。

2.1 伺服電機的最大輸出轉(zhuǎn)矩限制與小線段銜接速度的關(guān)系

如圖1所示，設(shè)小線段An－1An的方向角是（αn，βn，γn），小線段AnAn＋1的方向角是（αn＋1，βn＋1，γn＋1）。從線段An－1An到線段AnAn＋1，加工進給速度的方向發(fā)生改變，但大小不變，均為vn。對各個坐標(biāo)軸，伺服系統(tǒng)的運動速度發(fā)生了改變，其加速度為

各個坐標(biāo)軸的最大加速度受限于伺服電機最大輸出轉(zhuǎn)矩。為不失一般性，可以假定各軸均采用直接驅(qū)動的方式，并假定各絲杠螺距相同，則各個軸的最大加速度為

式中，Txmax、Tymax、Tzmax為三個軸伺服電機的最大驅(qū)動力矩；amx、amy、amz為根據(jù)電機最大力矩確定的各軸的運動加速度；Txf、Tyf、Tzf分別為三個軸方向的切削反抗力矩；Jx、Jy、Jz為折合到伺服電機軸上的有效轉(zhuǎn)動慣量；L為傳動絲杠的螺距；m為垂直運動的有效質(zhì)量。

如果主要研究制動減速的坐標(biāo)軸，那么在制動減速的過程中，切削反抗力矩與電機的制動力矩是同向的，并且大大小于電機的制動力矩。因此可以令

小線段過渡時的速度vn應(yīng)當(dāng)滿足：

2.2 速度環(huán)帶寬與小線段銜接速度的關(guān)系

一般數(shù)控機床的位置進給伺服系統(tǒng)采用半閉環(huán)的控制方式，位置控制器采用“比例＋前饋”的控制策略，內(nèi)部的速度環(huán)可以用一個二階環(huán)節(jié)來表述［8］，如圖2所示。在圖2中，Kp是位置比例增益，F(xiàn)是前饋增益，Kz是機械傳動機構(gòu)的增益，Kv是速度的閉環(huán)增益，ωN是速度環(huán)帶寬，ζ是速度環(huán)的阻尼系數(shù)。

如上所述，在小線段銜接的過程中，沿加工路徑的進給速度大小不變，方向改變，因而至少有一個坐標(biāo)軸上的伺服系統(tǒng)的指令速度會發(fā)生較大改變，并且這一改變是發(fā)生在一個插補周期Δ內(nèi)的。事實上，各個坐標(biāo)軸上伺服的最大加速度，不僅受限于伺服電機的輸出轉(zhuǎn)矩，還必須受限于速度環(huán)的帶寬。

圖2 伺服系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖

在機床加工過程中，為了保證加工質(zhì)量，伺服系統(tǒng)必須單調(diào)跟隨控制指令，不應(yīng)出現(xiàn)超調(diào)和振蕩現(xiàn)象。理論和實踐均表明，速度環(huán)頻帶寬度越寬，越能夠保證伺服系統(tǒng)良好的跟隨性能。若帶寬固定，減小指令加速度，也可使伺服系統(tǒng)跟隨性能變好。

伺服系統(tǒng)的速度環(huán)帶寬是一個重要的設(shè)計指標(biāo)，目前對一般的國產(chǎn)伺服驅(qū)動器而言，這一指標(biāo)達到了250Hz左右，國際上較先進的伺服驅(qū)動器的速度環(huán)帶寬可達400Hz。指標(biāo)是在伺服電機慣量與負載慣量相匹配的情況下達到的。速度控制環(huán)節(jié)的阻尼系數(shù)ζ也是一個重要的性能指標(biāo)，與傳動機構(gòu)的慣量和剛度以及黏性摩擦因數(shù)等有關(guān)［8］。在實際應(yīng)用中，速度環(huán)一般是“微欠阻尼”的，可以用速度超調(diào)量σ來衡量速度跟隨響應(yīng)的品質(zhì)。利用MATLAB7.0的數(shù)值計算和圖形功能，可以得出σ與速度環(huán)帶寬、運動加速度、阻尼系數(shù)ζ等的關(guān)系。

在速度環(huán)帶寬的范圍為100～500Hz、運動加速度的范圍為0.1～1.0m／s2條件下，分別計算了在4種阻尼情況下，速度超調(diào)與帶寬及加速度的關(guān)系，計算結(jié)果如圖3所示。在計算中，利用了自制的伺服性能測試臺的一些機械參數(shù)：轉(zhuǎn)動慣量0.0026kg·m2，絲杠螺距8mm。

圖3顯示的結(jié)果表明，速度超調(diào)與運動加速度、帶寬、阻尼等都有關(guān)系，以阻尼系數(shù)ζ＝0.800的情況為例，若希望將速度超調(diào)控制在0.5%以下，如果速度環(huán)帶寬為400Hz，則坐標(biāo)軸運動加速度不大于0.5m／s2即可；如果速度環(huán)帶寬為250Hz，則坐標(biāo)軸運動加速度則不能大于0.3m／s2。

若三個坐標(biāo)軸根據(jù)帶寬、阻尼等條件而確定的運動加速度分別是ahx、ahy、ahz，并且令

那么小線段過渡時的速度vn還應(yīng)當(dāng)滿足：

圖3 速度超調(diào)與帶寬和加速度的關(guān)系

3 約束條件在速度前瞻算法中的應(yīng)用

前面分析了伺服系統(tǒng)的動力學(xué)特性對數(shù)控機床連續(xù)小線段銜接速度的約束條件，這樣的約束條件可以應(yīng)用在速度前瞻算法中。具體方法如下：

式中，vns為小線段的起點速度；vne為終點速度；s為小線段的長度；anx、any、anz為三個坐標(biāo)軸方向的實際加速度；ahx、ahy、ahz分別為按照速度環(huán)帶寬確定的三個坐標(biāo)軸方向的最大加速度。

4 實例驗證

將速度前瞻技術(shù)應(yīng)用到數(shù)控加工中還涉及諸如工藝參數(shù)、刀具系統(tǒng)、數(shù)控編程等方面的技術(shù)問題，本文試圖從分析機床伺服動力學(xué)特性的角度，對線段間的銜接速度作一些估計和限制，希望藉此提高加工效率并保證速度銜接的平滑性。

本文選用了如圖4所示的某乘用車發(fā)動機蓋沖壓模具型面的數(shù)控銑削加工作為前三節(jié)理論研究的驗證實例。數(shù)控加工設(shè)備為意大利薩克曼蘭鮑蒂公司的龍門式五軸數(shù)控高速銑削中心SPEDH60。該加工中心采用連續(xù)叉式銑頭，工作臺三個軸的行程分別為6000mm、3500mm、1500mm，快速進給速度達20m／min，主軸轉(zhuǎn)速為18 000r／min，數(shù) 控 系 統(tǒng) 為 Simens840D，支 持NURBS插補格式。發(fā)動機蓋零件沖壓凹模型面的數(shù)控銑削從粗加工到局部精整加工共有8道工序，本文選取XY平面中曲率變化大的6個圓角處的加工路徑進行比較研究。選用第8道精整工序，在應(yīng)用CAM對加工區(qū)域進行后置處理時加入速度前瞻約束條件，生成相應(yīng)的刀具軌跡，如圖5所示。在凹模模型上進行精整銑削加工的比對切削實驗，常規(guī)數(shù)控程序切削時間為56min33s，引入速度前瞻約束條件程序的切削時間為44min15s，提高加工效率約20%，切削表面質(zhì)量達到零件設(shè)計要求。圖6所示為凹模型面精加工刀具軌跡。

圖4 發(fā)動機蓋外板零件數(shù)模

圖5 考慮速度前瞻數(shù)控加工的刀具軌跡設(shè)計

圖6 凹模型面精加工刀具軌跡

5 結(jié)束語

本文分析了數(shù)控機床伺服系統(tǒng)的動力學(xué)性能對空間小線段連續(xù)加工銜接過程的影響。從各個坐標(biāo)軸電機的最大力矩以及速度環(huán)帶寬等伺服性能參數(shù)出發(fā)，得到了對銜接過程的速度和加速度影響的一些約束條件，這些約束條件主要與相鄰線段的方向角的變化有關(guān)，在三個坐標(biāo)方向上，方向角變化最大的方向一般是受約束最嚴(yán)格的。在數(shù)控實際加工中的驗證表明，將本文給出的約束條件應(yīng)用到速度前瞻算法中，可以在保證速度銜接的平滑性的前提下，有效地縮短加工時間，提高加工效率。

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