三元素集合中的自封閉加法與2n系列偽隨機(jī)信號編碼

何繼善

(中南大學(xué) 信息物理工程學(xué)院，湖南 長沙，410083)

在科學(xué)研究和實(shí)驗(yàn)探測中，常常需要對被研究對象的頻率特性進(jìn)行研究，例如：任何電子放大器都需要測量其頻率特性；電磁測深根據(jù)地下巖石的頻率響應(yīng)求得不同深度的電性參數(shù)；根據(jù)激發(fā)極化的頻率特性有可能區(qū)分異常源性質(zhì)；根據(jù)外層材料的頻率特性有可能利用頻率域雷達(dá)來探測隱身飛機(jī)，等等。以往的頻率域探測都是采用“變頻法”，即改變頻率，在每個(gè)頻率下進(jìn)行測量，這不但效率低、精度低，而且常常無法應(yīng)用，例如，在反隱身飛機(jī)時(shí)，雷達(dá)本來可以根據(jù)隱身飛機(jī)涂層材料的頻率特性來發(fā)現(xiàn)它，但是，若對運(yùn)動迅速的飛機(jī)在不同頻率下逐個(gè)測量，則無法實(shí)現(xiàn)。在這些研究中，需要振幅相同(或相近)的多個(gè)頻率信號。偽隨機(jī)(Pseudorandom)信號是一種有規(guī)律的、包含多種頻率的信號。一般的偽隨機(jī)信號，其頻率分布和幅頻特性都不能滿足上述要求。因此，筆者于20世紀(jì)80年代提出2n偽隨機(jī)信號編碼原理，獲得一種在對數(shù)頻率坐標(biāo)中等距離分布且振幅均勻的多頻偽隨機(jī)信號，它可以廣泛地用于各種頻域研究中[1-4]，包括在海洋中的應(yīng)用[5]。正因?yàn)槿绱?，在研制?n偽隨機(jī)信號發(fā)生器和2n偽隨機(jī)信號電磁儀并得到實(shí)際應(yīng)用后，引起了學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注，“均勻廣譜偽隨機(jī)電磁法及應(yīng)用”于2006年獲得國家發(fā)明二等獎。一些研究者試圖對其進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，然而只是對其現(xiàn)象的描述[6]，因此，有必要系統(tǒng)討論其原理。在此，本文就“-1，0，1三元集合中的自封閉加法”和“2n系列偽隨機(jī)信號編碼原理”進(jìn)行研究。

1 -1，0，1三元素集合中的自封閉加法

定義：設(shè)存在1個(gè)集合||2z＜Z(其中，Z為整數(shù)集)，它由絕對值小于2的整數(shù)構(gòu)成。||2z＜Z中共有3個(gè)元素：-1，0和1，規(guī)定在||2z＜Z中下列加法運(yùn)算成立：

有限個(gè)1相加等于1，即

有限個(gè)-1相加等于-1，即

有限個(gè)0相加等于0，即

這一規(guī)定的實(shí)質(zhì)是：||2z＜Z中任何2個(gè)元素之和以及任何1個(gè)元素本身連加有限次之和，其結(jié)果仍然包含在||2z＜Z中。該加法還具有如下性質(zhì)。

(1) 1，0，-1三元素之間加法的單次運(yùn)算，滿足加法的交換律和結(jié)合律：

(2) 在1個(gè)算式中，1或者-1自身重復(fù)相加2次或2次以上，必須順次相加，且交換律和結(jié)合律均不成立，如：

(3) 集合||2z＜Z中的0元素，不允許拆分為其他2個(gè)元素之和再進(jìn)行運(yùn)算，如1+0=1中，不可以把0拆開成1+(-1)，即

因?yàn)椴痖_的結(jié)果與事實(shí)不符。

在數(shù)學(xué)中，把滿足某些運(yùn)算規(guī)則的集合稱為代數(shù)系統(tǒng)。群、環(huán)、域就是3個(gè)基本的代數(shù)系統(tǒng)，例如，滿足某些加法規(guī)則的稱為加法群，滿足某些乘法規(guī)則的稱為乘法群，等等。加法群的定義如下。

給定1個(gè)非空集合G，它滿足：

(1) 對集中每一對元素a和b，aG∈，bG∈，有唯一確定的元素c，

即G在“+”號下是封閉的。

(2) 對任意aG∈，bG∈，cG∈，有

即G在“+”之下是可結(jié)合的。

(3) 在G中有1個(gè)0元素(單位元)，對任意 aG∈，滿足

(4) 對任意aG∈，有1個(gè)負(fù)元素(逆元)-a，滿足

則集合G稱為加法群。

上述4個(gè)條件中，第1條“封閉性”是“群”的最本質(zhì)的特征。如果除了上面的4個(gè)條件之外，G還滿足下面第5個(gè)條件：

(5) 對于G中的任何2個(gè)元素a和b，有

即群中的加法滿足交換律，就稱這種群為加法交換群或阿貝爾(Abel)群。

整數(shù)集Z包括正整數(shù)，負(fù)整數(shù)和0，滿足上面的定義，是1個(gè)加法群，也是1個(gè)阿貝爾群。

本文研究的絕對值小于2的整數(shù)集合||2z＜Z，顯然是整數(shù)集Z的1個(gè)子集。

在加法群定義中，規(guī)定了G中任何2個(gè)元素之和仍是G的元素，但沒有規(guī)定某元素自身連加若干次的和仍是該元素本身。布爾代數(shù)中雖然有1+ 1= 1 ，但布爾代數(shù)不含負(fù)元素，不能回答為多少的問題。所以，本文對于集合Z|z|＜2中特殊加法的規(guī)定是有實(shí)際意義的。這種特殊加法雖然不完全滿足“群”定義中的結(jié)合律和交換律，但是，它滿足“群中的任何元素以任何方式相加，其結(jié)果均封閉在群內(nèi)”這一關(guān)于“加法群”的最本質(zhì)的性質(zhì)。本文將Z|z|＜2命名為特殊加法群，并將該特殊加法稱為1，0和-1三元素集合中的自封閉加法。為了與普通算術(shù)加法、模 2加法以及布爾加法等相區(qū)別，本文規(guī)定用記號+來表示這種三元素加法群Z|z|＜2中的自封閉加法運(yùn)算。定義這種限制在三元素集合Z|z|＜2中的自封閉加法，可以求得2n序列偽隨機(jī)編碼，它在科學(xué)研究和工程技術(shù)實(shí)踐中有著重要的應(yīng)用。

2 2n系列偽隨機(jī)信號編碼原理

某些函數(shù)可以用數(shù)字編碼表示。如周期為4的函數(shù)：

其圖形如圖1所示。

圖1 式(18)的函數(shù)圖形Fig.1 Graph of function expressed by Eq. (18)

該函數(shù)可用含有 1，0，-1這3個(gè)碼元的編碼表示，記為…，1，0，-1，0，…。

考察函數(shù)：

其中：i=1, 2, …, n; k=0, ±1, ±2, ±3, …。當(dāng)i=1時(shí)，式(19)成為：

很明顯，這是振幅A=1和周期T=2的方波，波形見圖2。

圖2 式(20)表達(dá)的方波Fig.2 Rectangular wave expressed by Eq.(20)

它可以用含有1和-1這2個(gè)元素的編碼來表示。為了書寫方便、整齊，把-1的“-”號，移到數(shù)字的上面，寫成。這樣，函數(shù)f1(t)的編碼可記為{11} (因函數(shù)fi(t)具有周期性，故只需寫出其1個(gè)周期的編碼，以下同)。

式(22)也可以記為

其中：fi(t)由(19)式給出。i=3的三頻偽隨機(jī)在理論和應(yīng)用中很重要[1]。當(dāng)i=3時(shí)，

f3(t)在1個(gè)周期的編碼為把f1(t)→ f3(t)按符號+的含義相加，可記為

便得到 i=1, …, n共 n個(gè) fi(t)按三元素集合(加法群)Z|z|＜2中自封閉加法相加的結(jié)果，并且可用三元素編碼來表示，如：k=4的編碼為的編碼為

按式(26)得到的函數(shù) Fn(t)和它的編碼序列，含有周期為2i(i=1, …, n)、共n個(gè)不同周期(從而頻率)的成分。這種編碼具有一定的隨機(jī)性，元素1和1呈不等的間距相間出現(xiàn)，出現(xiàn)的概率相等。此外，它又具有周期性，可以預(yù)先確定和重復(fù)產(chǎn)生，并非真正的隨機(jī)，所以，把它命名為2n系列偽隨機(jī)編碼。這個(gè)編碼是由函數(shù)fi(t)按三元素集合(加法群)||2z＜Z中的自封閉加法產(chǎn)生的，故將fi(t)稱為2n系列偽隨機(jī)編碼的母函數(shù)。

按照式(26)，由函數(shù) fi(t)生成的函數(shù) Fn(t)及其編碼，是一種周期長度為 2n，含有 n個(gè)周期分別為 2i(i=1, …, n)的不同成分的復(fù)碼。n越大，其周期越長，含有的成分就越豐富，編碼也就越復(fù)雜，難以從式(26)直觀地看出編碼的結(jié)構(gòu)和函數(shù)的性質(zhì)，給其研究和應(yīng)用帶來不便。只有找出不同n值的一系列編碼之間的內(nèi)在聯(lián)系，才能從n很小的簡單編碼中寫出n為任意值的復(fù)雜編碼，為此，導(dǎo)出如下遞推關(guān)系。

當(dāng)i=1=n時(shí)，

借助數(shù)學(xué)歸納法可以證明：對于 n=2p+1，p=0，1，2，…時(shí)，遞推關(guān)系式(42)都成立。不難證明，當(dāng)n=7時(shí)，函數(shù)F7(t)的編碼(A7)為：

這就證明：本文導(dǎo)出的遞推公式，對于n為奇數(shù)的2n系列偽隨機(jī)編碼是正確的。

從式(32)，(41)和(44)可以看到：n為奇數(shù)的2n系列偽隨機(jī)編碼只含有1和1這2個(gè)元素，是一種二元編碼序列。在1個(gè)周期中，2個(gè)元素出現(xiàn)的概率相等，各占

其中：N為自然數(shù)集合。n為偶數(shù)和n為奇數(shù)的2n系列偽隨機(jī)編碼的遞推公式雖然相同，但是它們又各有特點(diǎn)。n為奇數(shù)的編碼序列是一種由1和1組成的二元序列，1和出現(xiàn)的概率相等。但是，n為偶數(shù)的編碼序列是一種由1，0，組成的三元序列，如：

3 2n系列偽隨機(jī)編碼的振幅分布

表1 n=3～15時(shí)2n序列偽隨機(jī)編碼主要成分的振幅Table 1 Amplitudes of main components of 2n sequence pseudo-random codes for n=3-15

由表1可見：雖然2n系列偽隨機(jī)編碼含有無窮個(gè)諧波成分，但是，只有基波和某些諧波的振幅較大，它們可以稱為主頻。特別是，n為某值的2n系列偽隨機(jī)編碼，其主要成分只有 n個(gè),它們是 k=1的基波和k=21, 22, …, 2n-1的諧波，這些主頻波按2n排列，即在對數(shù)坐標(biāo)上是等距離排列。而且這n個(gè)主要成分的振幅彼此之間相差不大，其他的諧波振幅都很小，能量都集中在主頻上。而且與只含有1個(gè)主要成分的矩形波相比，含有n個(gè)主要成分的2n序列偽隨機(jī)電流，它的n個(gè)主要成分的振幅并不等于基波振幅的1/n，而是比基波振幅的1/n大很多。例如，對于偽隨機(jī)3頻波，其主要成分振幅最小的為0.636 6，而不是1/3；對于偽隨機(jī)5頻波，其主要成分的振幅最小的為0.477 5，而不是1/5；對于偽隨機(jī)7頻波，其主要成分的振幅最小的為0.348 2，而不是1/7，等等。因此，用這種編碼形成的信號進(jìn)行測試，可以節(jié)約能量，還可以大大提高效率[7-9]。

4 結(jié)論

(1) -1，0，1三元素集合中的自封閉加法與普通的算術(shù)加法、模2加法以及布爾加法等不同，是一種新的、特殊加法，它為研究各種波形提供了一種有力的數(shù)學(xué)工具。

(2) 用一定的編碼表達(dá)特定的波形，可以使對復(fù)雜波形性質(zhì)的研究清晰、簡潔，依據(jù)-1，0，1三元素集合中的自封閉加法得出的編碼規(guī)律，能正確地推導(dǎo)出2n系列偽隨機(jī)信號波形。

(3) 由于2n系列偽隨機(jī)信號的各主頻按2n分布，而且它們的振幅均勻，是頻率域研究中的一種理想信號波形。在電法勘探中應(yīng)用時(shí)，可以節(jié)約能源，大幅度提高觀測速度和相對觀測精度。

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