調(diào)和方程Dirichlet外問題的Green函數(shù)研究

(長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

調(diào)和方程作為偏微分方程中最典型的一種，在研究調(diào)和場理論與電磁場的性質(zhì)時常會遇到，而Green函數(shù)是求解調(diào)和方程邊值問題的重要方法之一，在船舶磁場的計算[1]與物理大地測量學(xué)[2]等方面都有應(yīng)用，因此對調(diào)和方程Green函數(shù)的研究既有理論意義又有實用價值。傳統(tǒng)教材定義調(diào)和方程的Green函數(shù)有2種方式，分別是基本解方式[3]和狄拉克δ函數(shù)方式[4]，文獻(xiàn)[5]還討論了2種定義方式的等價性，而且?guī)缀跻訢irichlet內(nèi)問題進(jìn)行討論,只有文獻(xiàn)[2]討論了外問題的Green函數(shù)，但沒有給出滿足的條件。為此，筆者在以基本解方式定義Green函數(shù)的基礎(chǔ)上，導(dǎo)出了有界區(qū)域外部調(diào)和函數(shù)的積分表達(dá)式，并在此基礎(chǔ)上給出了Dirichlet外問題的Green函數(shù)及其滿足的條件，最后用此Green函數(shù)給出了調(diào)和方程球域外Dirichlet問題的解?。

1 有界區(qū)域外部調(diào)和函數(shù)的積分表達(dá)式

(1)

以M0為球心、充分小的正數(shù)ε為半徑作球面Γε,記小球面所包圍的區(qū)域為Kε?Ω′。再以原點O為球心、以任意大的正數(shù)R為半徑作球面ΓR，使得ΓR包含Γ和Γε，并記ΓR與Γ所夾的區(qū)域為ΩR。在以?！圈＆拧圈為邊界的區(qū)域ΩRKε上,對調(diào)和函數(shù)u,v應(yīng)用格林第二公式[3]可得：

即:

(2)

從而:

在大球面ΓR上,由文獻(xiàn)[6]知：

由三角不等式rOM≤rOM0+rM0M可得：

在式(2)中,令ε→0，R→+∞可得：

(3)

式中,ΓR的法向量指向內(nèi)側(cè)。

2 Dirichlet外問題的Green函數(shù)及其滿足的條件

作以原點O為球心，任意大的正數(shù)R為半徑的球面ΓR，使得ΓR包含Γ，并記ΓR與Γ所夾的區(qū)域為ΩR。在以?！圈為邊界的區(qū)域ΩR上,對調(diào)和函數(shù)u、g應(yīng)用格林第二公式[3]可得：

即：

(4)

在球面ΓR上,由于:

在式(4)中,令R→+∞可得：

(5)

式中，Γ的法向量指向內(nèi)側(cè)。

式(3)減去式(5)可得：

記：

并注意到u、g滿足的邊界條件，得到：

(6)

(7)

3 應(yīng) 用

圖1 靜電源像法求Green函數(shù)示意圖

作為Dirichlet外問題Green函數(shù)的應(yīng)用，下面求解以原點O為球心，R為半徑的球面KR外的Dirichlet外問題：

(8)

其中,u在KR上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。

這是感應(yīng)電荷的等效電位，其中q待定。

M處的總電位為：

由余弦定理及關(guān)系式ρ0ρ1=R2可得：

其中,γ是ρ0與ρ之間的夾角。顯然g(M,M0)滿足條件(7)。

由式(6)化為球坐標(biāo)形式可得問題(8)的解為：

其中,cosγ=cosθcosθ0+sinθsinθ0cos(φ-φ0)。

[1]周耀忠.格林函數(shù)在船舶磁場計算中的應(yīng)用[J].中國修船，2006，19(5)：29～31.

[2]張傳定，陸仲連.球域調(diào)和函數(shù)外部邊值問題的格林函數(shù)解[J].解放軍測繪學(xué)院學(xué)報，1994，11(3)：161～165.

[3]谷超豪.數(shù)學(xué)物理方程[M].第2版.北京：高等教育出版社，2002.68～95.

[4]于濤.數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)[M].哈爾濱：哈爾濱工程大學(xué)出版社，2006.99～116.

[5]柯導(dǎo)明，陳軍寧.數(shù)學(xué)物理方法[M].北京：機械工業(yè)出版社，2008.297～311.

[6]趙天玉，劉慶.反演變換在調(diào)和函數(shù)研究中的應(yīng)用[J].長江大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2009，6(3)：N1～4.