存貸款利率隱含期權(quán)定價(jià)的蒙特卡羅模擬及其改進(jìn)

劉鳳琴,馬俊海,戈曉菲

(1.浙江財(cái)經(jīng)學(xué)院信息學(xué)院,浙江 杭州 310018;2.浙江財(cái)經(jīng)學(xué)院金融學(xué)院,浙江 杭州 310018)

一、引 言

隨著我國金融市場的不斷開放和利率市場化進(jìn)程的推進(jìn),市場利率的波動(dòng)越來越頻繁和激烈,給我國商業(yè)銀行帶來了新的機(jī)遇和挑戰(zhàn)：利率的頻繁波動(dòng)將使商業(yè)銀行面臨更大的期權(quán)性風(fēng)險(xiǎn)。因此研究銀行等金融機(jī)構(gòu)資產(chǎn)、負(fù)債隱含期權(quán)的定價(jià)技術(shù)對(duì)我國商業(yè)銀行在產(chǎn)品開發(fā)和風(fēng)險(xiǎn)管理等方面都具有重要的理論及現(xiàn)實(shí)意義。在隱含期權(quán)的定價(jià)方面,國內(nèi)外學(xué)者取得了許多重要研究成果。從國際上所取得的研究成果來分析,Brent W.,Richard(1998)利用蒙特卡羅方法對(duì)亞式期權(quán)中的隱含期權(quán)進(jìn)行了定價(jià)分析,并通過參數(shù)估計(jì)得出了含有亞式期權(quán)的債券的價(jià)格[1];Brooks R(1996)還通過橫截面數(shù)據(jù)對(duì)利率水平和CDs中隱含期權(quán)價(jià)值作了敏感性分析[2];Hatem Ben-Ameur(2006)的研究發(fā)現(xiàn)隱含期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)還可能來源于資產(chǎn)負(fù)債凸性的改變而導(dǎo)致資產(chǎn)、負(fù)債價(jià)格發(fā)生不可預(yù)期的改變,同時(shí)對(duì)存款當(dāng)中的隱含期權(quán)進(jìn)行了研究,分析了定期存款中存在有利于存款人選擇或不選擇提前支取的特權(quán)及行使特權(quán)的時(shí)間特征[3]。國內(nèi)的隱含期權(quán)研究近幾年發(fā)展也很快,鄭振龍等(2004)則對(duì)存貸款產(chǎn)品中隱含期權(quán)的定價(jià)作了詳細(xì)的研究,他們用無套利定價(jià)方法為存貸款產(chǎn)品中隱含期權(quán)進(jìn)行了定價(jià),并得出了我國銀行存貸款利差過低的結(jié)論[4];夏和平等 (2007)就隱含期權(quán)條件下銀行資產(chǎn)、負(fù)債利率風(fēng)險(xiǎn)控制進(jìn)行了研究,指出了隱含期權(quán)條件下銀行資產(chǎn)、負(fù)債的利率風(fēng)險(xiǎn)控制策略[5]。

由上分析可知,近些年來國內(nèi)外關(guān)于銀行隱含期權(quán)定價(jià)問題的研究取得了一定的研究成果,但是仍然主要集中在對(duì)含有隱含期權(quán)的利率風(fēng)險(xiǎn)的測(cè)量方面,而對(duì)于存貸款中隱含期權(quán)的定價(jià)則缺乏研究,特別是基于利率動(dòng)態(tài)變化的存貸款的提前執(zhí)行情況。另外在研究方法上,前人提出的無套利分析方法、微分方程法等都是基于一系列苛刻的假設(shè),在更復(fù)雜的情況下 (如加入利率的跳躍因子)可能無法得出精確的解。而蒙特卡羅模擬方法基于其自身的優(yōu)點(diǎn)及可解決多維證券定價(jià)的特點(diǎn),將成為此類金融產(chǎn)品定價(jià)發(fā)展的趨勢(shì)所在。本文即提出使用蒙特卡羅模擬技術(shù)對(duì)貸款中的隱含期權(quán)進(jìn)行定價(jià),利用仿真的方法模擬出在不同的利率水平下的各期權(quán)的實(shí)際價(jià)值。

二、可提前償付存貸款的執(zhí)行邊界分析

(一)定期存款中隱含期權(quán)的執(zhí)行邊界分析

將定期存款中的隱含期權(quán)視為一種美式期權(quán),具有很強(qiáng)的期權(quán)特性[6]。投資者在到期日之前都可以執(zhí)行此期權(quán)使自己的收益最大化,因此有必要對(duì)投資者何時(shí)行使該期權(quán)進(jìn)行界定。如存款者在0時(shí)刻跟銀行簽訂了一個(gè)T年期定期存款合約,合約的利率為R0,T,活期利率為h0,T。若始終維持此合約,則到期時(shí)的本利和為eR0,TT(采用復(fù)利計(jì)算)。若在t時(shí)刻,銀行突然宣布上調(diào)利率至Rt,T,假設(shè)投資者的投資期間不變,為0-T,投資者的投資目標(biāo)是要使期間的收益最大化。

則維持該存款合約的到期本息和會(huì)超過在t時(shí)刻提前支取并簽訂另一合約所獲得的本息和,因此存款人會(huì)選擇維持該合同。

則表明在t時(shí)刻提前支取,獲得0至t時(shí)刻的活期存款利息與本金,并重新簽訂0—T年期的定期存款,在0至T時(shí)刻所得的本金與利息和大于按0時(shí)刻的利率計(jì)算的本息和,則為使自己的收益最大化,該存款人會(huì)選擇提前支取并轉(zhuǎn)存。

將以上兩種情況相結(jié)合,在t時(shí)刻,投資者在T期末總收益可以表示為：

所以該期權(quán)的執(zhí)行條件為：

期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為：eR0,T*T。該期權(quán)表示一個(gè)利率看漲期權(quán),其中eR0,T*T表示0-T內(nèi)不含期權(quán)的貸款利率本利和。在期權(quán)執(zhí)行之后,借款人可重新申請(qǐng)一個(gè)期限為T-t的貸款,自然又獲得了一個(gè)期權(quán),即在 T-t期間又可以進(jìn)行提前支取并按新利率簽訂新合同,此時(shí)的執(zhí)行價(jià)格為eRt,T(T-t)。因此對(duì)于存款人來說,一個(gè)定期貸款可以分解為一個(gè)基本的債權(quán)和若干個(gè)美式看漲期權(quán),此期權(quán)的執(zhí)行與否,完全取決于存款利率的變化。

(二)可提前償還貸款中隱含期權(quán)的執(zhí)行邊界分析

假設(shè)當(dāng)期一個(gè)投資者同銀行簽訂一份期限為T的貸款合同,連續(xù)復(fù)利貸款利率為r0,T,貸款金額簡化為1,違約金為α,假設(shè)貸款人貸款期間不變?yōu)?-T。如果貸款者沒有提前償還貸款,則其總成本為er0,T*T(為簡化起見,假設(shè)貸款為到期一次性償還)。如果在時(shí)刻t,市場利率突然發(fā)生改變,則在余下的時(shí)間T-t,新的貸款利率表示為：rt,T。

則維持該項(xiàng)貸款的到期本利和會(huì)超過在t時(shí)刻提前償還的本利與違約金兩項(xiàng)之和按照新利率計(jì)算的到期本利和。因此貸款人會(huì)選擇提前償還貸款,繳納違約金,并按新利率rt,T申請(qǐng)本金為T-t的新貸款。

則維持原有定期貸款的成本低于提前償還,繳納違約金并兩項(xiàng)金額重新簽訂新貸款的總成本,借款人會(huì)維持原有貸款合同不變。

將以上兩種情況相結(jié)合,在t時(shí)刻,借款人貸款期末總成本可以表示為：

所以該期權(quán)的執(zhí)行條件為：

三、銀行期權(quán)定價(jià)的蒙特卡羅模擬過程

利率的動(dòng)態(tài)特征對(duì)于利率的預(yù)測(cè)及相關(guān)衍生產(chǎn)品的定價(jià)具有重要意義,因此對(duì)利率模型的估計(jì)也提出了許多不同的方法,其中以極大似然法 (MLE)和廣義矩估計(jì)法 (GMM)的理論研究和實(shí)證支持最具代表性,其中已有文獻(xiàn)證明,對(duì)于復(fù)雜利率模型的估計(jì),MLE方法的精確性優(yōu)于GMM方法[7],故本文擬采用MLE方法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。基于模型對(duì)中國金融市場利率的適應(yīng)性,同時(shí)考慮到模型估計(jì)的便利性,本文使用CIR模型,并在此模型中加入跳躍項(xiàng),表示市場的突發(fā)事件(如政策的突變、股市崩盤等)對(duì)利率過程帶來的影響。

CIR模型認(rèn)為,在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中,短期利率的變化過程遵從：

其中,r表示短期瞬時(shí)利率,k表示利率均值回復(fù)速度,θ表示長期均值,σ表示波動(dòng)率。在本論文中,我們?cè)谠摱唐诶首兓屑尤胩S項(xiàng),即單因子瞬時(shí)短期利率均值回歸漂移——跳躍模型,可以表示為：

其中k表示向均值調(diào)整的速度,u(t)表示時(shí)刻t的利率長期均值,σ(t)則表示波動(dòng)率,W(t)代表布朗運(yùn)動(dòng)。J代表服從某些分布的隨機(jī)變量,為避免突發(fā)的深度跳躍使利率出現(xiàn)負(fù)值情況,我們這里假設(shè)J服從 (a,b)的均值分布,dP則代表強(qiáng)度為λ的泊松分布。

關(guān)于模型的參數(shù)估計(jì),可以參看劉鳳琴等 (2009)關(guān)于參數(shù)估計(jì)及其蒙特卡羅檢驗(yàn)[8]。本文在此主要分析其價(jià)格的蒙特卡羅估計(jì)過程。

(一)蒙特卡羅模擬過程的基本步驟

蒙特卡羅模擬的實(shí)質(zhì)是通過隨機(jī)抽樣的樣本均值來近似代替隨機(jī)分布的總體期望值,從而得到對(duì)隨機(jī)分布數(shù)學(xué)期望的實(shí)際估計(jì)的數(shù)值分析方法。蒙特卡羅模擬就是通過模擬這些數(shù)學(xué)期望或積分來估計(jì)標(biāo)的變量的[9],其步驟如下：

1.風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下模擬出標(biāo)的變量在有效期內(nèi)的樣本路徑

在前文分析的理論基礎(chǔ)上,我們?cè)贑IR模型中加入跳躍項(xiàng)J,使之更符合實(shí)際情況中利率的不連續(xù)變動(dòng),即有：

將此模型用離散化進(jìn)行模擬,取△t=1個(gè)月,模擬在當(dāng)前初始利率狀態(tài)下,經(jīng)過5年即60個(gè)月的時(shí)間后,利率可能經(jīng)過的路徑,重復(fù)利用此模擬方法,可以模擬此利率路徑圖。

2.各樣本模擬路徑上的隱含期權(quán)價(jià)值的計(jì)算

根據(jù)該利率變動(dòng)的特點(diǎn),在每一條利率樣本路徑上均可能涉及到存款的提前支取情況,因此在一條路徑中可能存在多個(gè)期權(quán)執(zhí)行情況,但基于美式期權(quán)執(zhí)行的最優(yōu)策略問題,其間只存在一個(gè)最佳執(zhí)行點(diǎn),則此最佳執(zhí)行策略時(shí)的期權(quán)值的貼現(xiàn)值即為該條模擬上隱含期權(quán)的期權(quán)值。即期權(quán)值為：

其中,C為期權(quán)的價(jià)值,r為無風(fēng)險(xiǎn)利率,X為此存款未被提前執(zhí)行時(shí)的利息總和,ST為存款進(jìn)行轉(zhuǎn)存后所得的最大利息和。

3.對(duì)所模擬出的樣本路徑上的相應(yīng)期權(quán)值求平均值

對(duì)所模擬出的樣本路徑上相應(yīng)期權(quán)值求平均值,得到此定期存款中隱含期權(quán)估計(jì)值。即：

(二)對(duì)偶變量方差減少技術(shù)應(yīng)用

按傳統(tǒng)的蒙特卡羅模擬方法進(jìn)行,需要很大的次數(shù)N值,才能得到滿足精度要求的隱含期權(quán)c的估計(jì)值,這將消耗大量的計(jì)算時(shí)間,為了使這種方法更具有適用性,即減少計(jì)算量和縮小誤差,提出了很多優(yōu)化方法：如對(duì)偶變量技術(shù)、控制變量技術(shù)、重點(diǎn)抽樣法、時(shí)刻匹配法等。本文使用對(duì)偶變量技術(shù),該方法的實(shí)質(zhì)是：每次模擬運(yùn)算期權(quán)價(jià)值的兩個(gè)值,第一個(gè)C1通過正常方法得到,第二個(gè)C2是通過改變抽樣樣本的符號(hào)計(jì)算出來的 (如果ε是用來計(jì)算第一個(gè)期權(quán)值的樣本,則-ε用來計(jì)算第二個(gè)值的樣本)。由該模擬運(yùn)算得出的期權(quán)價(jià)值是這兩個(gè)計(jì)算值的平均值[10]。將對(duì)偶變量法引入蒙特卡羅模擬的步驟是：

(1)風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度下模擬出標(biāo)的變量Y在衍生證券有效期內(nèi)的樣本路徑,并采取相同的隨機(jī)變量生成標(biāo)的變量X在衍生證券有效期內(nèi)的樣本路徑,即Y的利率路徑為：

其中dwt值是通過 ti-ti-1Z即 ΔtZ來模擬,Z～N(0,1)服從正態(tài)分布;J服從均值為 (a,b)的均值分布,dP為強(qiáng)度λ的泊松分布,也是通過隨機(jī)抽樣來抽取。因此,假設(shè)在一次利率模擬中dwt的抽樣值為a,Jdp的抽樣值為b,則變量X的利率路徑可表示為：

(2)根據(jù)該衍生證券的性質(zhì),估計(jì)出第i條樣本路徑上的基于利率RR的X隱含期權(quán)與基于利率R的Y存款隱含期權(quán)的貼現(xiàn)盈利收益;

(3)對(duì)所模擬出來的X與Y樣本收益上盈利收益求平均,得到該衍生證券的估計(jì)值。

四、實(shí)證模擬

(一)案例描述及實(shí)施過程

在這里我們選擇定期存款隱含期權(quán)為研究對(duì)象加以分析。以2007年11月21日公布的五年期存款利率0.0585為初始利率,計(jì)算從該時(shí)期開始的五年期存款中的隱含期權(quán)值。貼現(xiàn)利率取一年期定期存款利率值：0.0414。為了計(jì)算定期存款中隱含期權(quán)的價(jià)格,我們可以根據(jù)前面估計(jì)出來的參數(shù)模擬出未來存款利率的變動(dòng),并計(jì)算每次利率變動(dòng)路徑下的期權(quán)收益,最后求出收益的均值并按照原先利率進(jìn)行貼現(xiàn),就可以得到隱含期權(quán)的價(jià)格[7]。根據(jù)央行2007年11月21日對(duì)人民幣利率的調(diào)整,現(xiàn)行的存款基準(zhǔn)利率分別為：

表1 2007年11月21日央行公布的存款基準(zhǔn)利率

(二)蒙特卡羅模擬方法估計(jì)期權(quán)價(jià)值的步驟

1.利率路徑的模擬

根據(jù)前述參數(shù)估計(jì)方法,我們可以得出參數(shù)值的取值為：

則此定期存款利率的跳躍擴(kuò)散模型離散化公式為：

Rt取現(xiàn)存的五年期定期存款利率 0.0585;△t以月為單位,即1/12;布朗運(yùn)動(dòng) dwt可用來模擬,其中Z～N(0,1)正態(tài)分布,可在Matlab里實(shí)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的樣本抽樣;J服從均值為 (-0.018,0.018)的均值分布,dP為強(qiáng)度λ為0.0995的泊松分布,均通過Matlab中命令的識(shí)別抽樣完成。

2.計(jì)算出在期權(quán)被執(zhí)行時(shí)的價(jià)值

若此客戶選擇在t時(shí)刻提前支取存單,在t時(shí)刻的利率水平為rt,T=rt,60,活期存款利率為h0,T,則其再存款的利息之和為則其選擇提前支取存款并以另一利率轉(zhuǎn)存的前提條件是：初始存款總收益小于轉(zhuǎn)存后利息總收此式中的t即為理性的提前償付日期。期權(quán)的價(jià)值為：C=e-rtmax(ST-X,0)。另外,考慮美式期權(quán)的最優(yōu)執(zhí)行策略問題,在一條利率模擬路徑上,使期權(quán)值最大的時(shí)間點(diǎn)作為執(zhí)行期權(quán)的時(shí)間點(diǎn),再將此值用時(shí)間價(jià)值進(jìn)行貼現(xiàn),即可得出此期權(quán)的價(jià)值。如此根據(jù)利率的一次模擬,即可形成一次存款及其提前支取行為。

圖1是模擬10000次的過程中,各條路徑上相應(yīng)的隱含期權(quán)值。由此可見,在10000次的運(yùn)行中,定期存款中的隱含期權(quán)執(zhí)行與否是隨著利率模擬路徑的變化而變化的,在有些利率路徑變化過程中,不執(zhí)行期權(quán)為宜,而在有些利率路徑圖中,執(zhí)行期權(quán)是明智的選擇。

3.對(duì)所模擬出的樣本路徑上的相應(yīng)期權(quán)值求平均值

圖1 5年期定期存款中隱含期權(quán)的被執(zhí)行情況模擬

根據(jù)大數(shù)定理,將模擬運(yùn)行多次(5000次以上),運(yùn)行結(jié)果的平均值即為所求值。并分別通過模擬1000次、2000次、5000次、10000,分析其收斂情況如圖2。

由上圖2可看出,該隱含期權(quán)值在模擬運(yùn)行2000次以內(nèi)時(shí),期權(quán)的波動(dòng)較大,且并不穩(wěn)定,而大約在運(yùn)行3000次后一直到10000次,期權(quán)值漸漸趨于穩(wěn)定,最后的期權(quán)值為0.0015。模擬運(yùn)行后,期權(quán)值的估計(jì)值趨向于平穩(wěn),得出此估計(jì)值為：c=0.0015;即5年以上利率為0.0585的定期存款,存款期限為5年時(shí),其隱含期權(quán)的價(jià)值為0.15%。即根據(jù)無套利定價(jià)理論,商業(yè)銀行的5年期存款利率應(yīng)為：原存款利率-隱含期權(quán)價(jià)格：0.0585-0.0015=0.0570。

(三)對(duì)偶變量技術(shù)應(yīng)用

從圖2中可以看出,蒙特卡羅模擬明顯的不足就是對(duì)于一些復(fù)雜的衍生證券,為得到精確的結(jié)果,需要進(jìn)行很多的模擬次數(shù),否則將產(chǎn)生較大的估計(jì)方差。如上例中,需要運(yùn)行程序大約3000次才真正得以收斂。根據(jù)對(duì)偶變量技術(shù)原理,我們對(duì)蒙特卡羅模擬方法進(jìn)行改進(jìn),得到其穩(wěn)定性能圖,將其與傳統(tǒng)蒙特卡羅模擬方法進(jìn)行比較如下：

圖2 MC模擬1000、2000、5000、10000次的期權(quán)值收斂情況

圖3 傳統(tǒng)的MC方法與優(yōu)化的MC方法分別運(yùn)行5000次得出期權(quán)值的波動(dòng)比較

其中,圖3中左圖是傳統(tǒng)的蒙特卡羅模擬運(yùn)行5000次的情況,右圖是加入對(duì)偶變量技術(shù)的蒙特卡羅模擬運(yùn)行5000次的情況。由此可以比較得出,加入方差減少技術(shù)的蒙特卡羅模擬方法,其收斂速度大大加快,即有效克服了蒙特卡羅模擬收斂速度慢的問題。而兩種模擬方法得出的期權(quán)值都是一樣的,即0.0015。

五、結(jié)論分析

本文主要研究結(jié)論包括三個(gè)方面：一是可提前支取存款是一種復(fù)雜的隱含期權(quán)。對(duì)投資者而言,定期存款可以分解為一個(gè)基本債權(quán)和若干個(gè)美式看漲期權(quán)的多頭;對(duì)銀行而言,定期存款可以分解成一個(gè)基本債務(wù)和若干個(gè)美式看漲期權(quán)的空頭。二是運(yùn)用蒙特卡羅模擬能比較有效解決商業(yè)銀行存款中隱含期權(quán)的定價(jià)問題,且加入方差減少技術(shù)的蒙特卡羅模擬方法可以大大降低其誤差,提高其模擬收斂效率。三是在目前的利率水平和利率管制體制下,中國銀行機(jī)構(gòu)的存款利率相對(duì)偏高,其存款利息成本高于風(fēng)險(xiǎn)收益,存在缺口。

由于本文研究內(nèi)容具有很大的復(fù)雜性和綜合性,而且研究的領(lǐng)域也比較新,隱含期權(quán)理論還不是很成熟,有些觀點(diǎn)與國內(nèi)外學(xué)者還未達(dá)成一致,所以給本文的研究帶來一定的困難,對(duì)存貸款中隱含期權(quán)的應(yīng)用研究存在許多不足,還處于起步階段,有很多的問題有待進(jìn)一步研究和探討。

[1]Brent W.,Richard J.,Embedded.Options in the Mortgage Contract[D],Working Paper,1998,Pennsylvania University.

[2]Brooks R.Computing Yields on Enchanced CDs,Financial Service Review.1996,5(1)：31-42.

[3]Hatem Ben-Ameur,Michele Breton,Lotfi Karoui.A Dynamic Programming Approach for Pricing Options Embedded in Bonds[J],Journal of Economic Dynamics&Control.2006

[4]鄭振龍,林海.銀行資產(chǎn)負(fù)債中隱含期權(quán)的定價(jià)[J].金融研究,2004,(7).

[5]夏和平,周茂彬,王小明.存貸款業(yè)務(wù)中的隱含期權(quán)對(duì)我國商業(yè)銀行利率風(fēng)險(xiǎn)的影響 [J],金融研究,2007,(9)：138-150.

[6]劉暢,徐承龍,謝志華.提前還貸及其隱含期權(quán)的分析[J],應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2006,(12)：25-30.

[7]Longstaff,F.A,Schwartz,E.S.Valuing American Options by Simulation：Simple Least squaresapproach[J],Review of Financial Studies,2001,14(1)：113-147.

[8]劉鳳琴,戈曉菲.利率跳躍擴(kuò)散模型的理論估計(jì)與蒙特卡羅模擬檢驗(yàn) [J].管理工程學(xué)報(bào),2009,(4)：91-96.

[9]馬俊海.金融衍生證券定價(jià)的數(shù)值分析方法 [M]：浙江人民出版社,2002.97-101.

[10]Paul Glasserman.Monte Carlo Methods in Financial Engineering[M],高等教育出版社 (影印版)2008.