李應(yīng)求 ,甘 柳 ,魏 民 ,2
(1.長(zhǎng)沙理工大學(xué)a.數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院;b.經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院,長(zhǎng)沙 410076;2.中國(guó)工商銀行湘潭湘江支行,湖南 湘潭 411101)
經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型中索賠來(lái)到過(guò)程是一個(gè)Poisson過(guò)程,Poisson過(guò)程的一個(gè)重要性質(zhì)是均值等于方差,但在保險(xiǎn)公司的實(shí)際運(yùn)作中是難以具備這樣的性質(zhì)的。為了使模型更加符合實(shí)際,文獻(xiàn)[2]提出了一類稱為復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程的計(jì)數(shù)過(guò)程,建立了如下模型:
其中U(t)為保險(xiǎn)公司在t時(shí)刻的盈余量,c為單位時(shí)間內(nèi)收取的保費(fèi),u≥0 為公司的初始盈余,{N(t);t≥0}是參數(shù)為,ρ的復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程,Xi表示第i次索賠額。針對(duì)模型(1),文獻(xiàn)[2]給出了其破產(chǎn)概率所滿足的更新方程,并在索賠額服從指數(shù)分布時(shí),得到了破產(chǎn)概率的顯示表達(dá)式;文獻(xiàn)[3]在索賠分布Xi為相位分布的情況下,得到了破產(chǎn)概率的顯示表達(dá)式,并進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算;文獻(xiàn)[6]得到了Gerber-Shiu折現(xiàn)罰金函數(shù);文獻(xiàn)[7]給出了破產(chǎn)概率上界估計(jì)。文獻(xiàn)[8]將模型(1)推廣,建立了如下模型:
其中{M(t),t≥0}為 Poisson 過(guò)程,并得到了模型(2)的破產(chǎn)概率上界。文獻(xiàn)[10]建立了一種多險(xiǎn)種模型:
其中每個(gè)險(xiǎn)種的索賠來(lái)到過(guò)程{Ni(t);t≥0}都是參數(shù)為λi,ρi復(fù)合 Poisson-Geometric 過(guò)程,保費(fèi)來(lái)到次數(shù){Ki(t);t≥0}是參數(shù) αi為的 Poisson 過(guò)程,i=1, …,n,{W(t),t≥0} 是標(biāo)準(zhǔn)的Wiener過(guò)程,σ為擾動(dòng)強(qiáng)度,并得到了破產(chǎn)概率所滿足的Lundberg不等式和破產(chǎn)概率上界。
本文將模型(3)進(jìn)一步推廣,建立了模型如下:
其中保單的收入為隨機(jī)變量Yij。假定:Yij相互獨(dú)立,與Yi同分布,分布函數(shù)為Fi(x),期望為 mi,其二階矩存在;理賠額Xij相互獨(dú)立,與 Xi同分布,分布函數(shù)為 Gi(x),期望為 μi,且其二階矩存在;以上隨機(jī)過(guò)程和隨機(jī)變量序列都相互獨(dú)立。我們稱{X(t),t≥0}為多險(xiǎn)種復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險(xiǎn)模型。
模型(4)與(3)的區(qū)別在于:保費(fèi)的收取不再為常數(shù),而是獨(dú)立同分布的隨機(jī)序列。
實(shí)際背景:Ki(t)表示在時(shí)間段內(nèi)(0,t]內(nèi)保險(xiǎn)公司第i個(gè)險(xiǎn)種的保單數(shù),保費(fèi)的收取不為常數(shù),而是獨(dú)立同分布的隨機(jī)序列,第i個(gè)險(xiǎn)種的保費(fèi)收入為Yij,保險(xiǎn)公司可以根據(jù)歷史數(shù)據(jù)確定各個(gè)險(xiǎn)種的其分布;第i個(gè)險(xiǎn)種理賠額隨機(jī)變量Xij,分布函數(shù)為Gi(x),W(t)表示保險(xiǎn)公司不確定支付和收益。
本文給出了模型(4)的破產(chǎn)概率所滿足的Lundberg不等式及一般表達(dá)式。最后得到了模型 (4)在雙險(xiǎn)種情況下的Gerber-Shiu折現(xiàn)罰金函數(shù)。
為了保證保險(xiǎn)公司的經(jīng)營(yíng)穩(wěn)定,每個(gè)險(xiǎn)種的單位時(shí)間內(nèi)的保費(fèi)收入應(yīng)都大于其單位時(shí)間內(nèi)的理賠,即:
本文恒設(shè)式(5)成立。
定義 1 設(shè) λ>0,0≤ρ<1,稱{N(t);t≥0}是參數(shù)為 λ,ρ 的復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程,如果:
(1)N(0)=0
(2){N(t);t≥0}具有平穩(wěn)獨(dú)立增量
(3)對(duì) t≥0 有 N(t)~PG(λt,ρ)
注3:當(dāng)ρ=0時(shí),復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程退化成Poisson過(guò)程,可見前者是后者的推廣。
容易驗(yàn)證,由(4)定義的風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程是具有性質(zhì):
性質(zhì)1 (1)X(0)=0 P-a.s.
(2){X(t);t≥0}具有平穩(wěn)獨(dú)立增量
(3) 存在正數(shù) r,使得 E[e-rX(t)]<∞
定理1 對(duì)于模型(4),存在函數(shù)g(r),使得E[e-rX(t)]=etg(r)
證明因?yàn)椋?/p>
故有E[e-rX(t)]=etg(r)。定理結(jié)論得證。□
定理2 方程存在唯一的正解。
證明 由式(6)可得:
又因?yàn)?MXi(r)是遞增的,且有 0<ρi<1,所以存在 ri>0,使MXi(r)=1/ρi,當(dāng) 0<r<ri時(shí),0<MXi(r)<1/ρi(i=1,2,…,n),取 r0=min(r1,r2,…,rn)故當(dāng) 0<r<r0有 g''(r)>0。 且 r→r0時(shí)有 g(r)→∞,故 g(r)為一下凸函數(shù),則方程g(r)存在唯一的正解R,且0<R<r0。
定義2 稱R為調(diào)節(jié)系數(shù)。
設(shè)保險(xiǎn)公司初始準(zhǔn)備金為u,破產(chǎn)時(shí)刻為Tu=inf{t≥0|u+X(t)<0}。 相應(yīng)的最終破產(chǎn)概率定義為 ψ(u)=P(Tu<∞)。 定義=σ{X(v);v≤t}。
引理1 Tu是的停時(shí)
定理3 令Mu(t)則{Mu(t),,t≥0}是鞅
證明 由于對(duì)任意的t>v,我們有:
于是定理結(jié)論得證。□
定理4 在初始資本為u的條件下,最終破產(chǎn)概率為:
且有 ψ(u)≤e-Ru。
證明 Tu為破產(chǎn)時(shí)刻,又對(duì)于固定時(shí)刻t0,TuΛt0為有界停時(shí),由有界停時(shí)
定理,我們有:
這樣式(8)就化為了式(7)?!?/p>
為了簡(jiǎn)化問(wèn)題的討論,我們現(xiàn)將多險(xiǎn)種模型退化為雙險(xiǎn)種的情況,且保費(fèi)收入退化為常數(shù),這樣我們有盈余過(guò)程
在破產(chǎn)發(fā)生情況下,我們把破產(chǎn)時(shí)刻的赤字記為|U(T)|,破產(chǎn)前瞬時(shí)盈余記為U(T-),記:
式(10)被稱為Gerber-Shiu折現(xiàn)罰金函數(shù),由 Gerber和Shui于 1998 年提出, 其中 v∈(0,1]表示折現(xiàn)因子,ω(X,Y)是有界實(shí)函數(shù),稱之為罰金函數(shù),1A是示性函數(shù)。
這里我們記F*n(x)=x-t)dF(t),n≥1為索賠分布 F(x)的 n重卷積,G*n(x)=(x-t)dG(t),n≥1為索賠分布 G(x)的 n重卷積,其密度函數(shù)f(x),g(x)的n重卷積分別記為 f*n(x)=x-t)df(t),n≥1 和 g*n(x)=x-t)dg(t),n≥1。
定理5 在滿足(5)的條件下,模型(4)的Gerber-Shiu折現(xiàn)罰金函數(shù)ψ(u,ω,v)滿足下列更新方程:
證明 對(duì)于充分小的時(shí)間Δt,我們考慮(0,Δt]內(nèi)發(fā)生索賠的情況,分成四種情況:1.兩個(gè)險(xiǎn)種都沒(méi)有發(fā)生索賠,2.第一個(gè)險(xiǎn)種沒(méi)有發(fā)生索賠,第二個(gè)險(xiǎn)種發(fā)生1次以上索賠,3.第二個(gè)險(xiǎn)種沒(méi)有發(fā)生索賠,第一個(gè)險(xiǎn)種發(fā)生1次以上索賠,4.兩個(gè)險(xiǎn)種都發(fā)生一次以上索賠,根據(jù)文獻(xiàn)[2]引理6,這種情況相對(duì)Δt是高階無(wú)窮小。這樣,有全概率公式和文獻(xiàn)[2]引理6,我們有:
整理得:
對(duì)式 (7)利用泰勒公式,然后兩邊同時(shí)除以cΔt,并令Δt→0,上式化為:
利用文獻(xiàn)[2]引理6,交換積分與求和可以交換,這就得到:
注 4 當(dāng) ω(X,Y)≡1,v=1 時(shí),容易知道 ψ(u,ω,v)=ψ(u),即為破產(chǎn)概率。
這樣我們有:
推論1 破產(chǎn)概率ψ(u)滿足如下更新方程
利用文獻(xiàn)[6]中引理3和定理2我們可以得到下面定理:
定理6 破產(chǎn)概率ψ(u)有下面的表達(dá)式
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