自適應(yīng)小波去噪算法及其在偏心補(bǔ)償中的應(yīng)用

李道平,姚小蘭,伍清河,曲亦直

(北京理工大學(xué) 自動化學(xué)院, 北京 100081)

小波變換由于在時域和頻域同時具有良好的局部化性質(zhì)[1],對指定頻帶和時間段內(nèi)的信號成分進(jìn)行分析,因此成為工程應(yīng)用中有力的工具. 在液壓自動厚度控制(AGC)系統(tǒng)中,利用小波變換對包含噪聲的軋輥偏心信號進(jìn)行閾值去噪,并利用重構(gòu)信號反向疊加以補(bǔ)償原偏心信號是近年來出現(xiàn)的新方法[2],但是常規(guī)的小波去噪方法不容易找到最優(yōu)的閾值設(shè)定,會濾掉有用信號或者不能達(dá)到良好的去噪效果. 作者根據(jù)噪聲在小波變換下的特性自適應(yīng)地確定小波分解的閾值,并將去噪信號的信噪比(SNR)作為濾波器參數(shù)的函數(shù),采用一種縮小區(qū)間的搜索算法——黃金分割法[3]進(jìn)行尋優(yōu),得到最優(yōu)的閾值參數(shù).

1 自適應(yīng)小波閾值去噪算法

1.1 小波變換及其Mallat算法

文獻(xiàn)[4]中給出了多分辨分析的概念,并利用雙尺度方程和小波方程得到了遞推的塔式算法,即Mallat算法.

設(shè)φ(x)為尺度函數(shù),φ(x)為小波基函數(shù),hn和gn為φ(x)所對應(yīng)的小波變換的共軛鏡像濾波器,則信號f(x)可分解為如下形式：

(1)

式中：cJ,k為尺度函數(shù)的展開系數(shù)；dj,k為小波展開系數(shù).f(x)的正交小波變換分解公式為

(2)

式(2)由cj+1,k計(jì)算cj,k和dj,k的算法稱為Mallat分解算法. 利用該算法可以很容易地計(jì)算出各個不同分辨層上的小波展開系數(shù)dj,k(j=J-1,J-2,…,J-M)和在較“粗”尺度子空間中的尺度函數(shù)展開系數(shù)cJ-M,k.

1.2 黃金分割法

黃金分割法[3]是一種常用的縮小區(qū)間的搜索算法,該方法每次選取整個不確定區(qū)間的兩個黃金分割點(diǎn),通過比較該兩點(diǎn)值的大小,縮小搜索的區(qū)間.

1.3 自適應(yīng)小波閾值去噪算法

將軋輥偏心信號利用小波變換的Mallat算法對其進(jìn)行分解,對不同尺度上小波變換的系數(shù)進(jìn)行閾值處理,然后再重構(gòu)得到新信號. 目前最常用的閾值去噪方法主要有硬閾值法和軟閾值法[5].

設(shè)采樣信號具有如下形式：

f(k)=s(k)+σB(k),(k=0,1,2,…,N-1).

(3)

式中：s(k)為有用信號；B(k)為噪聲；σ為噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差；N為采樣次數(shù). 設(shè)wj,k為f(k)的離散小波變換的系數(shù),則wj,k由兩部分組成：一部分是有用信號s(k)對應(yīng)的小波系數(shù),記為uj,k；一部分是噪聲序列對應(yīng)的小波系數(shù),記為vj,k.

(4)

而軟閾值法定義為

(5)

新閾值函數(shù)[6]如下：

(6)

圖1 自適應(yīng)小波濾波器結(jié)構(gòu)

2 基于自適應(yīng)小波閾值去噪算法的軋輥偏心補(bǔ)償系統(tǒng)

由于液壓AGC系統(tǒng)中軋輥偏心的存在,實(shí)際的板厚會減少. 但是,由于軋制壓力的增大,會使系統(tǒng)認(rèn)為是板厚增大,因而在控制器的作用下系統(tǒng)朝著使板厚減少的方向動作,結(jié)果使控制效果惡化. 因此,在液壓AGC系統(tǒng)中,抑制軋輥偏心和消除來料厚度波動有沖突,必須將軋輥的偏心信號從厚度控制系統(tǒng)中分離出來,對其單獨(dú)進(jìn)行補(bǔ)償,從而消除軋輥偏心的影響.

根據(jù)上述的思想,作者設(shè)計(jì)了一個軋輥偏心補(bǔ)償系統(tǒng),其對應(yīng)的液壓AGC系統(tǒng)如圖2所示.

圖2 帶有軋輥偏心補(bǔ)償系統(tǒng)的液壓AGC系統(tǒng)

首先在厚度反饋信號中提取出帶有噪聲的軋輥偏心信號,在小波濾波器中利用上述算法去除信號中的噪聲. 由于重構(gòu)的信號與原有偏心信號的差別主要在于幅值的變化和相位的變化,需要偏心補(bǔ)償器對其進(jìn)行幅值和相位的補(bǔ)償,在下一偏心信號周期時反向疊加到原有的液壓AGC系統(tǒng)中. 系統(tǒng)的幅值由原有信號的標(biāo)準(zhǔn)差和去噪信號的標(biāo)準(zhǔn)差比值決定. 由于偏心信號是一個周期信號,設(shè)T為偏心信號的周期,τ為算法計(jì)算和設(shè)備延時等的時間,因此只需要人為做一個延時t=T-τ,在下一周期將其加載到系統(tǒng)中,因此系統(tǒng)的信號每周期實(shí)時得到更新,補(bǔ)償信號也得到更新并在下一周期加載到系統(tǒng)中,從而實(shí)時自適應(yīng)地去除噪聲并對系統(tǒng)進(jìn)行補(bǔ)償.

3 系統(tǒng)仿真

設(shè)采樣信號如式(3)所示,式中B(k)取服從N(0,1)分布的標(biāo)準(zhǔn)白噪聲.

設(shè)連續(xù)信號s(t)的表達(dá)式為

s(t)=0.1sin (2πt+0.2)+0.06sin (2π×

1.02t+1.1)+0.05sin (2π×2t+0.8)+

0.03sin (2π×2.06t+1.6).

(7)

σs為信號的標(biāo)準(zhǔn)差,噪聲的幅度取為信號幅度的0.4倍,即σ=0.4σs.

信噪比定義為

由于dbN小波具有計(jì)算量小等特點(diǎn),實(shí)驗(yàn)中選取dbN小波. 對于分解尺度的選取,過高的分解尺度會帶來較大的計(jì)算量,并且在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)并非分解尺度越高去噪性能越好,經(jīng)過權(quán)衡后選取尺度為4.

以閾值函數(shù)的參數(shù)α為自變量,信噪比RSN作為函數(shù)值繪制的曲線如圖3所示.

圖3 RSN隨參數(shù)α變化曲線

從圖3中可以看出,對于軋輥的偏心信號,信噪比RSN是α的強(qiáng)單峰函數(shù),存在最大值點(diǎn),比α=0時采用的硬閾值法和α=1時的軟閾值法的去噪效果都要好. 因此利用縮小區(qū)間的搜索算法可以尋找到最大值點(diǎn). 表1為采用黃金分割法迭代20步的尋優(yōu)結(jié)果.

表1 黃金分割法迭代20步的尋優(yōu)結(jié)果

最終迭代的結(jié)果為兩個黃金分割點(diǎn)的中點(diǎn)α=0.278 2,RSN=20.422 0,比采用軟閾值法α=1的信噪比結(jié)果RSN=20.398 3和硬閾值法α=0的信噪比結(jié)果RSN=19.767 5都要大,而且可以看出文獻(xiàn)[6]中取α=0.5,RSN=20.389 6的折中方法并不是最好的結(jié)果.

圖4是原信號、染噪信號和采用新閾值去噪算法重構(gòu)信號的結(jié)果并與軟閾值法和硬閾值法結(jié)果的比較. 圖5是采用新算法對系統(tǒng)補(bǔ)償后的殘差與采用軟閾值法和硬閾值法結(jié)果的比較. 從圖4和圖5中可以看出,采用新算法重構(gòu)的小波信號既削弱了采用硬閾值法帶來的振蕩,也減小了采用軟閾值法帶來的恒定偏差. 系統(tǒng)的殘差比軟閾值法和硬閾值法都小,有效地重構(gòu)了偏心信號,并且由于新算法的信噪比最高,因此補(bǔ)償后的效果也是最好的,有效地實(shí)現(xiàn)了偏心信號的補(bǔ)償.

圖4 新閾值去噪算法的結(jié)果及與軟閾值法和硬閾值法的比較

圖5 新閾值去噪算法補(bǔ)償后的殘差及與軟閾值法和硬閾值法的比較

4 結(jié) 論

根據(jù)噪聲小波系數(shù)的特征,通過分析得出新的自適應(yīng)小波閾值去噪算法,對小波系數(shù)閾值量化方法進(jìn)行了改進(jìn),利用黃金分割法找到了最優(yōu)的閾值

參數(shù),實(shí)現(xiàn)了信號的高質(zhì)量去噪,并將其應(yīng)用到液壓AGC系統(tǒng)中,有效地實(shí)現(xiàn)了對軋輥偏心信號的補(bǔ)償.

參考文獻(xiàn)：

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