關(guān)于不定方程4x2n-py2=1

管訓(xùn)貴

(泰州師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)理系，江蘇 泰州 225300)

1 引言及主要結(jié)論

求不定方程：

(1)

的全部正整數(shù)解是一個比較困難的問題.文獻[1]給出n=2時(1)的全部正整數(shù)解，本文給出如下：

定理1 設(shè)n為正整數(shù)，且2|n，則(1)的全部正整數(shù)解為：

這里k為正整數(shù).

2 關(guān)鍵性引理

引理1[2]不定方程：

(2)

僅有整數(shù)解x2=1，y=0.

證明由式 (2)顯然有2|/x，2|y，故式(2)可整理成：

(3)

(4)

這里(y1,y2)=1.

x+2y1=±1，x-2y1=±1，

推出x=±1，y1=0，從而y=0.

引理1得證.

引理2[3]不定方程：

(5)

僅有整數(shù)解x2=y2=1，z=0和x2=z2=1，y=0.

證明除x2=y2=1，z=0和x2=z2=1，y=0外，可設(shè)式(5)有正整數(shù)解x,y,z，且x是所有解中最小的. 顯然2|/x且y是奇數(shù)或偶數(shù).

若y≡1(mod2)，則由式(5)得出:x2=a2+b2，y2=a2-b2，z=2ab，(a,b)=1，a>b>0，a,b一奇一偶.

從而：

這是式(5)的一種特殊情形，但0

若y≡0(mod2)，則由式(5)得出:x2=a2+b2，y2=2ab，(a,b)=1，a>0,b>0，a,b一奇一偶.

不妨設(shè)a≡0(mod2)，b≡1(mod2)，由y2=2ab，(a,b)=1知：

代入x2=a2+b2，得：

由此知：

再由l2=rs，(r,s)=1推出:r=u2,s=v2，(u,v)=1，u>0,v>0，故：

m2=r2-s2=u4-v4.

x2=y2=1;z=0和x2=z2=1，y=0.

引理2得證.

引理3 不定方程：

(6)

僅有整數(shù)解x2=y2=z2=1.

證明式(6)可整理成：

(7)

由引理2知：

(8)

或

(9)

但xy≠0，否則式(6)無整數(shù)解，故式(9)不能成立.

由式(8)推得:x2=y2=z2=1.引理3得證.

3 定理1的證明

令n=2k(k為正整數(shù))，則方程(1)可化為：

(10)

由于(2x2k-1,2x2k+1)=1，p是一個奇素數(shù)，故式(10)給出：

(11)

這里(y1,y2)=1.由式(11)的前兩式得：

即：

(12)

由于(2xk+y2,2xk-y2)=(x,y2)=1，故式(12)給出：

(13)

這里(y3,y4)=1.由此解出：

代入式(11)的第一式得：

即：

(14)

(n,p,x,y)=(2k,3,1,1)，k為正整數(shù).

證畢.

參考文獻:

[1]曹珍富.丟番圖方程引論[M].黑龍江：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，1989：20-21.

[2]潘承洞，潘承彪.初等數(shù)論[M].北京：北京大學(xué)出版社，1997：96.

[3]華羅庚.數(shù)論導(dǎo)引[M].北京：科學(xué)出版社，1979：319.

[4]閔嗣鶴，嚴士健.初等數(shù)論[M].北京：高等教育出版社，2004.

[5]管訓(xùn)貴.Catalan方程xn+1=y2的正整數(shù)解[J].北京教育學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2010，5(1)：1-3.

[6]管訓(xùn)貴.關(guān)于不定方程x2+(p-1)y2=pz2[J].河北北方學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2010，26(1)：12-14.

[7]管訓(xùn)貴.關(guān)于Pell方程x2-5py2=-1[J].西安文理學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2010，13(3)：32-33.

[8]管訓(xùn)貴.關(guān)于Diophantine方程xd(n)+yφ(n)=zσ(n)[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2010，28(2)：147-149.