基于多小波的圖像壓縮

王秀碧

摘 要:多小波以其具有正交性、對稱性、短支撐和較大的消失矩等多個良好特性彌補(bǔ)了單小波的不足。在介紹多小波理論的基礎(chǔ)上,提出一種新的圖像壓縮方法。該方法以CL多小波為基礎(chǔ),結(jié)合SPIHT圖像壓縮算法,對多小波系數(shù)進(jìn)行壓縮處理。采用Matlab 6.5進(jìn)行實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,經(jīng)該算法壓縮后的圖像,其質(zhì)量優(yōu)于一般小波變換的傳統(tǒng)方法。

關(guān)鍵詞:小波變換;多小波;SPIHT;圖像壓縮

中圖分類號:TP292.42文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

文章編號:1004-373X(2009)12-073-03

Image Compression Based on Multi-wavelet

WANG Xiubi

(Sichuan University of Science & Engineering,Zigong,643000,China)

Abstract:Multi-wavelet has many good chatacters such as orthogonality,short support,more vanishing moments,which makes up for the shortcoming of scalar wavelet.Based on introducing multi-wavelet,a new image compression method is proposed,which based on CL multi-wavelet,adopting the SPIHT,carrying on compression on the coefficient of multiwavelet.Simulated by Matlab 6.5,experimental results indicate that the quality of image is better than traditional method.

Keywords:wavelet transform;multi-wavelet;SPIHT;image compression

0 引 言

小波分析是近年來發(fā)展起來的新算法。Matlat將小波分析用于信號處理,提出了多分辨率分析的概念,給出了信號分解和重構(gòu)的算法,從此開始了小波分析在圖像處理中的應(yīng)用研究。多小波是小波理論的新發(fā)展,多小波是指由兩個或兩個以上的函數(shù)為尺度函數(shù)生成的小波。多小波之所以受到世人矚目,主要原因是它既保持了單小波的諸多優(yōu)點(diǎn),又克服了單小波的缺陷,在實(shí)際應(yīng)用中可以把十分重要的光滑性、緊支性和對稱性等完美地結(jié)合在一起。這里將充分利用多小波分解系數(shù)的結(jié)構(gòu),采用SPIHT圖像壓縮算法,對多小波系數(shù)進(jìn)行壓縮處理,得到一種比較有效的多小波圖像壓縮方法。

1 多小波理論

將標(biāo)量域上的濾波器組和多小波拓展到矢量域上,就可以得到具有一般性的矢量小波,即多小波。對應(yīng)的尺度方程和小波方程如下:

Φ(t)=∑kHkΦ(2t-k)

Ψ(t)=∑kGkΦ(2t-k)

式中:Φ(t)=[φ0(t),φ1(t),…,φr-1(t)]T;Ψ(t)=[ψ0(t),ψ1(t),…,ψr-1(t)]T;Hk,Gk分別為r×r的矩陣尺度濾波器和矩陣小波濾波器。當(dāng)且僅當(dāng)兩個矩陣濾波器具有有限長時,函數(shù)Φ,Ψ具有緊支集。

給定一個函數(shù)f(x)∈L2(R),由多小波系數(shù)就可以給出函數(shù)的多分辨率分析(MRA)。設(shè)f=f0∈V0,則正交多尺度函數(shù)和正交多小波函數(shù)的性質(zhì)為:

V0=W-1⊕V-1=…=W-1⊕…⊕WL⊕VL

由于V0=span{φl(-k),0≤l≤r-1,k∈Z},所以f(t) = ∑k∑r-1l = 0c(0)l,k φl (t-k),f(t)?？梢愿M(jìn)一步表示為:

f(t) = ∑k∑r-1l = 0c(-1)l,k φl (2-1t-k) +

∑k∑r-1l = 0d(-1)l,k ψl (2-1t-k) = …=

∑k∑r-1l = 0c(L)l,k φl (2Lt-k) +

∑-1j = L∑k∑r-1l = 0d(j)l,k ψl (2jt-k)

由此可以得到多小波的分解算法和重構(gòu)算法。

分解算法:

Cj-1,n=∑kHk-2nCj,n;Dj-1,n=∑kGk-2nCj,n

重構(gòu)算法:

Cj,n= ∑kHTn-2k Cj-1,k+ ∑kGTn-2k Dj-1,k

2 SPIHT算法原理

SPIHT算法把待量化編碼的小波系數(shù)分成3個集合:不重要集LIS,不重要象素集LIP和重要像素集LSP。通過初始化、分類、細(xì)化和量化步長更新等4個子過程完成嵌入編碼。根據(jù)空間方向樹結(jié)構(gòu),SPIHT算法將集合的分割策略定義為:

Z(i,j)=C(i,j)+D(i,j)

D(i,j)=O(i,j)+L(i,j)

L(i,j)=∑D(k,l)(1)

式中:(k,l)∈O(i,j);Z(i,j)為空間方向樹;C(i,j)為樹上任一節(jié)點(diǎn);D(i,j)表示節(jié)點(diǎn)C(i,j)中所有后代(子孫)的坐標(biāo)集合;O(i,j)表示節(jié)點(diǎn)C(i,j)中直接后代(兒子)的坐標(biāo)集合;L(i,j)表示節(jié)點(diǎn)C(i,j)中除直接后代(兒子)外所有后代坐標(biāo)的集合。

SPIHT算法編碼過程通過LIP,LIS,LSP三張鏈表跟蹤小波系數(shù)集合的重要性測試和集合分割情況。把小波圖像按空間方向樹的結(jié)構(gòu)組織編碼,編碼過程中,三張鏈表動態(tài)更新,小波系數(shù)集合重要性測試Sn(T)的定義如式(2)所示。式中T為測試的坐標(biāo)集合,如:Sn(i,j)是測試節(jié)點(diǎn)(i,j)系數(shù)的重要性;Sn[D(i,j)]是測試節(jié)點(diǎn)(i,j)的所有子孫節(jié)點(diǎn)中是否存在的重要系數(shù)。

Sn(T)=1,max(i,j∈Γ){|T(i,j)|}≥2n

0,max(i,j∈Γ){|T(i,j)|}<2n (2)

編碼步驟:

(1) 初始化

設(shè)置初值n=log2[max(i,j∈C)|T(i,j)|];設(shè)置LIP為H中所有元素;設(shè)置LIS為H中所有元素,并以D型命名;設(shè)置LSP為空元素表。

(2) LIP表處理

檢查LIP鏈表中的每個元素,根據(jù)式(2)輸出Sn(i,j)的值。若Sn(i,j)=1,則輸出T(i,j)的符號位,并移(i,j)至LSP的表尾。

(3) LIS表處理

檢查LIS鏈表中的每個元素,當(dāng)元素為D型,根據(jù)式(2)輸出Sn[D(i,j)]的值。若Sn[D(i,j)]=1,檢查O(i,j)中每個元素并根據(jù)式(2)輸出,把輸出為1的元素加入LSP表尾并編碼其符號位;把輸出為0的元素加入LIP表尾。若L(i,j)為空元素,則把(i,j)元素從LIS表中刪去;若L(i,j)不為空元素,則把O(i,j)中每個元素以L型命名加入LIS表尾;若元素為L型,則根據(jù)式(2)輸出Sn[L(i,j)]。若Sn[L(i,j)]=1,從LIS表中刪去(i,j)元素,并將O(i,j)中的每個元素以D型命名加入LIS表尾。

(4) LSP表處理

檢查LSP表中的每個元素,輸出表中元素小波系數(shù)在第n層的數(shù)值。

(5) 當(dāng)n=n-1時,若編碼率沒有達(dá)到指定要求,返回步驟(2)重復(fù)此過程;若編碼率已達(dá)到指定要求,編碼結(jié)束。

3 基于多小波的SPIHT算法

根據(jù)前面分析的SPIHT算法,結(jié)合多小波,設(shè)計(jì)出一個可分級圖像編碼系統(tǒng)。該系統(tǒng)包括圖像多小波變換、SPIHT編碼和算術(shù)編碼等幾個部分。系統(tǒng)流程圖如圖1所示。

圖1 圖像編/解碼框圖

與傳統(tǒng)小波相比,CL多小波具有更為優(yōu)良的屬性:CL多小波的尺度函數(shù)和小波函數(shù)均具有緊支撐屬性,使其具有良好的局域性;尺度函數(shù)分別與小波函數(shù)對稱和反對稱,保證其具有線性相位;正交性使其變換后保持能量恒定等。對其進(jìn)行平衡處理后不僅可使2個低通濾波器和兩個高通濾波器的響應(yīng)分別重合,還可較好地改善系統(tǒng)本身低通、高通濾波器的響應(yīng)性能。

4 試驗(yàn)及仿真結(jié)果分析

本文用Matlab中Woman來進(jìn)行試驗(yàn),采用Matlab 6.5進(jìn)行仿真。

4.1 圖像的多小波分解和重構(gòu)

圖像的多小波分解和重構(gòu)仿真見圖2(程序略)。

多小波分解后的圖像左上角為低頻子帶,其余為高頻子帶。從圖2可看出,經(jīng)過變換后的高頻子帶基本上為黑色,即能量很低,能量被集中到了低頻子帶。經(jīng)過多小波重構(gòu)后還原出來的圖像主觀效果好,圖像較清晰。

4.2 圖像壓縮

這里分別采用單小波和多小波進(jìn)行圖像壓縮并對仿真結(jié)果進(jìn)行分析。

圖2 多小波分解和重構(gòu)圖像

圖3和圖4分別為用單小波和多小波進(jìn)行圖像壓縮的圖像效果(程序略)。

圖3 單小波的SPIHT算法圖像壓縮效果

圖4 多小波SPIHT算法圖像壓縮效果

從圖3和圖4看出,采用多小波對SPIHT算法進(jìn)行改進(jìn)后恢復(fù)圖像清晰,效果較好。

5 結(jié) 語

多小波圖像壓縮與單小波圖像壓縮有所不同。首先多小波變換在分解之前要對圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)濾波,圖像重構(gòu)時需要做后置濾波;

其次由于有多個尺度函數(shù)和多個小波的存在,在圖像的多小波變換系數(shù)中同一尺度且同一方向上存在兩個或兩個以上對應(yīng)不同小波細(xì)節(jié)的子圖,做一次多小波分解會得到比單小波分解更多的子圖,子圖增多使得處理更加靈活。根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果和多次實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),對于要求較好的圖像質(zhì)量、較低比特率或者提出一些特殊要求時,使用多小波的壓縮算法具有較好的特性。從一定角度上來說,基于多小波的SPIHT壓縮編碼方法是一種有效的壓縮編碼方法。

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