磁懸浮系統(tǒng)的變速趨近律滑模控制

陳衛(wèi)兵，茅靖峰

（1. 南通職業(yè)大學(xué)，南通 226007 ；2. 南通大學(xué)，南通 226019）

磁懸浮系統(tǒng)的變速趨近律滑?？刂?/p>

陳衛(wèi)兵1，茅靖峰2

（1. 南通職業(yè)大學(xué)，南通 226007 ；2. 南通大學(xué)，南通 226019）

0 引言

磁懸浮系統(tǒng)是一個高度非線性，參數(shù)時變及開環(huán)不穩(wěn)定的系統(tǒng)，傳統(tǒng)的磁懸浮控制器設(shè)計方法是在系統(tǒng)平衡點附近局部線性化的基礎(chǔ)之上，應(yīng)用線性系統(tǒng)的方法來設(shè)計控制器[1,2]。但當(dāng)磁懸浮系統(tǒng)在大范圍承載力及工作氣隙變動條件下工作時，傳統(tǒng)的基于平衡點參數(shù)優(yōu)化的PID控制器不易得到理想的控制效果。多種非線性控制方法如模糊PID控制[3]、反饋線性化技術(shù)[4]、魯棒控制[5]、滑?？刂芠6]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法[7]、后推控制[8]等被用來克服上述問題。

滑模控制（SMC）無需精確的對象模型，可根據(jù)系統(tǒng)當(dāng)前的狀態(tài)，以躍變的控制方式迫使系統(tǒng)沿設(shè)定的“滑動模態(tài)”運動。具有響應(yīng)速度快、對參數(shù)及外加干擾不靈敏、控制器實現(xiàn)簡單等優(yōu)點[9,10]。但常規(guī)滑模控制信號的抖振特性，會導(dǎo)致懸浮體穩(wěn)態(tài)懸浮時的位置振顫現(xiàn)象。本文應(yīng)用指數(shù)趨近律結(jié)合一種與狀態(tài)范數(shù)成比例的變速趨近律方法設(shè)計磁懸浮系統(tǒng)滑模控制器，目的是消弱控制輸出信號的抖振，增強系統(tǒng)的動、靜態(tài)性能。

1 數(shù)學(xué)建模

本文研究的單自由度磁懸浮系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)原理如圖1所示。

圖1 單自由度磁懸浮系統(tǒng)結(jié)構(gòu)原理圖

圖1中，懸浮體是質(zhì)量為m(kg)的整體鋼盤，置于兩個電磁鐵之間，當(dāng)懸浮體處于平衡位置時，與上下電磁鐵之間的氣隙相等，均等于δ0(m)。設(shè)上下電磁鐵的結(jié)構(gòu)和參數(shù)完全一致，線圈匝數(shù)均為N，單磁極面積為A0(m2)，采用電流疊加型差動驅(qū)動方式，初始偏置電流為I0(A)。則在只考慮氣隙磁通均勻，忽略鐵心磁阻、漏磁及渦流損耗等情況下，懸浮體受到的電磁合力可表述為

式中，F(xiàn)1、F2分別為上下電磁鐵的電磁吸力；μ0=4π×10-7為真空中的磁導(dǎo)率；δ為懸浮體偏離平衡位置的位移量；i為電磁鐵控制電流，i=Im+ic，Im為為克服懸浮體自重而加的初始平衡控制電流分量，ic為由δ引起的控制電流分量。

由圖1可得懸浮體的運動力學(xué)方程為

式中，g=9.8m/s2；f為擾動力。

將式(1)在平衡位置δ=0和ic=0附近作泰勒展開，略去高階無窮小量后，帶入式(2)式可得懸浮體的近平衡點運動方程為

2 滑?？刂破髟O(shè)計

滑模變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計包括兩個相對獨立的步驟：設(shè)計切換函數(shù)s(x)，使它所確定的滑動模態(tài)漸進穩(wěn)定且具有良好的動態(tài)品質(zhì)；設(shè)計控制律u±(x)，使到達條件得到滿足，從而在滑模面s(x)=0上形成滑動模態(tài)。

對于線性系統(tǒng)(4)，選取線性切換函數(shù)

式中，c1＞0為滑模面系數(shù)，決定最終滑模狀態(tài)的品質(zhì)。選取指數(shù)趨近律

式中，ε，k＞0，k的作用是改善系統(tǒng)的動態(tài)品質(zhì)，適當(dāng)調(diào)節(jié)該參數(shù)能夠改變系統(tǒng)向滑模面的趨近速度；符號函數(shù)的增益參數(shù)是系統(tǒng)克服攝動及外干擾的主要參數(shù)。

由式(5)和式(6)可解出變結(jié)構(gòu)控制律

切換控制律實現(xiàn)對不確定性和外加干擾的魯棒控制。選取Lyapunov函數(shù)

因此，對(5)式求導(dǎo)，并由(4)式和(7)式得

故，當(dāng)取ε＞max|df|時，變結(jié)構(gòu)控制律(7)滿足滑動模態(tài)的到達條件，能夠驅(qū)使系統(tǒng)沿著滑模線s趨近于平衡原點?？紤]到廣義對象模型參數(shù)a、b和f隨時間t的攝動，實際控制律ε參數(shù)應(yīng)取足夠大，以實現(xiàn)對外干擾和參數(shù)攝動的不變性。

顯然，符號函數(shù)增益ε是系統(tǒng)克服攝動及外干擾的主要參數(shù)，ε越大，系統(tǒng)克服攝動和外干擾的能力就越強。但在增大ε的同時也導(dǎo)致了系統(tǒng)抖振幅度的加大。

為了消弱抖振，考慮變速趨近律[10,11]

變速趨近律(11)能夠?qū)⑾到y(tǒng)引導(dǎo)到滑動模態(tài)上，并在系統(tǒng)狀態(tài)軌跡向滑模面趨近過程中，||x||1的幅值逐漸衰減并很快趨向于零，最后使穩(wěn)定于平衡原點。

為了避免滑動模態(tài)初期，過大的||x||1產(chǎn)生大幅度的控制量抖振，變結(jié)構(gòu)切換控制律uvss可選用指數(shù)形式趨近律和變速趨近律的組合形式[11]。即在滑模運動前期采用指數(shù)趨近律，在滑模運動后期和穩(wěn)定階段，采用變速趨近律，兩種趨近律通過判別相跡點與滑模面的距離|s|進行切換。最終得出系統(tǒng)切換控制uvss的形式為

3 仿真實驗

實驗用磁懸浮系統(tǒng)的機械及電氣參數(shù)如表1所示。

表1 磁懸浮系統(tǒng)參數(shù)

滑?？刂破鲄?shù)設(shè)計為：c1=400，k=800，ε=Fmax/m=86.4566，γ0=0.01。為了進行對比，設(shè)計了磁懸浮系統(tǒng)PID控制器，PID參數(shù)按照文獻[2]給出的方法進行整定，其中選取閉環(huán)等效位移剛度kx=4kδ，阻尼比ζ=0.8，可計算得到Kp=6.6667，Td=0.0012s，Ti=0.016s。

圖2、圖3和圖4分別為磁懸浮系統(tǒng)在PID、常規(guī)滑模和變速趨近律滑?？刂葡?，磁懸浮系統(tǒng)空載起浮過程的位移響應(yīng)曲線、控制量輸出曲線和相軌跡曲線。

由圖2可以看出，變速趨近律滑模控制和常規(guī)滑?？刂凭苁瓜到y(tǒng)快速無超調(diào)起浮，動態(tài)性能優(yōu)于PID控制。但在穩(wěn)態(tài)區(qū)間，常規(guī)滑模控制較大的符號增益使系統(tǒng)控制量高頻率大幅值抖動（見圖3(b)），導(dǎo)致懸浮體在平衡位置上形成了幅值±1.3μm的位移振顫（見圖2(b)）。由圖4可以看出，變速趨近律滑模控制的相軌跡快速收斂于原點，而常規(guī)滑?？刂期吔谠c附近的抖振。

圖2 空載起浮過程位移響應(yīng)

圖3 空載起浮過程控制量輸出

圖4 空載起浮過程相軌跡

圖5為磁懸浮系統(tǒng)在PID和變速趨近律滑模控制下，承載30kg負(fù)載條件下起浮過程的位移響應(yīng)曲線。

圖5 負(fù)載起浮過程位移響應(yīng)

由圖5可以看出，變速趨近律滑?？刂仆ㄟ^很好地把握位置跟蹤偏差及其動態(tài)變化趨勢，在系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生很大變化的狀況下，通過強非線性的控制量輸出，使系統(tǒng)保證良好的動態(tài)調(diào)節(jié)特性，其魯棒性能優(yōu)于PID控制。

4 結(jié)論

本文設(shè)計了一種基于指數(shù)趨近律和變速趨近律相結(jié)合的磁懸浮系統(tǒng)滑模控制器。在滑模運動前期采用指數(shù)趨近律，在滑模運動后期和穩(wěn)定階段，采用變速趨近律，變速趨近律的符號函數(shù)增益與系統(tǒng)的狀態(tài)范數(shù)成比例，使該滑模控制器在提高系統(tǒng)的魯棒性能與降低抖振、保證穩(wěn)態(tài)精度上具有良好的協(xié)調(diào)，穩(wěn)態(tài)時，系統(tǒng)可穩(wěn)定于原點。與傳統(tǒng)PID控制相比，該滑模控制器具有更好的動靜態(tài)性能和抗干擾能力。

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Sliding mode control of magnetic levitation system based on variable rate reaching law

CHEN Wei-bing1, MAO Jing-feng2

為了抑制常規(guī)滑?？刂圃诖艖腋∠到y(tǒng)控制中的抖振問題，應(yīng)用一種變速趨近律方法設(shè)計磁懸浮系統(tǒng)滑模控制器?？刂破鲗⑾到y(tǒng)的狀態(tài)范數(shù)引入滑模控制律，以自動調(diào)整變結(jié)構(gòu)切換控制項的增益，控制信號抖振幅值能夠逐步衰減，并引導(dǎo)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定到原點；利用Lyapunov穩(wěn)定性理論驗證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并給出了控制器參數(shù)設(shè)計的依據(jù)；仿真實驗結(jié)果表明，基于變速趨近律的磁懸浮系統(tǒng)滑?？刂撇呗跃哂辛己玫膭?、靜態(tài)性能和較強的魯棒性。

磁懸浮系統(tǒng)；滑?？刂?；變速趨近律

陳衛(wèi)兵（1966－），男，副教授，碩士，主要從事計算機工程和智能控制的教學(xué)和研究工作。

TH133；TP273

A

1009-0134(2010)06-0080-04

10.3969/j.issn.1009-0134.2010.06.28

2009-07-16

國家自然科學(xué)基金項目（60974049）；江蘇省高校自然科學(xué)研究項目（07KJD460176）；南通市應(yīng)用研究項目（K2008020）；南通大學(xué)博士科研啟動基金項目（09B06）