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    一類廣義自縮序列的偽隨機(jī)性

    2010-03-26 02:33:18孫國(guó)華
    關(guān)鍵詞:廣義情形個(gè)數(shù)

    徐 林, 孫國(guó)華

    (1.馬鋼車輪公司信息中心,安徽馬鞍山 243000;2.安徽工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院,安徽馬鞍山 243002)

    0 引 言

    偽隨機(jī)序列在序列密碼、擴(kuò)頻通信等領(lǐng)域有著極為廣泛的應(yīng)用。周期與相關(guān)性是衡量序列偽隨機(jī)性質(zhì)的一個(gè)重要而方便易行的指標(biāo)。序列密碼的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則總是高度安全性和簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)的統(tǒng)一。文獻(xiàn)[1]提出的自縮序列因結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單而引人入勝,頗受關(guān)注[2-7],但同時(shí)因結(jié)構(gòu)過(guò)于簡(jiǎn)單而使密鑰的選擇大受限制,并易受攻擊;文獻(xiàn)[2]給出了廣義自縮序列族的概念,它們同樣具有簡(jiǎn)潔的結(jié)構(gòu);并指出該序列族中每個(gè)序列的最小周期都是2n-1的因子,給出該序列族的許多密碼學(xué)優(yōu)點(diǎn),如0~1分布的均衡性等。

    1 定義及基本事實(shí)

    定義1 設(shè)a=a0 a1 a2…是GF(2)上的n級(jí)m序列。設(shè)GF(2)上的n維向量G=(g0,g1,g2,,定義序列v=v0v1v2…,使vk=g0ak+對(duì)于k=0,1,2,…,如果ak=1,則輸出vk,否則放棄輸出。這樣得到的序列b=b0 b1 b2…記為b(v)或b(G),稱其為基于m序列a的廣義自縮序列,稱序列族B(a)={b(G),G∈GF(2)n}為基于m序列a的廣義自縮序列族。

    定義2 設(shè)a=a0a1a2…是GF(2)上的n級(jí)m序列,其最小周期為2n-1,極小多項(xiàng)式為f(x)=1+c1 x+c2 x2+…+cn-1 xn-1+xn(即序列a滿足線性遞歸關(guān)系at=c1at-1+c2at-2+…+cn-1 at-n+1+at-n,t=n+0,n+1,n+2,…)。

    以下的引理是平凡事實(shí),參見(jiàn)文獻(xiàn)[6]。

    引理2 設(shè)k1,k2,…,km均為非負(fù)整數(shù),則bi=ak1+i+ak2+i+…+akm+i,i=0,1,2,…,仍然是序列a的一個(gè)平移等價(jià)序列。

    對(duì)于一個(gè)比特串P,ˉP~ˉP表示P的重復(fù)串,重復(fù)次數(shù)可以等于1,2,3,…,但長(zhǎng)度必須大于0;*表示一個(gè)不定比特。

    由ak-1、ak+1和ak-1+ak+1得到的廣義自縮序列最小周期都是2n-1,參見(jiàn)文獻(xiàn)[5,6]。文獻(xiàn)[4]在許多情形下證明了由平移等價(jià)序列ak-2+ak-1得到的廣義自縮序列最小周期是2n-1;文獻(xiàn)[7]證明了在64種情形中有56種由平移等價(jià)序列ak-2+ak+1得到的廣義自縮序列最小周期是2n-1。

    本文在文獻(xiàn)[4-9]的基礎(chǔ)上,對(duì)被控序列Vk=ak+1+ak+2,k=0,1,2…的廣義自縮序列,使用計(jì)算機(jī)編程驗(yàn)證,通過(guò)適當(dāng)選擇比特串100、1010、1101、11100、111010和111011,分析其出現(xiàn)次數(shù)的奇偶性,證明了該序列的最小周期在1 024種情形下全部達(dá)到最大,即2n-1。

    2 序列b(ak+1+ak+2)最小周期的證明

    對(duì)于周期為2的冪次的序列(如2k),如果有某個(gè)串出現(xiàn)奇數(shù)次,該序列的最小周期達(dá)到最大[7],即2k。從上述結(jié)論可以得知,只要證明在廣義自縮序列b的2n-1長(zhǎng)的比特串中有某個(gè)串出現(xiàn)奇數(shù)次,就可以得出廣義自縮序列b的最小周期達(dá)到最大,即2n-1。

    由引理2,ak+1+ak+2仍然是序列a的一個(gè)平移等價(jià)序列,故有廣義自縮序列b(ak+1+ak+2)。

    引理3 設(shè)b=b(ak+1+ak+2),則b序列中出現(xiàn)比特串101,當(dāng)且僅當(dāng)序列a中出現(xiàn)以下5種互不重合的情形之一:比特串101110;比特串比特串比特串比特串

    證明 易知:

    (1)b序列中出現(xiàn)比特0,當(dāng)且僅當(dāng)序列a中出現(xiàn)比特串100或111。

    (2)b序列中出現(xiàn)比特1,當(dāng)且僅當(dāng)序列a中出現(xiàn)比特串110或者101。

    綜合以上事實(shí),引理得證。

    引理4 在一個(gè)周期2n-1內(nèi),序列a中形式為或且長(zhǎng)度小于或等于n的比特串個(gè)數(shù)為偶數(shù)。

    綜合以上事實(shí),引理得證。

    應(yīng)用與引理3或引理4的方法,可以分別得到后面的引理,故略去其證明。

    由引理4得知,若當(dāng)序列a的長(zhǎng)度大于n的比特串個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí),即可以證明該序列最小周期達(dá)到最大。本文分析序列a長(zhǎng)度大于n的比特串個(gè)數(shù),由序列的形式可以選取cn-1、cn-2、c4、c3、c2、c1的不同值來(lái)判定序列是否滿足定義2中的要求,從而推算出不同情形下滿足長(zhǎng)度大于n的比特串個(gè)數(shù),可得到表1所列的數(shù)據(jù)。

    表1 b序列中存在比特串101長(zhǎng)度大于n的相關(guān)串的出現(xiàn)次數(shù)

    由表1可以看出,在b序列的2n-1長(zhǎng)的比特串中,串“101”有48種情形其長(zhǎng)度大于n的相關(guān)串出現(xiàn)了奇數(shù)次,但還有16種情形其長(zhǎng)度大于n的相關(guān)串出現(xiàn)了偶數(shù)次,本文借助串“1011”對(duì)剩余的16種出現(xiàn)偶數(shù)次的情形進(jìn)行討論。

    引理5 設(shè)b=b(ak+1+ak+2),則b序列中出現(xiàn)比特串1011,當(dāng)且僅當(dāng)序列a中出現(xiàn)以下7種互不重合的情形之一:

    (1)比特串1011101。

    引理6 在1個(gè)周期2n-1內(nèi),序列a中形式為或且長(zhǎng)度小于或等于n的比特串個(gè)數(shù)為偶數(shù)。

    同上,采用相同的方法分析序列a長(zhǎng)度大于n的比特串個(gè)數(shù),可以得到表2所列的數(shù)據(jù)。

    由表2可以看出,存在36種情形其長(zhǎng)度大于n的相關(guān)串出現(xiàn)了奇數(shù)次,并且在這36種情形中,有12種是在表1中不能證明周期最大情形的。也就是說(shuō),僅僅又證明了b序列最小周期達(dá)到最大時(shí)的另外12種情形,但是還有4種情形不能加以證明。

    設(shè)n>13,由以上序列的形式,增加系數(shù),選取cn-1、cn-2、cn-3、cn-4、c4、c3、c2和c1的不同值來(lái)

    判定序列是否滿足定義2中的要求。易得b序列中串“101”和“1011”在256種情形下未能使其周期達(dá)到最大的情形,見(jiàn)表3所列。

    表3 b序列中未能使其周期達(dá)到最大情形

    本文借助串“1101”對(duì)這16種未能說(shuō)明周期達(dá)到最大的情形進(jìn)行討論。

    (1)比特串1101110。

    (2)比特串10101110。

    引理8 在一個(gè)周期2n-1內(nèi),序列a中形式為且長(zhǎng)度小于或等于n的比特串個(gè)數(shù)為偶數(shù)。

    一是水資源供需矛盾突出。我國(guó)水資源總量位居世界第六,但人均水資源量?jī)H為世界平均水平的1/4。經(jīng)濟(jì)的持續(xù)高速或較高增長(zhǎng),人口增長(zhǎng)及人均消費(fèi)水平的持續(xù)提高,使得供需矛盾突出,給水安全帶來(lái)了日益沉重的壓力,且這種壓力在相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)是不可逆轉(zhuǎn)的。

    b序列中存在比特串1101長(zhǎng)度大于n的相關(guān)串的出現(xiàn)情形,見(jiàn)表4所列。

    表4 b序列中存在串1101的相關(guān)串的出現(xiàn)情形

    由表4可知,存在12種情形其長(zhǎng)度大于n的相關(guān)串出現(xiàn)了奇數(shù)次,但還有4種情形其長(zhǎng)度大于n的相關(guān)串出現(xiàn)了偶數(shù)次。

    至此,只存在256種情形中的4種還不能加以證明,即cn-1 cn-2 cn-3 cn-4 c4 c3 c2 c1為00100101、00101001、11000111和11001011時(shí)。

    采用同樣的方法,相繼采用比特串11100、111010和111011對(duì)序列進(jìn)行分析,可以證明序列b(ak+1+ak+2)的1 024種情形在此都被證明了最小周期達(dá)到最大,此時(shí)可以得到如下定理。

    定理1 廣義自縮序列b(ak+1+ak+2)通過(guò)用不同的比特串101、1011、1101、11100、111010和111011來(lái)分析其出現(xiàn)次數(shù),在所有1 024種情形下最小周期均達(dá)到最大,即2n-1。

    3 序列b的自相關(guān)性

    以下給出2個(gè)定義、1個(gè)引理及1個(gè)推論,均來(lái)自文獻(xiàn)[7]。

    定義3 如果2個(gè)串的總的相關(guān)串個(gè)數(shù)相等,且具有相同相關(guān)長(zhǎng)度的相關(guān)串的個(gè)數(shù)相等,則它們具有相同的相關(guān)串結(jié)構(gòu)。

    由m序列游程分布的性質(zhì),有如下結(jié)論。

    引理9 對(duì)于bjbj+k=rs,其中j的出現(xiàn)次數(shù)N(k,rs)分2種情形討論,即其相關(guān)串的長(zhǎng)度不超過(guò)n的出現(xiàn)次數(shù)(記為N1(k,rs)和長(zhǎng)度大于n的出現(xiàn)次數(shù)(記為N2(k,rs))。

    (1)相關(guān)串長(zhǎng)度不超過(guò)n的出現(xiàn)次數(shù)N1(k,rs),滿足:若一相關(guān)串長(zhǎng)度為t且不含串,則它出現(xiàn)2n-t次;若一相關(guān)串中含有1個(gè)串并且除串外的長(zhǎng)度為t,則它出現(xiàn)次;若一相關(guān)串中有b(b≥2)個(gè)串并且其除串外的長(zhǎng)度為t,則它出現(xiàn)次。

    (2)長(zhǎng)度大于n的相關(guān)串的出現(xiàn)次數(shù)N 2(k,rs),滿足:若一相關(guān)串中沒(méi)有串,則它出現(xiàn)0次;若一相關(guān)串中有1個(gè)串并且串后邊的元素?cái)?shù)為t,則它出現(xiàn)t次;若一相關(guān)串中有b(b≥2)個(gè)串,除串外的長(zhǎng)度為t,且最后一個(gè)串后的元素?cái)?shù)為s,則它出現(xiàn)次。

    推論 設(shè)bj bj+1…bj+k的所有相關(guān)串中,串q1 q2…ql(含有b個(gè)串)是含有串最多的一個(gè)串,則bjbj+1…bj+k的長(zhǎng)度大于n的相關(guān)串的出現(xiàn)次數(shù)的上界為O(nb-1)。

    引理10 序列bjbj+1=rs(其中,r和s均可以取0,1)的相關(guān)串,見(jiàn)表5所列。

    表5 bjbj+1=rs的相關(guān)串

    證明 與引理3的證明完全相同。

    定理2 設(shè)n≥9,則|A(1)|≤2-(n-2)。

    證明 由表5可以看出,“00”與“01”和“10”與“11”具有相同的相關(guān)串結(jié)構(gòu)。故由引理9,它們長(zhǎng)度不超過(guò)n的相關(guān)串的出現(xiàn)次數(shù)分別相同;而它們大于n的相關(guān)串的出現(xiàn)次數(shù)的下界為0。設(shè)“00”與“11”的大于n的相關(guān)串的出現(xiàn)次數(shù)的上界分別為M1和M2,則由一階自相關(guān)系數(shù)公式有:|A(1)|≤2-(n-1)(M1+M2),又由引理9及引理10知:M1=2,M2=0,所以|A(1)|≤2-(n-2)。

    引理11 設(shè)已知bjbj+1…bj+k-1的相關(guān)串,要得到bjbj+1…bj+k的相關(guān)串:如果bj+k=0,則bjbj+1…bj+k-1的相關(guān)串末端為“11”時(shí)加“1”,末端為“01”時(shí)加“00”或“11”,末端為“10”時(shí)加“0”,末端為“00”時(shí)加“100”或“111”或或如果bj+k=1,則bjbj+1…bj+k-1的相關(guān)串末端為“11”時(shí)加“0”,末端為“01”時(shí)加“10”或“01”,末端為“10”時(shí)加“1”,末端為“00”時(shí)加“101”或“110”或“

    證明 由表5可以看出,bjbj+1=rs的相關(guān)串末端有“11”、“01”、“10”和“00”這4種可能,那么由線性組合器Vk=ak+1+ak+2的結(jié)構(gòu)易知結(jié)論成立。

    引理12 序列bjbj+1bj+2=rst(其中,r、s和t均可以取0,1)的相關(guān)串,見(jiàn)表6所列。

    證明 與引理3的證明完全相同。

    定理3 設(shè)n≥9,則|A(2)|≤(n-1)×2-(n-2)。

    證明 由表6可以看出,串“000”與“001”、“010”與“011”、“100”與“101”和“110”與“111”分別具有相同的相關(guān)串結(jié)構(gòu),所以由引理10可知,長(zhǎng)度不超過(guò)n的相關(guān)串的個(gè)數(shù)分別相等,且長(zhǎng)度大于n的相關(guān)串的個(gè)數(shù)的下界為0。若設(shè)比特串“000”、“011”、“100”和“110”的長(zhǎng)度大于n的相關(guān)串的個(gè)數(shù)之和的上界為M,則|A(2)|≤2-(n-1)M,由引理9和引理12知:

    表6 bjbj+1 bj+2=rst的相關(guān)串

    證明 由定義4知:

    由引理10知,比特串“00”與“01”和“10”與“11”分別具有相同的相關(guān)串結(jié)構(gòu)及相關(guān)串末端。由引理11知,它們分別具有相同的發(fā)展趨勢(shì);由引理9得N1(k,00)=N1(k,01)和N1(k,10)=N1(k,11),同時(shí)得到N2(k,10)與N2(k,01)的下界為0。

    下面分析N2(k,00)和N2(k,11)。由引理9的推論及引理11知,只需考慮含比特串最多的且以“01”收尾的相關(guān)串,即考慮“00”與“01”的相關(guān)串,由引理12知它們隨著k的每一次增長(zhǎng),都要增加1個(gè)串,且k=1,有1個(gè)串。那么,為k時(shí)有k個(gè)串。由引理9的推論即知,它們大于n的相關(guān)串的個(gè)數(shù)的上界為O(nk-1),也即N2(k,00)與N2(k,11)之和的上界為O(nk-1),所以2-(n-1)(N2(k,00)+N2(k,

    4 結(jié)束語(yǔ)

    本文通過(guò)采用不同的比特串分析其出現(xiàn)次數(shù)奇偶性的方法,證明廣義自縮序列b(ak+1+ak+2)最小周期在所有1 024種情形下全部達(dá)到最大,同時(shí)證明了其具有良好的低階自相關(guān)性。通過(guò)大量實(shí)驗(yàn),發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)廣義自縮序列都存在若干比特串,能說(shuō)明在大多數(shù)情形下其最小周期達(dá)到最大,因而對(duì)絕大多數(shù)廣義自縮序列,都可以采用選擇適當(dāng)?shù)亩鄠€(gè)比特串分析其出現(xiàn)次數(shù)奇偶性的方法,證明其最小周期在所有情形下達(dá)到最大,即2n-1。一般廣義自縮序列可以采用哪些比特串來(lái)完全證明其最小周期達(dá)到最大,還有待進(jìn)一步研究。

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