基于連續(xù)測(cè)角的被動(dòng)測(cè)距技術(shù)研究

申波，朱斌，龍波，郭立新

（西南技術(shù)物理研究所四川成都610041）

在偵察定位目標(biāo)過(guò)程中，目標(biāo)距離是影響系統(tǒng)安全和武器首發(fā)命中的重要因素，其準(zhǔn)確度影響到能否準(zhǔn)確避開(kāi)敵方威脅源的攻擊，并對(duì)敵方目標(biāo)進(jìn)行精確的打擊，所以探測(cè)目標(biāo)的距離便成為關(guān)鍵技術(shù)之一。

測(cè)距技術(shù)可分為主動(dòng)和被動(dòng)測(cè)距2種。前者是通過(guò)自身發(fā)射大功率信號(hào)探測(cè)目標(biāo)，通過(guò)分析目標(biāo)信息確定目標(biāo)的距離，但是由于主動(dòng)測(cè)距技術(shù)自身需要發(fā)射探測(cè)信號(hào)，在實(shí)戰(zhàn)中不便于隱蔽自己，容易被敵方發(fā)現(xiàn)，而遭受干擾甚至毀滅性打擊。其探測(cè)精度較高，但是探測(cè)距離卻比較有限；而后者又稱(chēng)為無(wú)源定位技術(shù)，是通過(guò)探測(cè)目標(biāo)自身的輻射信息、角度信息或其他信息，并對(duì)其分析來(lái)確定目標(biāo)距離。該技術(shù)不需自身發(fā)射探測(cè)信號(hào)，從而能夠很好地隱蔽自己，具備極強(qiáng)的生存能力和抗干擾能力，被動(dòng)測(cè)距技術(shù)可省略成本較高的發(fā)射單元，具有較高的性?xún)r(jià)比。二者相比，被動(dòng)測(cè)距技術(shù)具有更遠(yuǎn)的探測(cè)能力。

1 系統(tǒng)模型的建立

機(jī)載紅外搜索跟蹤系統(tǒng)在發(fā)現(xiàn)并跟蹤上目標(biāo)后，可以連續(xù)獲得目標(biāo)的角度數(shù)據(jù)。在沒(méi)有目標(biāo)任何位置信息的情況下，利用這些角度數(shù)據(jù)，通過(guò)建立合適的模型，選用合適的濾波算法，就可以有效地估計(jì)出目標(biāo)的距離。在空間極坐標(biāo)系中，載機(jī)跟蹤運(yùn)動(dòng)目標(biāo)時(shí)，目標(biāo)的三維運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如圖1所示。

圖1 空間極坐標(biāo)系三維運(yùn)動(dòng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of three-dimensional motion in the polar coordinates

描述目標(biāo)三維運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)向量表示如下：

式中，θ和φ分別是目標(biāo)的俯仰角和方位角，其導(dǎo)數(shù)分別為對(duì)應(yīng)角速度，ω是方位角速度的分量，R是目標(biāo)與觀測(cè)平臺(tái)間的相對(duì)距離，其導(dǎo)數(shù)為目標(biāo)與觀測(cè)平臺(tái)間的相對(duì)速度。

這些狀態(tài)向量滿(mǎn)足以下方程組：式中，Amx，Amy，Amz為觀測(cè)平臺(tái)本身的加速度，可作為已知量處理[1]。

基于測(cè)角的被動(dòng)測(cè)距方法的觀測(cè)向量為方位角和俯仰角，即：

可得測(cè)量矩陣為

2 可觀測(cè)性分析

對(duì)于非線(xiàn)性系統(tǒng)的可觀測(cè)性，工程研究中常采用Lee和Dum等人提出的可觀測(cè)性定理來(lái)分析。

定理對(duì)于非線(xiàn)性系統(tǒng)，

如果對(duì)于凸集s∈Rn上的所有x0，都有

是正定的，則系統(tǒng)在s上是完全可觀測(cè)的。

上述定理是針對(duì)連續(xù)系統(tǒng)的，對(duì)于非線(xiàn)性的離散系統(tǒng)，與此可觀測(cè)性定理等價(jià)的結(jié)論是：對(duì)于初始集合s中的n維矢量Xk0，記

如果存在正整數(shù)N使矩陣A（i，i+N-1）的秩滿(mǎn)足：

則系統(tǒng)在s上是完全可觀測(cè)的[2]。

在空間極坐標(biāo)系下，設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)變量為

由狀態(tài)向量滿(mǎn)足的狀態(tài)方程式（2），可得

可得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

由于狀態(tài)向量是6×1維向量，而觀測(cè)向量是2×1維向量，所以進(jìn)行N=3次觀測(cè)，得到3個(gè)觀測(cè)矢量，可得

從而可以求出Γ矩陣，并得出其行列式為

如果rankA=6，則根據(jù)前面所述非線(xiàn)性系統(tǒng)的可觀測(cè)性定理可知，此時(shí)系統(tǒng)是可觀測(cè)的。由于矩陣A是6×6方陣，所以rankΓ的充要條件是det A≠0。

由式（14）可以看到觀測(cè)平臺(tái)加速度分量Amy和Amz如果同時(shí)為0，則detA=0，此時(shí)系統(tǒng)不可觀測(cè)。所以可知要系統(tǒng)是可觀測(cè)的，則觀測(cè)平臺(tái)加速度必定不能為0，即觀測(cè)平臺(tái)必須作機(jī)動(dòng)，也就可以得出載機(jī)作機(jī)動(dòng)是本系統(tǒng)模型可觀測(cè)的必要條件。

3 濾波算法

在光電雷達(dá)獲取目標(biāo)的角度數(shù)據(jù)之后，需要選取合適的濾波算法來(lái)進(jìn)行濾波估計(jì)，而得出目標(biāo)相對(duì)載機(jī)的距離。基于本系統(tǒng)是非線(xiàn)性系統(tǒng)，故采用非線(xiàn)性濾波算法來(lái)進(jìn)行濾波。常用的非線(xiàn)性濾波算法有：擴(kuò)展卡爾曼濾波算法（EKF）[3-4]、修正協(xié)方差的擴(kuò)展卡爾曼濾波算法（MVEKF）[5]，修正增益的擴(kuò)展卡爾曼濾波算法（MGEKF）[6]和不敏卡爾曼濾波算法（UKF）[7]。

對(duì)于非線(xiàn)性濾波問(wèn)題，通常的處理方法是利用線(xiàn)性化技巧將非線(xiàn)性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)近似的線(xiàn)性濾波問(wèn)題，套用線(xiàn)性濾波理論得到求解原非線(xiàn)性濾波問(wèn)題的次優(yōu)濾波算法。擴(kuò)展卡爾曼濾波算法（EKF）是用泰勒級(jí)數(shù)將非線(xiàn)性的狀態(tài)方程進(jìn)行一階或二階展開(kāi)，對(duì)狀態(tài)方程進(jìn)行線(xiàn)性化。

修正協(xié)方差的擴(kuò)展卡爾曼濾波（MVEKF），其基本思想是在EKF方法中采用更新的狀態(tài)值X＾（k+1/k+1）重新計(jì)算雅克比矩陣，并用此新的雅克比矩陣作為測(cè)量矩陣對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行更新，從而得到更加準(zhǔn)確的修正協(xié)方差矩陣。

修正增益的擴(kuò)展卡爾曼濾波（MGEKF），其基本思想是在EKF方法中計(jì)算更新濾波協(xié)方差矩陣時(shí)，用一個(gè)修正增益函數(shù)矩陣g（Zk+1，X＾（k+1）/k）來(lái)代替量測(cè)矩陣Hk+1（X＾（k+1）/k）。這個(gè)修正增益函數(shù)矩陣g（Zk+1，X＾（k+1）/k）嚴(yán)格滿(mǎn)足以下關(guān)系式：

其優(yōu)點(diǎn)在于用可以減小觀測(cè)方程的線(xiàn)性化誤差，提高濾波精度。

不敏卡爾曼濾波（UKF）是用于計(jì)算經(jīng)過(guò)非線(xiàn)性變換的隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)的一種新方法。它不需對(duì)非線(xiàn)性狀態(tài)和測(cè)量模型進(jìn)行線(xiàn)性化，而是對(duì)狀態(tài)變量的后驗(yàn)概率密度函數(shù)（PDF）進(jìn)行近似化，進(jìn)行不敏變換（UT變換），表現(xiàn)為一系列選取好的采樣點(diǎn)，這些采樣點(diǎn)完全體現(xiàn)了高斯密度的真實(shí)均值和協(xié)方差。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

為對(duì)基于連續(xù)測(cè)角的被動(dòng)測(cè)距方法的可行性和適用性進(jìn)行驗(yàn)證[8]，分別用擴(kuò)展卡爾曼濾波算法（EKF）、修正協(xié)方差的擴(kuò)展卡爾曼濾波算法（MVEKF）、修正增益的擴(kuò)展卡爾曼濾波算法（MGEKF）和不敏卡爾曼濾波算法（UKF）進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)。仿真實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置為：目標(biāo)在相對(duì)載機(jī)初始距離為70 km處作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，速度230 m/s，載機(jī)在x方向上作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，速度250 m/s，在y方向上作S形機(jī)動(dòng)。光電雷達(dá)掃描周期T=1 s，掃描次數(shù)N=200，初始距離取為100 km，距離的標(biāo)準(zhǔn)差為10 km，速度的標(biāo)準(zhǔn)差為100 m/s，測(cè)量噪聲標(biāo)準(zhǔn)差取為σθ=σφ=2 mrad。采用蒙特卡洛方法對(duì)跟蹤濾波器進(jìn)行仿真，仿真次數(shù)為100次。

4.1 系統(tǒng)可觀測(cè)性驗(yàn)證

上述討論了載機(jī)機(jī)動(dòng)是系統(tǒng)可觀測(cè)的必要條件，仿真實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)證結(jié)果如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)可觀測(cè)性驗(yàn)證Fig.2 Validating the observability of system

由圖2可以發(fā)現(xiàn)這幾種濾波算法仿真的結(jié)果均是完全偏離真實(shí)軌跡，無(wú)法完成測(cè)距，可見(jiàn)在載機(jī)不作機(jī)動(dòng)的情況下，系統(tǒng)是不可觀測(cè)的。

4.2 濾波算法比較

在相同的仿真條件下，選用EKF、MVEKF、MGEKF和UKF 4種濾波算法，對(duì)其濾波效果進(jìn)行比較，仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 仿真實(shí)驗(yàn)濾波估計(jì)曲線(xiàn)圖Fig.3 Graph diagram of the simulation

由圖3可以看出，在載機(jī)作S形機(jī)動(dòng)的情況下，幾種濾波算法都很好的完成了收斂，并獲得了距離的估計(jì)值。這幾種濾波算法的最終估計(jì)精度都達(dá)到了5%以?xún)?nèi)，具有較高的精度。

MVEKF、MGEKF和UKF均在20 s左右就可以迅速完成收斂，EKF則在40 s左右進(jìn)入收斂。這4種濾波算法中，MVEKF、MGEKF和UKF的濾波效果差別不大，均比EKF的濾波效果要好。

5 飛行實(shí)驗(yàn)

為了對(duì)此被動(dòng)測(cè)距方法的可行性和適用性進(jìn)行驗(yàn)證，組織了飛行實(shí)驗(yàn)。通過(guò)光電雷達(dá)記錄的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)此方法的被動(dòng)測(cè)距效果進(jìn)行分析和評(píng)價(jià)。

飛行實(shí)驗(yàn)中，載機(jī)作S形機(jī)動(dòng)，目標(biāo)機(jī)作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，在空間直角坐標(biāo)系下其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如圖4所示。

圖4 載機(jī)與目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)態(tài)勢(shì)圖Fig.4 Situation map of the relative motion between the plane and the target

用EKF、MVEKF、MGEKF和UKF 4種算法進(jìn)行被動(dòng)測(cè)距，濾波估計(jì)曲線(xiàn)如圖5所示。

圖5 飛行實(shí)驗(yàn)濾波估計(jì)曲線(xiàn)Fig.5 Graph of the flight experiment

通過(guò)飛行實(shí)驗(yàn)，基于連續(xù)測(cè)角的被動(dòng)測(cè)距方法得到了目標(biāo)最終的距離值和相對(duì)誤差，列表如表1所示。

表1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較Tab.1 Comparision of experiment results

由圖5和表1可以看出，實(shí)驗(yàn)所測(cè)得的目標(biāo)距離精度較高，濾波算法獲得的精度值均達(dá)到了5%以?xún)?nèi)。實(shí)驗(yàn)表明，該測(cè)距方法能夠應(yīng)用于工程實(shí)踐中，具有很高的實(shí)用價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義。

6 結(jié)論

本文基于連續(xù)測(cè)角的被動(dòng)測(cè)距方法，在空間坐標(biāo)系中構(gòu)建了系統(tǒng)模型，對(duì)其可觀測(cè)性進(jìn)行了分析，得出載機(jī)機(jī)動(dòng)是系統(tǒng)可觀測(cè)的必要條件。然后通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)和飛行實(shí)驗(yàn)，對(duì)該測(cè)距方法的可行性與實(shí)用性進(jìn)行了驗(yàn)證。

基于連續(xù)測(cè)角的被動(dòng)測(cè)距技術(shù)通過(guò)觀測(cè)目標(biāo)的角度信息，建立合適的系統(tǒng)模型，選用合適的濾波算法，可以估測(cè)出目標(biāo)的距離值。這種測(cè)距方法精度高，收斂快，效果好，是無(wú)源定位系統(tǒng)中一種重要的測(cè)距手段。

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