對(duì)數(shù)函數(shù)控制下強(qiáng)流離子束徑向密度的模擬研究

楊翠云 翁甲強(qiáng) 劉海英

1（桂林師范高等專(zhuān)科學(xué)校 物理與信息技術(shù)系 桂林 541002）

2（廣西師范大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 桂林 541004）

核能源是世界公認(rèn)的潔凈、綠色、低碳的高效能源，排在替代化石能源的第一位[1]。但是，發(fā)展核能源存在天然鈾的利用率低、核廢料難以處理等難題。二十世紀(jì)末提出的加速器驅(qū)動(dòng)的次臨界反應(yīng)堆，即“放射性潔凈核能系統(tǒng)”，是解決這一難題的最佳選擇[2]。而應(yīng)用強(qiáng)流離子束還須解決束暈-混沌的控制問(wèn)題打到器壁上的束暈離子不僅損害設(shè)備，且危害人身安全。為控制束暈-混沌，中國(guó)原子能研究院方錦清[3]提出非線性控制策略?；谠摬呗裕藗円烟岢鲆恍┯行У目刂品椒╗4–9]。此外，為提高離子束的利用率而進(jìn)行的離子束束流品質(zhì)研究(即離子束徑向密度)中[10–13]，發(fā)現(xiàn)在某些參數(shù)下受控后的離子束徑向密度的分布變得不均勻，甚至有峰值出現(xiàn)，且分布與控制器和選用的控制信息有關(guān)。但是，對(duì)束流品質(zhì)的現(xiàn)有研究中常用的控制變量是離子束的均方根半徑 rrms或最大半徑 rmax，唯有文獻(xiàn)[10]采用的控制變量為離子數(shù)比 λ=Na/N (Na為匹配半徑外的離子數(shù)，N為總離子數(shù)，常數(shù))，但對(duì)以匹配半徑外特定區(qū)域(控制信息區(qū)域)內(nèi)的離子數(shù)N'a代替Na作為控制變量，尚未見(jiàn)報(bào)道。N'a代替Na，可大大縮小探測(cè)控制信息的區(qū)域，可解決控制變量的探測(cè)問(wèn)題，成為最具有可行性的實(shí)施方法[9]。

本文采用 PIC程序和對(duì)數(shù)函數(shù)控制器G=gln(1–λ′) (g 為增益因子，λ′=Na'/N)進(jìn)行束暈-混沌控制的模擬研究。結(jié)果表明，受控后，離子束進(jìn)入加速器通道的一段時(shí)間內(nèi)，束中心處的密度值變化很大，然后趨于穩(wěn)定；在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，離子束的徑向密度保持基本均勻分布，而且，該分布與控制信息的選取區(qū)域無(wú)關(guān)。

1 理論模型和數(shù)值模擬方法

粒子-束核模型廣泛應(yīng)用于強(qiáng)流離子束的束暈-混沌形成機(jī)制及其控制方法研究[3–17]。該模型考慮一束橫截面為圓形的離子束在周期性聚焦磁場(chǎng)B(r,s)通道中運(yùn)動(dòng)，對(duì)于滿(mǎn)足K-V分布(Kapchinsky-Vladimirsky propagation)的離子束，可用包絡(luò)方程描述離子束包絡(luò)半徑的變化[14–16]，即：

式中，rb是束包絡(luò)半徑；S為聚焦磁場(chǎng)的周期；s=z=βbct是軸向坐標(biāo)，βbc為束離子的平均軸向速度，c為光速，t是時(shí)間；周期函數(shù)κz(s)表征周期性聚焦磁場(chǎng)強(qiáng)度(圖 1)，滿(mǎn)足 κz(s+S)= κz(s)=q2Bz2(s)/(4γb2βb2m2c4)，Bz(s)=Bz(0,s)，q 和 m 分別為離子的電量和靜止質(zhì)量，γb=1/(1–βb2)1/2為相對(duì)論因子；ε是離子束發(fā)射度；K=2q2Nb/(γb2βb2mc2)是廣義導(dǎo)流系數(shù)，為束自生場(chǎng)強(qiáng)度的量度，Nb是軸向單位長(zhǎng)度上的粒子數(shù)目。在該磁場(chǎng)中一個(gè)周期內(nèi)的真空相移o0=[ΓS2κz(0)]1/2，Γ是聚焦磁場(chǎng)的填充因子，表示磁場(chǎng)的大小。

引入無(wú)量綱的參數(shù)和變量

則式(1)可改寫(xiě)為

圖1 周期性聚焦磁場(chǎng)和填充因子Fig.1 The periodic function and filling factors.

而描述單離子橫向運(yùn)動(dòng)的方程則分別為

其中 Φs(x,y,s)為空間電荷自生場(chǎng)的勢(shì)函數(shù)，滿(mǎn)足Poisson方程[5]

其中f (x,y,x′,y′,s)為在非相對(duì)論四維相空間內(nèi)的橫向離子分布函數(shù)，ε0為真空介電常數(shù)。

在粒子-束核模型里，自生場(chǎng)的非線性效應(yīng)使粒子和束核不斷地發(fā)生能量交換，部分粒子獲得較大的能量跑到束核外面成為束暈離子。單離子運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的力有自生場(chǎng)力 Fsc=–q▽?duì)祍(x,y,s)和外加聚焦磁場(chǎng)力Fext=κz(s)，即

根據(jù)文獻(xiàn)[3]提出的非線性控制策略，將非線性控制器G加入式(7)右邊，將Fr修改為

加入G后，就可改變離子的徑向受力。只要施力適當(dāng)，就可減小離子的橫向速度或能量，從而使原來(lái)橫向分布較松散的離子向軸心靠攏，達(dá)到抑制束暈-混沌的目的。

通過(guò)編制 PIC(particle-in-cell)程序?qū)κ?4)–(8)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，可獲得束暈-混沌控制結(jié)果。本文的研究分為兩部分：一是離子束徑向密度與控制信息的選取區(qū)域的關(guān)系，二是離子束徑向密度與填充因子的關(guān)系。首先，把半徑am≤ r ≤ 1.4am的圓環(huán)等分為72份，每份對(duì)應(yīng)的圓心角為5o，對(duì)這些區(qū)域內(nèi)離子數(shù)Na′逐一取為控制信息，研究控制信息區(qū)域與離子束束流品質(zhì)的關(guān)系。然后，改變填充因子，觀察磁場(chǎng)大小的改變對(duì)束流品質(zhì)的影響。

2 結(jié)果和討論

2.1 數(shù)值模擬參數(shù)

為減小離子數(shù)密度分布的漲落，并與已有研究結(jié)果比較，模擬離子數(shù)取 N=5×105，模擬周期取1500。系統(tǒng)參數(shù)有：失匹配因子M，其度量一個(gè)實(shí)際系統(tǒng)與理想系統(tǒng)的偏離，本文定義為束流的初始半徑與匹配半徑之比，M=rb(0)/am=1.5；調(diào)諧衰減因子η，η=1/(am2o0) =0.8，表示空間電荷效應(yīng)的強(qiáng)弱，其中 o0為真空相移，o0=100o；填充因子 Γ分別取0.8和 0.64，由此可算出無(wú)量綱的匹配半徑 am=0.8462844，廣義導(dǎo)流系數(shù)K=0.7853982。用n表示離子數(shù)的徑向密度，r表示無(wú)量綱的束橫截面半徑。

2.2 數(shù)值模擬結(jié)果

2.2.1 填充因子Γ=0.8時(shí)的模擬結(jié)果

把所介紹的區(qū)域逐一作為探測(cè)離子數(shù) Na′的區(qū)域，進(jìn)行束暈-混沌控制的模擬研究。結(jié)果顯示，離子束徑向密度分布曲線相似，這是因?yàn)椋?1)采用的離子束和聚焦磁場(chǎng)系軸對(duì)稱(chēng)；(2)離子在加速器管道中繞軸線旋轉(zhuǎn)[17]；(3)模擬系統(tǒng)采用的離子個(gè)數(shù)多，可克服離子數(shù)在各個(gè)方向的統(tǒng)計(jì)漲落。由于密度曲線類(lèi)似，我們以 175o–180o圓心角區(qū)域內(nèi)的離子數(shù)為控制信息進(jìn)行束暈-混沌控制所對(duì)應(yīng)的徑向密度曲線為代表，給出圖2、圖3。圖2為不同角度的觀察效果。圖3是從前400周期和后400周期內(nèi)任意抽出部分周期的密度曲線。

由圖 2，離子束的徑向密度在管道中心基本呈均勻分布，無(wú)峰值出現(xiàn)；隨著離子束在加速器管道中的傳輸，束邊沿處密度下降至零的速度呈加快趨勢(shì)；從圖2(b)可見(jiàn)，在前400周期內(nèi)，不同周期的離子束徑向密度曲線變化很大，中心密度的最小值約為 1.1×105，最大值約為3.1×105，相差約3倍；后400周期，中心密度的值變化很小，離子束的密度分布變得穩(wěn)定；離子束分布的范圍逐漸減小，從r=1.4變到r=0.95；500周期后，離子束基本被控制在半徑r=0.95內(nèi)。

2.2.2 填充因子Γ=0.64時(shí)的模擬結(jié)果

當(dāng)填充因子取值為0.64時(shí)，選擇半徑am ≤r≤1.4 am、圓心角為175o–180o扇形區(qū)域作為探測(cè)控制信息的區(qū)域，作出離子束的徑向密度曲線(圖4)。將圖4和圖2進(jìn)行比較，兩者相似，雖然聚焦磁場(chǎng)大小的改變了，但離子束的徑向密度依然呈基本均勻分布狀態(tài)，只不過(guò)離子束中心的密度值變化大些。

本文還模擬了Γ=0.4時(shí)的情況。此參數(shù)下，不能控制束暈-混沌現(xiàn)象，離子束的徑向密度雖呈基本均勻分布，但離子的分布范圍越來(lái)越大。

圖2 填充因子Γ=0.8時(shí)離子束徑向密度的時(shí)空演化曲線Fig.2 Evolution of radial density of the ion beams at the filling factor of Γ=0.8.

圖3 部分周期處的徑向密度曲線Fig.3 Partial evolution of radial density of the ion beams.

2.3 模擬結(jié)果分析

把本研究結(jié)果與同樣以離子數(shù)比為控制變量的文獻(xiàn)[10]相比，它給出的密度曲線是開(kāi)始束的中心密度分布變化平緩，600周期后，呈現(xiàn)變化劇烈的狀況，甚至有峰值出現(xiàn)，而本研究結(jié)果表明，加入控制器后，在前400周期內(nèi)，離子束的中心密度值雖變化劇烈，但呈現(xiàn)均勻分布；在400周期后，離子束的徑向密度的分布變得均勻穩(wěn)定，達(dá)到了很好的控制束暈-混沌效果。前400周期密度值出現(xiàn)劇烈震蕩現(xiàn)象，與束暈-混沌是一種非線性極強(qiáng)的時(shí)空混沌有關(guān)，要控制住束暈-混沌，則需要一段時(shí)間。離子束進(jìn)入加速器管道后，在受到聚焦力、自生場(chǎng)力和外加的非線性力的作用后，離子的運(yùn)動(dòng)會(huì)發(fā)生很大的變化，離子將重新分布，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，束暈-混沌已被控制，離子的分布趨于穩(wěn)定。由此可見(jiàn)，將獲取控制信息的區(qū)域縮小，不但有利于探測(cè)控制信息，而且受到控制后束流變得更加均勻和穩(wěn)定，再次說(shuō)明了離子束徑向密度的分布與控制信息的選取有關(guān)。

圖4 填充因子Γ=0.64時(shí)離子束徑向密度的時(shí)空演化曲線Fig.4 Evolution of radial density of the ion beams at the filling factor of Γ=0.64.

3 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，以匹配半徑外特定小區(qū)域內(nèi)的離子數(shù)為控制信息進(jìn)行束暈-混沌的控制，離子束的徑向密度呈基本均勻分布狀態(tài)，無(wú)峰值出現(xiàn)，且與選取控制信息的區(qū)域無(wú)明顯關(guān)系，這可為應(yīng)用強(qiáng)流離子束時(shí)確定探測(cè)器和靶材料的位置提供參考。

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4 方錦清, 陳關(guān)榮.物理學(xué)進(jìn)展, 2003, 23(3): 321–388 FANG Jinqing, CHEN Guanrong.Progress in Physics,2003, 23(3): 321–388

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9 楊翠云, 翁甲強(qiáng), 劉海英, 等.物理學(xué)報(bào), 2008, 57(11):6883–6887 YANG Cuiyun, WENG Jiaqiang, LIU Haiying, et al.Acta Phys Sin, 2008, 57(11): 6883–6887

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