運(yùn)用辯證思維探求解題捷徑

■江思容

運(yùn)用辯證思維探求解題捷徑

■江思容

所謂辯證思維，就是用運(yùn)動(dòng)的、聯(lián)系的、對(duì)立統(tǒng)一的觀點(diǎn)和方法來(lái)思考、研究問(wèn)題，揭示事物的本質(zhì)的思維方法。解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本活動(dòng)。題目千變?nèi)f化，已知和未知之間充滿矛盾的對(duì)立統(tǒng)一，在指導(dǎo)學(xué)生研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，教師要積極引導(dǎo)他們運(yùn)用聯(lián)系轉(zhuǎn)化觀、對(duì)立統(tǒng)一觀、運(yùn)動(dòng)變化觀來(lái)分析問(wèn)題、探求問(wèn)題解決的最佳途徑，這將有利于對(duì)學(xué)生進(jìn)行辯證唯物主義教育，提高學(xué)生辯證思維能力。本文從以下八個(gè)方面談?wù)勛鞣?，以期拋磚引玉。

一、一般與特殊

有些數(shù)學(xué)命題條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，不很明顯，而其結(jié)論又是反映一般的情形，直接尋找解題途徑較為困難。在這種情況下，不妨先將問(wèn)題的一般性轉(zhuǎn)化為問(wèn)題的特殊性來(lái)考慮。這種探索一般性的結(jié)論的方法，有助于我們從特殊性認(rèn)識(shí)普遍性。

例1，方程(m+1)x4-(3m+3)x3-2mx2+18m=0對(duì)任何實(shí)數(shù)m都有一個(gè)共同的實(shí)數(shù)解，試求這個(gè)實(shí)數(shù)解。

解：∵m為任意實(shí)數(shù)，不妨取m=-1和m=0兩種特殊情形。

(1)將m=-1代入原方程有2x2-18=0，解這個(gè)方程得x=±3；

(2)將m=0代入原方程有x4-3x3=0，解這個(gè)方程得x=0或3。

而這兩個(gè)方程只有公共解x=3，因此方程的實(shí)數(shù)根是x=3。

二、相等與不等

辯證唯物主義觀點(diǎn)認(rèn)為，矛盾的雙方是可以互相轉(zhuǎn)化的，所以我們可用“不等”的方法來(lái)解決“相等”的問(wèn)題，從而讓“不等”向“相等”轉(zhuǎn)化。

例2，已知a，b，c為整數(shù)，且a2+b2+ c2+49≤4a+6b+12c，求的值。

解：∵a、b、c為整數(shù)，由已知條件的不等式有：a2+b2+c2+49≤4a+6b+12c。

三、正面與反面

一般來(lái)講，從正面解題，是常見(jiàn)的有效的方法，但有時(shí)從正面出發(fā)思路卻受阻，不知所措，這時(shí)若從反面著手常常能化難為易，迎刃而解。

例3，設(shè)三個(gè)二次方程

x2+4mx+4m2+2m+3=0，

x2+(2m+1)x+m2=0，

(m-1)x2+2mx+m-1=0，

它們中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，則m的取值范圍是（）

解：此題分以下兩種情況考慮——

(1)當(dāng)m=1時(shí)，方程(m-1)x2+2mx+m -1=0化為一次方程2x=0，它有一個(gè)實(shí)數(shù)根x=0，故m=1符合題意。

(2)當(dāng)m≠1時(shí)，所給方程均為一元二次方程，若從正面考慮，“至少有一個(gè)方程有實(shí)根”，需分“一個(gè)方程有實(shí)根”、“兩個(gè)方程有實(shí)根”、“三個(gè)方程有實(shí)根”一一進(jìn)行討論，共需列七個(gè)不等式(組)，運(yùn)算相當(dāng)繁雜。若轉(zhuǎn)化到問(wèn)題的反面，先求三個(gè)二次方程都無(wú)實(shí)根時(shí)m的取值范圍，然后從m≠1的實(shí)數(shù)中排除它即為所求。

且m≠1，故選(B)

四、運(yùn)動(dòng)與靜止

當(dāng)題目中變量較多或不確定因素較多時(shí)，全面考慮難度較大，為此可“動(dòng)”中求“靜”，而有時(shí)，要反其道而行之。

例4，如圖1，邊長(zhǎng)為a的等邊△ABC的二頂點(diǎn)A、B，分別在x軸和y軸上運(yùn)動(dòng)，試求動(dòng)點(diǎn)C到原點(diǎn)O的距離的最大值和最小值。

解析：由于求動(dòng)點(diǎn)C到原點(diǎn)O的距離的最大值比較困難，根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)原理，可以考慮把定點(diǎn)O轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)，把動(dòng)點(diǎn)C轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)，讓坐標(biāo)軸運(yùn)動(dòng)，由于∠x(chóng)Oy=90°，原點(diǎn)O就在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)AO=BO時(shí)，CO最大，CE最小。

五、熟悉與陌生

熟悉與陌生是一對(duì)矛盾，把比較生疏的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，以充分利用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，使問(wèn)題得以解決，這是解題化歸思想中一個(gè)重要原則。

例5，若(b-c)2-4(a-b)(c-a)=0，求證：2a=b+c

證明：∵條件等式類(lèi)似于一元二次方程判別式，于是可構(gòu)造熟悉的一元二次方程即(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)=0，

∵(a-b)+(b-c)+(c-a)=0及△=0知x1=x2=1，

六、隱含與明顯

在數(shù)學(xué)解題中，常把題中的隱含條件轉(zhuǎn)化為顯現(xiàn)的條件，增加問(wèn)題的透明度。

解析：本題若直接代換計(jì)算，則相當(dāng)麻煩，仔細(xì)觀察，不難發(fā)現(xiàn)其隱含條件是x-y=1，這樣就增加了問(wèn)題的透明度。

于是，原式=(x-y)(x2+xy+y2)-3xy= (x-y)2=1

七、無(wú)限與有限

數(shù)學(xué)中涉及無(wú)限多情形的問(wèn)題，常因難以統(tǒng)一處理而成難題，但有些可通過(guò)適當(dāng)處理，轉(zhuǎn)化為有限的問(wèn)題來(lái)解決。

例7．求證：等式

證明：設(shè)左邊=x，兩邊平方后有2+2x=x2，解之得x1=2，x2=-1(不合題意舍去)，再設(shè)右邊=y，兩邊平方后有2y=y2，解之得y1=2，y2=0(舍去)

∴x=y=2。

故原命題成立。

八、前進(jìn)與后退

解決一個(gè)特殊數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，往往可先將這個(gè)問(wèn)題作一般化的探討，推進(jìn)到一般的情形，通過(guò)對(duì)一般問(wèn)題的解決，再返回來(lái)解決原來(lái)的問(wèn)題，以達(dá)到最終解決問(wèn)題的目的。

例8，如圖2，AD是△ABC的中線，AD上一點(diǎn)E，過(guò)E的直線交AB于 F、AC于G。求證：。

綜上所述，引導(dǎo)學(xué)生用辯證的觀點(diǎn)去觀察問(wèn)題、解決問(wèn)題，努力促進(jìn)學(xué)生掌握辯證思維這個(gè)銳利武器，將能大大提高學(xué)生的思維能力和解題能力。

武漢市洪山區(qū)教育研究培訓(xùn)中心）

責(zé)任編輯 王愛(ài)民