《空間解析幾何》與空間思維能力的培養(yǎng)

高德寶,李春雷

(黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué) 文理學(xué)院,黑龍江 大慶 163319)

空間思維也稱“立體思維”、“全方位思維”、“整體思維”、“多元思維”或“多維型思維”.狹義的空間思維是指跳出點、線、面的限制，能從上下左右，四面八方去思考問題的方式，也就是要“立起來思考”.廣義的空間思維是指人利用空間概念、呈現(xiàn)工具及推理過程對思維對象作判斷、推理、想象、分析、比較、綜合，以獲得深一層次認(rèn)識的大腦活動.空間思維由三大要素組成：空間概念、呈現(xiàn)工具以及推理過程.全美研究委員會的科學(xué)家認(rèn)為，空間思維能力是一種普遍的思維能力，是所有人在任何背景下都或多或少具備的一種能力.空間思維作為一種滲透力極強(qiáng)的思維形式，在很多偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)中扮演著重要的作用，比如DNA雙螺旋結(jié)構(gòu)的發(fā)現(xiàn).特別地，空間思維能力在當(dāng)今的信息經(jīng)濟(jì)中發(fā)揮著越來越重要的作用.空間思維能夠通過學(xué)習(xí)得到提高.特別是在計算機(jī)軟硬件的輔助下，開展空間思維能力的培訓(xùn)有了更加便利的條件.如何培養(yǎng)大學(xué)生的空間思維能力？這個問題在現(xiàn)代教學(xué)中首當(dāng)其沖.

數(shù)學(xué)系的所有學(xué)科中，《空間解析幾何》與空間思維能力的培養(yǎng)關(guān)系緊密.它是一門非常重要的專業(yè)基礎(chǔ)課.該課程的任務(wù)是介紹解析幾何的方法和基本知識，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用解析方法解決幾何問題的能力以及在實際問題中運(yùn)用解析幾何的方法和知識的能力.更重要的是它有助于幫助學(xué)生認(rèn)識現(xiàn)實的幾何空間,培養(yǎng)學(xué)生的直覺能力;使學(xué)生學(xué)會幾何思維方法,培養(yǎng)其更高層次的空間思維能力.

如何在《空間解析幾何》教學(xué)中有效地培養(yǎng)學(xué)生的空間思維能力，筆者提出幾點建議.

1 牢固的空間概念、豐富的空間想象能力是空間思維能力的基礎(chǔ)

學(xué)生主要是通過對物體的立體狀態(tài)在現(xiàn)實空間中的位置關(guān)系，來形成物體在空間中的形式(形狀、大小、遠(yuǎn)近、深度等)上的表象，進(jìn)而形成空間知覺，發(fā)展相應(yīng)的空間概念，實現(xiàn)對客觀事物在空間形式上的認(rèn)知.空間的基本概念有點、線、面、角、視覺、多邊形、圓形、轉(zhuǎn)換圖形、對稱相似等.基本的立體圖形有長方體、正方體、三棱柱、四棱柱、n棱柱等.為了幫助學(xué)生掌握基本的空間概念，在《空間解析幾何》教學(xué)中盡量用動畫演示點、線、面相交所成幾何圖形；點、線、面運(yùn)動所成幾何圖形；三維形體展開成二維物體及相反的情形；三維立體的不同截面等.

在《空間解析幾何》教學(xué)中要盡可能地用動畫演示三維空間立體，并盡量讓學(xué)生從各種角度進(jìn)行觀察、比較，研究點、線、面的位置關(guān)系，鑒別幾何體的特征，從而形成豐富的表象，還可以充分利用多媒體積累學(xué)生的空間感覺，通過計算機(jī)輔助教學(xué)，模擬并展示立體圖到平面圖、再從平面圖到立體圖的轉(zhuǎn)化過程,使學(xué)生能通過線條的變化區(qū)別不同的面并了解是何種性質(zhì)的面, 對各種基本幾何體的輪廓有所了解, 初步樹立起空間概念.

能夠熟練地運(yùn)用空間概念進(jìn)行繪圖與讀圖是空間想象能力的訓(xùn)練途徑.

在向量與坐標(biāo)的內(nèi)容中，強(qiáng)調(diào)盡管圖形簡單，但必須能夠精確作圖.例如向量的加減法、數(shù)乘向量、標(biāo)架與坐標(biāo)、向量的投影、兩向量的向量積.進(jìn)而掌握三點畫平面，異面直線、規(guī)則空間立體、復(fù)雜一點的二次曲面、直紋面的簡便畫法.這些作圖能力是空間想象能力的基礎(chǔ).

二次曲線與二次曲面的化簡是識圖能力訓(xùn)練的過程.空間二次曲線無論表達(dá)式多么復(fù)雜，概括起來就有九種類型.同理，二次曲面共有十七種類型.在教學(xué)過程中要注重二次曲線、面化簡的方法與過程.使學(xué)生極為熟練二次曲線與二次曲面的作圖.

空間想象能力是建立在空間概念的基礎(chǔ)之上的.空間想象是人們頭腦中原有的空間表象經(jīng)過加工改造和重新組合而產(chǎn)生新的形象的心理過程,是一種高級復(fù)雜的認(rèn)知活動.培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力是《空間解析幾何》教學(xué)的主要任務(wù)之一，同時也是難點之一.

空間想象能力是可以在讀圖與繪圖的訓(xùn)練過程中得以形成的.由二維平面視圖想象空間立體形狀的過程就是讀圖過程.將三維空間物體投影到二維平面的過程就是繪圖過程.

首先，要用軟件從不同角度演示大量不同的立體實物.正所謂“ 見多識廣、觸類旁通”的道理，學(xué)生觀察的實物越多，獲得的感性知識就越豐富，掌握新知識、接受新事物就越快.

其次，要能夠準(zhǔn)確地進(jìn)行繪圖與讀圖.在進(jìn)行平面、曲面以及柱面的教學(xué)中, 引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真仔細(xì)地觀察空間實物上的關(guān)鍵元素(如交線、交點、傾斜度等)在三個坐標(biāo)面上的投影位置, 三維元素與二維投影圖之間的對應(yīng)關(guān)系.再觀察當(dāng)這些關(guān)鍵元素的空間位置改變時，投影圖上的對應(yīng)投影又是如何變化的，從而掌握點、線、面的投影規(guī)律.可以在講授空間曲面的投影時，讓學(xué)生多觀察各種不同的物體模型，同時向他們指出一些身邊常見的物體，如輸水管、書桌等等，引導(dǎo)學(xué)生對其進(jìn)行仔細(xì)地觀察，找到相交線的位置，觀察相交線的形狀，弄清形體之間只要相交就產(chǎn)生交線，而由于形體的形狀、大小及相對位置不同，其相交線的形狀就不同.在學(xué)習(xí)中，經(jīng)過對多種形體進(jìn)行反復(fù)觀察、分析、比較之后，腦海中儲存了大量的形體形象，再對照投影圖，就能準(zhǔn)確地想象出二維投影圖所表達(dá)的三維空間形體的形狀.

在繪圖時，要對所繪物體進(jìn)行形體分析，該物體是由哪幾個基本幾何立體構(gòu)成，各基本幾何立體的形狀及其投影面的相對位置、其投影特點如何，各基本幾何立體之間的相對位置及組合方式、表面連接等，再利用頭腦中物圖對應(yīng)表象, 畫出二維圖形及各幾何體之間交線的投影，并進(jìn)行綜合想象、比較所畫投影圖與所要表達(dá)的空間物體是否完全相符，即檢查修正，使所畫圖形準(zhǔn)確無誤而有利于讀圖.

最后，熟悉平面到空間和從空間到平面的正逆轉(zhuǎn)換.為完成這種轉(zhuǎn)換過程，就要利用頭腦中物圖對應(yīng)、物圖轉(zhuǎn)換的表象根據(jù)已知的投影規(guī)律，進(jìn)行形體分析與線面分析，再進(jìn)行綜合、比較、修正，完成想象過程.所以，同想象借助于思維一樣，想象也離不開分析、思維、想象共存，互相結(jié)合，互相依賴，互相促進(jìn)學(xué)生要解決繪圖和讀圖的問題，就必須利用頭腦中已建立起來的空間幾何元素和形體及它們之間相互關(guān)系的物圖對應(yīng)表象，再根據(jù)有關(guān)的投影理論、專業(yè)知識，進(jìn)行有效的空間分析、思考和想象.教師要有意識地引導(dǎo)學(xué)生去想象.例如在進(jìn)行馬鞍面教學(xué)時，可利用軟件將馬鞍面投影到各坐標(biāo)面，同時從各個角度觀察實物.對照投影圖可以分析、想象實物的表象.反過來，還可以觀察與想象馬鞍面在各個坐標(biāo)面上的投影.

2 有效地選擇空間事物的呈現(xiàn)工具是空間思維能力的關(guān)鍵

物體的空間特性(形狀、大小、遠(yuǎn)近、深度、方向等)直接作用于視覺，觸覺等器官，或者通過語言，文字描述和圖形示意等形式間接作用于視覺、聽覺等器官，經(jīng)過表面現(xiàn)象和外部聯(lián)系的綜合反映而產(chǎn)生知覺，再通過想象這一心理過程，可以獲得對直接客體的全面而深刻的認(rèn)識.也可以獲得語言描述或圖形示意的間接客體在頭腦中的再現(xiàn)形象，甚至創(chuàng)造出新的形象.這是以想象為核心的思維過程.這一過程的熟練與準(zhǔn)確程度，決定著人們認(rèn)識物體空間特性的快慢和深淺程度.

空間事物的呈現(xiàn)工具是實踐活動與空間概念之間的樣本或媒介物.呈現(xiàn)工具可以用來描述、解釋并且理解物體的結(jié)構(gòu)、運(yùn)用、功能以及相互關(guān)系.如，視圖關(guān)系(建筑計劃書與立視圖；平面圖與全景透視).在四維時空中，例如給遠(yuǎn)在非洲的朋友打電話必須掌握時區(qū)和時差并計算出適當(dāng)?shù)耐ㄔ挄r間；車箱空間：一次送兒子上大學(xué)的旅途要將車箱空間利用最大、最有效化更可保證行李完整易移，同時利用網(wǎng)絡(luò)定位搜索引擎和地圖查出正確的行車捷徑到達(dá)學(xué)校；房屋空間、鄰里空間、超市空間、機(jī)器空間、謎語空間、花園空間、鞋帶空間以及服飾空間等.這許多事情都通過呈現(xiàn)工具表示，包括時區(qū)表、網(wǎng)絡(luò)搜索引擎圖表、購物清單、服飾圖形等.同時，處理好這些空間事務(wù)要有復(fù)雜的操作技巧：例如如何找出兩地區(qū)時算出適當(dāng)?shù)耐ㄔ挄r間；如何挑出合適的有效的空間來放置行李等.

3 理論與實踐結(jié)合是空間思維能力的核心

人雖然能想象出從未感知過的，甚至實際上不存在的事物的形象，但想象的基礎(chǔ)總是來源于客觀存在，實踐知識越豐富，想象的素材就越多，想象的能力就越強(qiáng).因此，人的空間想象能力和空間思維能力是在實踐中發(fā)生和發(fā)展起來的.

在空間思維能力的培養(yǎng)過程中，應(yīng)注重所學(xué)內(nèi)容與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，注重使學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、想象、合作等探索過程”，學(xué)生從生活中抽象出常見立體圖形、由立體圖形轉(zhuǎn)化成平面圖形的關(guān)鍵.具體地說就是從日常生活所見到的立體圖形出發(fā)，結(jié)合學(xué)生日常生活的經(jīng)驗，逐漸建立起學(xué)生對平面圖形的空間觀念和推理能力.需要對客觀事物和具體圖形進(jìn)行觀察、分析并抽象出相應(yīng)的本質(zhì)屬性.

一位心理學(xué)家曾經(jīng)出過這樣一道題：在一塊土地上種植四棵樹，使得每兩棵樹之間的距離都相等.用PPT或MATLAB等軟件用一個點代表一棵樹，線段代表兩棵樹之間的距離.引導(dǎo)學(xué)生不能僅在二維空間考慮問題.學(xué)生很容易就會找到正確答案：其中一棵樹可以種在山頂上，這樣，只要其余三棵樹與之構(gòu)成正四面體的話，就能符合題意要求了.此例沒有拘泥于教材上單純的點、線組合，源于教材，而沒有脫離教材.課件具有直觀、生動、鮮明、簡潔的特點，在教學(xué)中易于建立空間環(huán)境.在講到圓錐的概念時，可先用課件演示實物如谷堆、鉛錘，然后覆蓋上與實物相吻合的輪廓線，最后把實物去掉留下幾何圖形，這樣使教學(xué)具體、明了、效果好.同時，引導(dǎo)學(xué)生的逆向思維，由圓錐可聯(lián)想到鉛錘、漏斗等實物.對空間兩直線間的相關(guān)位置，利用動畫課件可清楚地給學(xué)生以示范，達(dá)到事半功倍的效果.還可利用教室中的墻角線給學(xué)生以示范異面直線位置.

對抽象的曲面概念的教學(xué)，應(yīng)正確地運(yùn)用直觀原則，采用具體實物、圖示或所熟悉的實物等直觀教具，逐步幫助學(xué)生形成清晰的感性認(rèn)識.

《空間解析幾何》的理論與實踐有許多結(jié)合點.二次曲面的圖形在現(xiàn)實生活中有很多實例，也是理論與實踐的易結(jié)合點.火腿腸的外表、褲腿的設(shè)計與柱面分不開；康師傅大碗面、大桶面就是旋轉(zhuǎn)拋物面、圓臺面的一部分.橄欖球、籃球的表面分別是橢球面、球面.花瓶的設(shè)計就是單葉雙曲面的一部分.女士挎包的款式很多源于馬鞍面的形狀.該部分在教學(xué)過程中很易激發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行空間思維訓(xùn)練.在講述單葉雙曲面的形成時，可引導(dǎo)學(xué)生思考各種人工噴泉圖形的形成及原理，同時激發(fā)學(xué)生想象與描述如何形成不同的噴泉圖案.

能將理論與實踐相結(jié)合是空間思維能力的核心部分.培養(yǎng)學(xué)生的空間思維能力，首要的是借助于學(xué)生頭腦中關(guān)于空間事物的表象組合成新的空間事物，但是由相同事物的表象能夠構(gòu)建與組合成的事物表象會很多，有正確的，當(dāng)然也有不是完全正確的.如何進(jìn)行甄別與提取那些正確的表象才能在實踐中發(fā)揮空間思維能力.亦可將此時的空間思維能力稱之為批判的空間思維能力.

在實踐中，若要運(yùn)用空間思維能力，首先要了解的是世界的運(yùn)行方式，然后從不同的方面、不同的角度探索問題的多種答案，最后運(yùn)用分析、比較、推理、判斷、檢驗、修正等方法得出最優(yōu)的方案.在教學(xué)過程中可以設(shè)計一些一題多解的題目訓(xùn)練與培養(yǎng)學(xué)生的批判的空間思維能力.例如：若想做出一頓豐盛的晚餐，應(yīng)該了解做每道菜及煮飯所需的時間，然后統(tǒng)籌它們在時間與順序上的安排；在不堵著熱風(fēng)孔、電源及電話插座、窗戶、衣柜和門的通道的情況下如何很好地將組合床鋪、書桌、書架擺進(jìn)房間，這需要房間的長、寬、高以及平面圖等數(shù)據(jù)，找出多種組合方案，比較得出最優(yōu)的方案.

以我個人的教學(xué)經(jīng)驗可知：空間思維能力與《空間解析幾何》的成績之間是相互影響、相互促進(jìn)的，要提高學(xué)生的幾何成績就要發(fā)展學(xué)生的空間思維能力；而空間思維能力的發(fā)展就會反過來促進(jìn)學(xué)生的幾何成績.

最后，筆者認(rèn)為空間思維并不是一門獨立學(xué)科，它是一種滲透于大多數(shù)學(xué)科的思維方式.為培養(yǎng)學(xué)生的空間思維能力，建議學(xué)校采取類似于在各門學(xué)科中加強(qiáng)寫作教育的做法，即將空間思維的培養(yǎng)整合到各學(xué)科相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)中.

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