壓電換能器鎖相環(huán)頻率跟蹤的失效分析與解決

武劍 董惠娟 張廣玉

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,黑龍江哈爾濱 150001)

碳纖維復(fù)合材料的比強(qiáng)度高、比模量大,在航空宇航制造工程領(lǐng)域獲得了廣泛應(yīng)用.但該種材料的硬度高(HRC60左右)而層間剪切強(qiáng)度較低(＜100 MPa),傳統(tǒng)鉆孔加工時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)出入口劈裂、中間分層掉渣和刀具磨損等不良現(xiàn)象.有關(guān)研究表明,以功率超聲為基礎(chǔ)的超聲振動(dòng)鉆孔技術(shù)可有效解決這一問題,加工質(zhì)量可提高且縮短加工周期[1].換能器作為功率超聲技術(shù)的核心部件,在加工過程中應(yīng)處于機(jī)械諧振狀態(tài),因此可靠的頻率跟蹤技術(shù)就成了保證碳纖維復(fù)合材料振動(dòng)鉆孔質(zhì)量的關(guān)鍵因素.

目前采用的頻率跟蹤方式主要有最大電流搜索式[2]、最大功率搜索式[3]、最大導(dǎo)納跟蹤式和鎖相環(huán)(PLL)式等[4-5].其中前三者的共同缺點(diǎn)是需要超聲電源具有主動(dòng)掃頻功能,在換能器機(jī)械諧振頻率變化劇烈的場合,頻繁的掃頻將使換能器工作于諧振頻率的時(shí)間比例減小,效率降低.而PLL頻率跟蹤技術(shù)電路結(jié)構(gòu)簡單,無需主動(dòng)掃頻,可使超聲電源振蕩頻率自動(dòng)動(dòng)態(tài)保持在換能器機(jī)械諧振頻率處,故獲得了廣泛應(yīng)用[6].其原理是當(dāng)超聲電源振蕩頻率高于換能器機(jī)械諧振頻率 ωs時(shí),換能器兩端電壓與通過其電流的相差為正,反之為負(fù),據(jù)此不斷調(diào)節(jié)超聲電源頻率使相差保持為零而實(shí)現(xiàn)跟蹤[7].

換能器在其理想跟蹤點(diǎn)ωs附近存在兩個(gè)距離較近的相位零點(diǎn) ω1和 ω2,其中 ω1較低且接近于ωs,故為PLL的目標(biāo)跟蹤點(diǎn).PLL依賴于相位零點(diǎn)但無法區(qū)分 ω1和 ω2,故可能發(fā)生誤跟蹤,須將跟蹤范圍設(shè)定在 ω1附近以避免之.但當(dāng) ωs的變化超出此范圍時(shí),會(huì)導(dǎo)致 PLL死鎖于設(shè)定頻段的頂端[6].文中分析指出:當(dāng)換能器重載(動(dòng)態(tài)電阻變大)或其靜態(tài)電容較大時(shí),不但 ω1與ω2間距減小,更易發(fā)生誤跟蹤和死鎖,而且 ωs與 ω1間距增大,換能器相位曲線趨于平緩,直至相位零點(diǎn)消失,使PLL跟蹤誤差增大甚至失鎖.故較大的動(dòng)態(tài)電阻和靜態(tài)電容是導(dǎo)致PLL跟蹤失效的重要原因,制約了PLL跟蹤技術(shù)的進(jìn)一步應(yīng)用.在研究動(dòng)態(tài)電阻和靜態(tài)電容導(dǎo)致跟蹤失效作用規(guī)律的基礎(chǔ)上,文中指出抵消靜態(tài)電容的影響是解決該問題的必由之路,并提出一種靜態(tài)電容補(bǔ)償法,可使換能器相位零點(diǎn)的數(shù)量由兩個(gè)變?yōu)橐粋€(gè)(且必有一個(gè)),該點(diǎn)對(duì)應(yīng)于ωs,有效解決了跟蹤失效問題.

1 PLL頻率跟蹤4種失效形式的分析

圖1所示為壓電換能器在其機(jī)械諧振頻率附近的等效電路[8].

圖1 壓電換能器等效電路Fig.1 Equivalent circuitof a piezoelectric transducer

圖1中,L1為動(dòng)態(tài)電感,C1為動(dòng)態(tài)電容,R1為動(dòng)態(tài)電阻(分別表征換能器的質(zhì)量、機(jī)械順和機(jī)械內(nèi)阻),三者構(gòu)成等效電路的機(jī)械臂支路;C0為靜態(tài)電容,是電學(xué)臂支路.Yoko Mizutani等[9]給出了換能器阻抗Z、相位θ與角頻率ω的函數(shù)關(guān)系:

基于式(1)和(2),詳細(xì)分析目前PLL頻率跟蹤技術(shù)存在的主要問題.

1.1 失鎖

采用PLL方式對(duì)換能器進(jìn)行頻率跟蹤,必然要求換能器相位曲線(函數(shù)式(2))與橫軸有交點(diǎn),否則將導(dǎo)致跟蹤失效形式之一的失鎖.令θ(ω)=0,得到:

式(3)為關(guān)于ω2的一元二次方程,為使相位曲線與橫軸有交點(diǎn),須有判別式Δ≥0,即:

或者

實(shí)際中C0?C1,故式(6)下限為據(jù)此計(jì)算出的換能器機(jī)械質(zhì)因數(shù)Qm僅為

實(shí)際中Qm值為數(shù)百至數(shù)千,式(6)意味著換能器機(jī)械內(nèi)阻過高,故舍去.

換角度分析,式(4)也可化為關(guān)于C0的一元二次不等式,即:

解之得到:

若L1和C1不變,為確保方程(3)有解,R1和C0須滿足式(5)和(8)所構(gòu)成的約束范圍,否則將導(dǎo)致PLL失鎖.值得注意的是,通過使C0趨近于0,可使式(5)的上限趨于無窮大,則方程(3)一定有解,必然不會(huì)失鎖.

1.2 誤跟蹤與死鎖

以下討論在 Δ＞0的條件下進(jìn)行.考慮到 ω＞0,解方程(3),得到:

方程(3)有兩個(gè)根,本應(yīng)鎖定在ω1的PLL有可能錯(cuò)誤地鎖定到 ω2,從而導(dǎo)致第二種跟蹤失效,即誤跟蹤.

為避免誤跟蹤,須將PLL跟蹤頻率限定在以換能器空載時(shí) ω1為中心、寬度為 Δω=ω2-ω1的范圍內(nèi),使其不會(huì)跟蹤到 ω2.但若由于負(fù)載的劇烈變化而使 ωs超出此范圍的話,將造成第三種跟蹤失效——PLL死鎖于Δω的上限.

顯然當(dāng) ω1和 ω2距離較近時(shí)更容易發(fā)生誤跟蹤.為考查二者間距,做如下運(yùn)算:

式 (10)中,若L1和C1不變,C0和R1越大,ω1和ω2間距越小,PLL也就越容易發(fā)生誤跟蹤和死鎖;但如果 C0較小,則即使在 R1較大的情況下 ω1和 ω2仍然保持較大間距.值得注意的是,通過使 C0趨于 0,可使 ω1和 ω2的間距為無窮大,即消除了誤跟蹤的可能性,從而也就無需限定跟蹤范圍,避免了死鎖問題.

1.3 跟蹤誤差大

ω1為PLL跟蹤的目標(biāo)頻率,而換能器機(jī)械諧振頻率為

超聲電源的振蕩頻率應(yīng)為 ωs,以保持換能器的機(jī)械諧振狀態(tài).為考查PLL的跟蹤準(zhǔn)確度,即ω1與ωs的間距,做如下運(yùn)算:

某實(shí)際換能器L1=50.02mH,C1=279.1pF,對(duì)一系列C0,按式(5)計(jì)算R1的可取范圍,以式(12)考查兩者變化對(duì) ω1與 ωs間距的影響,結(jié)果如圖 2所示.

圖2 R1和C0對(duì)PLL跟蹤準(zhǔn)確度的影響Fig.2 Influences of R1 and C1 on PLL tracking accuracy

結(jié)果表明,在約束范圍內(nèi),R1和 C0越大,ω1與ωs間距越大,跟蹤精度也就越低;對(duì)于同樣的R1,C0越小跟蹤精度越高.特別地,可證:

即通過使C0趨于0,可使PLL跟蹤誤差消失.

綜上所述,較大的R1和C0將導(dǎo)致PLL失鎖、誤跟蹤、死鎖和跟蹤誤差大 4種跟蹤失效,但總可以通過使C0趨于0來解決.據(jù)式(8)、(10)和(12),雖然使 R1趨于 0也可避免失鎖和跟蹤誤差大的問題,并降低誤跟蹤和死鎖的可能性,但 R1由換能器的材料、裝配工藝和載荷決定,且在實(shí)際過程中不斷變化,難以使之為零,故設(shè)法抵消 C0就成了解決上述跟蹤失效問題的必由之路.在換能器回路上接入匹配電感是抵消C0的常用方法,但此法只能在某個(gè)頻點(diǎn)(一般設(shè)計(jì)為空載時(shí)的 ωs)起作用[10],適應(yīng)能力較差.

由此,若能在寬頻帶內(nèi)準(zhǔn)確抵消靜態(tài)電容 C0,達(dá)到使 PLL能準(zhǔn)確跟蹤 ωs變化之目的,將是十分必要且有意義的,此方法即“靜態(tài)電容補(bǔ)償法”.

2 靜態(tài)電容補(bǔ)償法

由式(11)知,ωs取決于機(jī)械臂支路,而與電學(xué)臂支路無關(guān).設(shè)換能器端電壓為u(t),機(jī)械臂支路電流為i1(t),電學(xué)臂支路電流為i0(t).若能測量u(t)和i1(t)的相差θ1(ω),根據(jù)LCR串聯(lián)諧振回路性質(zhì),θ1(ω)為正,則說明激勵(lì)頻率高于ωs,反之說明頻率偏低,通過調(diào)節(jié)超聲電源頻率使 θ1(ω)保持為0,則可實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確頻率跟蹤.u(t)可測,但機(jī)械臂支路和電學(xué)臂支路在物理上不可分,故i1(t)不可獨(dú)立測量,而只能測量換能器總電流i(t).根據(jù)等效電路可知,i(t)的表達(dá)式為

C0是真實(shí)電容,故i0(t)可根據(jù)下式計(jì)算:

由此可計(jì)算出i1(t):

式(15)說明,只要能實(shí)時(shí)測量超聲電源的角頻率ω,并事先準(zhǔn)確測量 C0,就可以按照式(15)從i(t)中除去i0(t),補(bǔ)償C0的分流作用,得到i1(t),繼而便能得到任意頻率下的θ1(ω),將其作為PLL跟蹤的依據(jù),即可實(shí)現(xiàn)在任意寬頻帶內(nèi) C0的補(bǔ)償,使換能器對(duì)PLL呈現(xiàn)出其機(jī)械臂支路(即LCR串聯(lián)諧振回路)特性,解決跟蹤失效問題.

式(15)存在復(fù)數(shù)運(yùn)算,當(dāng)激勵(lì)電壓為正弦時(shí)可進(jìn)一步簡化.設(shè):

式中:Umax為u(t)的峰值,φ為初相.

根據(jù)電容的伏安特性,可得到i0(t):

將式(17)帶入式(15),得到正弦激勵(lì)下i1(t)的表達(dá)式:

式(18)所描述的算法既可用模擬電路實(shí)現(xiàn),也可由以單片機(jī)或DSP為核心的數(shù)字系統(tǒng)實(shí)現(xiàn).前者實(shí)時(shí)性良好,但電路調(diào)整復(fù)雜并易受干擾,因此選用數(shù)字系統(tǒng)實(shí)現(xiàn),以下給出一個(gè)實(shí)用方案及其實(shí)驗(yàn)結(jié)果.

3 跟蹤系統(tǒng)數(shù)字化實(shí)現(xiàn)方案與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 系統(tǒng)構(gòu)成

文中設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)的數(shù)字化頻率跟蹤系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3所示.圖中,ADC為模數(shù)轉(zhuǎn)換器,DAC為數(shù)換轉(zhuǎn)換器.

圖3 基于靜態(tài)電容補(bǔ)償?shù)臄?shù)字化頻率跟蹤系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.3 Digital frequency tracking system's diagram based on static capacitance com pensation

系統(tǒng)首先通過頻率計(jì)測量當(dāng)前壓控振蕩器(VCO)振蕩頻率,經(jīng)過16分頻后得到換能器的激勵(lì)頻率ω;ADC1和ADC2分別采集換能器兩端電壓和通過電流(為避免引入額外相位差,由單片機(jī)控制兩者同時(shí)采樣,采樣周期為Tsample),獲得序列u(n)和i(n).

將式(18)離散化,得:

式中:n=0,1,2,….

式(19)用于計(jì)算i1(n).又因換能器機(jī)械臂支路僅由電感、電容和電阻元件構(gòu)成,故 i1(n)為與u(n)同頻率的正弦序列,設(shè)其表達(dá)式為

從而機(jī)械臂相位差θ1(ω)可表示為

式中:φ、φ1均可由線性擬合法測得[11].根據(jù) θ1(ω)控制DAC輸出電壓,調(diào)節(jié)VCO振蕩頻率,同時(shí)也就調(diào)節(jié)了換能器的激勵(lì)頻率,實(shí)現(xiàn)閉環(huán)控制.這里采用 16分頻器的目的是使系統(tǒng)可在較短時(shí)間內(nèi)(1/16s)得到當(dāng)前換能器激勵(lì)頻率的準(zhǔn)確值(精確至±1Hz),以提高跟蹤速度和計(jì)算精度;串行口用于和上位PC通信.

3.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

按第 2節(jié)所述原理和圖 3所示結(jié)構(gòu)研制的超聲電源樣機(jī)與其它實(shí)驗(yàn)設(shè)備的實(shí)物照片如圖 4(a)所示.為驗(yàn)證文中所述理論的正確性及跟蹤系統(tǒng)的性能,一并設(shè)計(jì)了如圖4(b)所示的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng),其中換能器與負(fù)載質(zhì)量塊之間的橡膠墊用于增強(qiáng)穩(wěn)定性.

實(shí)驗(yàn)換能器標(biāo)稱頻率為 20kHz,經(jīng)阻抗分析儀測量,其靜態(tài)電容為11.0488nF.

實(shí)驗(yàn)過程描述如下:設(shè)定阻抗分析儀的掃頻范圍為17～23kHz(通常超聲振動(dòng)加工時(shí)換能器的機(jī)械諧振頻率偏移不會(huì)超出±3 kHz),并在整個(gè)實(shí)驗(yàn)過程中保持不變;超聲電源工作電壓保持為80V,關(guān)閉其自動(dòng)跟蹤功能.①切換開關(guān),使換能器與阻抗分析儀相連接,并用適當(dāng)質(zhì)量的砝碼給換能器加載.②在設(shè)定的掃頻范圍內(nèi),用阻抗分析儀對(duì)加載的換能器進(jìn)行相位測量,得到換能器的整體相位曲線,而后用分析儀的導(dǎo)納圓功能測得當(dāng)前負(fù)載下的ωs.③保持換能器負(fù)載不變,切換開關(guān),使換能器與超聲電源相連,在上述掃頻范圍內(nèi),手動(dòng)調(diào)節(jié)電源振蕩頻率,并通過串行口向上位PC機(jī)發(fā)送該頻率下θ1(ω)的測量結(jié)果.④保存數(shù)據(jù),回到第①步,換用不同質(zhì)量的砝碼,重復(fù)實(shí)驗(yàn).

圖4 實(shí)物照片與實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)示意圖Fig.4 Picture and diagram of experiment system

實(shí)驗(yàn)完畢,將超聲電源測得的數(shù)據(jù)繪制成圖,觀察其是否與LCR串聯(lián)諧振回路特性相符:①相位曲線與橫軸必有交點(diǎn)(無失鎖可能);②在較寬頻帶內(nèi)只有一個(gè)交點(diǎn)(不會(huì)出現(xiàn)誤跟蹤及鎖死);③交點(diǎn)對(duì)應(yīng)頻率為ωs(跟蹤準(zhǔn)確).若此 3個(gè)條件均得到滿足,則驗(yàn)證了文中對(duì)PLL4種跟蹤失效分析的正確性,以及所提出的靜態(tài)電容補(bǔ)償法的可行性與實(shí)用性.作為對(duì)照,在圖中一并給出了阻抗分析儀測量到的換能器整體相位曲線和換能器加載時(shí)的機(jī)械諧振頻率.

測量結(jié)果如圖5(a)～(d)所示.圖中,fs為阻抗分析儀所測的換能器帶載機(jī)械諧振頻率;fz為超聲電源所測的機(jī)械臂相位特性曲線θ1(ω)過零點(diǎn)的對(duì)應(yīng)頻率;f1和 f2為阻抗分析儀所測的換能器整體相位曲線的低相位零點(diǎn)頻率和高相位零點(diǎn)頻率.

圖5(a)為換能器空載時(shí)的測量結(jié)果.阻抗分析儀顯示換能器整體相位曲線存在兩個(gè)相位零點(diǎn)頻率f1和f2,二者間距 502Hz,可能發(fā)生誤跟蹤.而超聲電源所測曲線只有一個(gè)零點(diǎn) fz,不存在誤跟蹤的可能.fz與f1非常接近(可視為同一點(diǎn)),二者誤差均為-5Hz,故當(dāng)換能器空載時(shí),用傳統(tǒng)PLL和文中所提出的基于靜態(tài)電容補(bǔ)償法的 PLL都能實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確跟蹤,而后者不會(huì)發(fā)生誤跟蹤.

圖5 基于文中理論和傳統(tǒng)PLL的換能器相位特性對(duì)比實(shí)驗(yàn)Fig.5 Comparing experiments for transducer'phase character based on theory presented and traditional PLL

圖5(b)為換能器輕載時(shí)(荷載力為0.98N)的測量結(jié)果.由于帶有負(fù)載,換能器機(jī)械品質(zhì)因數(shù)降低,整體相位曲線趨于平滑,f1和f2間距減至 300Hz,發(fā)生誤跟蹤的可能性加大.f1與fs相差106Hz,即此時(shí)傳統(tǒng)PLL跟蹤誤差為106Hz.而超聲電源測得的曲線依然只有一個(gè)零點(diǎn),不存在誤跟蹤,并且跟蹤誤差為-6Hz.

圖5(c)為施加4.9N荷載力的情況.換能器整體相位曲線與橫軸相切,f1與 f2重合,即將發(fā)生失鎖,故稱臨界載,此時(shí)傳統(tǒng) PLL的跟蹤誤差可達(dá)270Hz.而超聲電源測量的結(jié)果依然穩(wěn)定,跟蹤誤差為10Hz.

圖5(d)為換能器重載(荷載力為19.6N)情況.換能器整體相位曲線與橫軸失去交點(diǎn),f1和 f2消失,傳統(tǒng)PLL處于失鎖狀態(tài),跟蹤功能失效.而超聲電源所測得的換能器機(jī)械臂相位曲線仍然較為理想,跟蹤誤差為-20Hz.

換能器帶載時(shí),采用文中理論得到的機(jī)械臂相位曲線在設(shè)定頻率范圍的低端和高端并不十分理想,這在一定程度上限制了文中所提出跟蹤技術(shù)可能達(dá)到的最大跟蹤帶寬,但對(duì)跟蹤精度影響較小.

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,文中所論及的壓電換能器鎖相環(huán)頻率跟蹤失效理論與事實(shí)相符,基于靜態(tài)電容補(bǔ)償法所研制的超聲電源測得的換能器機(jī)械臂支路相位特性與理論預(yù)期吻合較好.

4 結(jié)論

針對(duì)傳統(tǒng)換能器鎖相環(huán)頻率跟蹤技術(shù)中存在的跟蹤失效現(xiàn)象,提出一種寬帶下的靜態(tài)電容補(bǔ)償法,通過補(bǔ)償換能器靜態(tài)電容的分流作用,使換能器對(duì)鎖相環(huán)呈現(xiàn)出理想的LCR串聯(lián)諧振回路特性.基于該技術(shù)研制了數(shù)字化跟蹤超聲電源,對(duì)某換能器進(jìn)行了不同負(fù)載下的跟蹤精度測試.結(jié)果顯示:不論在換能器空載、輕載、臨界載還是重載時(shí),都能保持所測曲線有且必有一個(gè)相位零點(diǎn),并可較為準(zhǔn)確地跟蹤機(jī)械諧振頻率,大大緩解跟蹤失效問題.該技術(shù)為碳纖維復(fù)合材料超聲振動(dòng)加工領(lǐng)域提供了新的換能器頻率跟蹤控制方法.

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