自混合干涉信號的可變步長LMS濾波處理

王德鋒，葉會英

（鄭州大學(xué) 信 息工程學(xué)院， 河南 鄭 州 4 50052）

由于激光干涉信號的結(jié)構(gòu)簡單、易準直等特點，使得光干涉廣泛應(yīng)用于激光器自身參數(shù)和各種高精度的測量。在干涉系統(tǒng)中，外部環(huán)境的干擾會影響信號，從而導(dǎo)致采集到的實驗數(shù)據(jù)伴隨著大量的干擾和噪聲。為提高測量的精度，需對原始數(shù)據(jù)進行有效的處理，減少各種噪聲，提取出有用的干涉信號。結(jié)合光反饋信號的特點，在最小均方誤差（LMS）算法[1]的基礎(chǔ)上，本文提出一種可變步長的LMS算法，該算法實際是在收斂的過程中動態(tài)地改變步長。

1 自混合干涉系統(tǒng)的構(gòu)成及理論模型

光反饋自混合干涉（OFSMI）系統(tǒng)由半導(dǎo)體激光器、透鏡和外部反射物體3部分組成，理論模型采用如圖1所示的三鏡腔F-P等效模型。

圖1 OFSMI系統(tǒng)的三鏡腔F-P等效模型

圖1中，LD為半導(dǎo)體激光器；L1和L2分別是激光管內(nèi)腔和外腔長度；P1為激光器前端面；P2為激光器后端面；P3為外部運動物體；PD為封裝在激光器內(nèi)部的光探測器。LD前表面P1輻射光經(jīng)自聚焦透鏡P2照射在被測物體P3上，被散射（或反射）后，一部分光又經(jīng)原路返回激光器諧振腔，同諧振腔內(nèi)的原始光相干涉形成新的激光振蕩，新的激光波長及功率依賴于反饋光的相位及強度。當(dāng)被測物體P3沿光軸震動時，輸出光功率也隨著震動發(fā)生變化，由PD監(jiān)測激光器輸出光功率。檢測到的自混合干涉信號不僅攜載外部物體特性與運動規(guī)律等信息，而且攜載激光器自身參數(shù)的信息。

光反饋自混合干涉系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型[2-3]表述為：

式（1）為激光自混合干涉系統(tǒng)的相位方程。式中，φF（τ）為光反饋存在時外腔的光相位且φF（τ）=ωFτ，φ0（τ）為無光反饋時外腔的光相位且φ0（τ）=ω0τ，其中，ω0和ωF分別為半導(dǎo)體激光器無和有反饋時的角頻率[4]；τ=2L/c，其中，L為外腔的長度，c表示真空中的光速；α為線寬展寬因數(shù)；C為反饋水平因子。式（2）表述干涉函數(shù)G（φF（τ））和含光反饋時外腔相位φF（τ）之間的關(guān)系。式（3）是激光自混合干涉系統(tǒng)的功率方程，P（φF（τ））和P0為有外腔和無外腔激光的輻射功率，可看到有外腔激光的輻射能偏離P0為mG（φF（τ）），其中，m為調(diào)制系數(shù)（典型值為10-3），干涉函數(shù)G（φF（τ））表示外腔光相位對輻射功率的影響程度。

2 可變步長的LMS算法原理

自適應(yīng)濾波因其具有很強的自學(xué)習(xí)、跟蹤能力和算法的簡單易實現(xiàn)性，廣泛應(yīng)用于信號去噪領(lǐng)域。當(dāng)輸入過程的統(tǒng)計特性未知時，或輸入過程的統(tǒng)計特性變化時，只適應(yīng)濾波器能夠調(diào)整自己的參數(shù)，以滿足某種最佳準則的要求，根據(jù)不同的準則，產(chǎn)生許多自適應(yīng)算法。目前廣泛使用的最小均方（Least Mean Square，LMS）算法，是一種用瞬時值估計梯度矢量的方法，該算法的主要特征是低計算量、在平穩(wěn)環(huán)境的收斂性、均值無偏收斂到維納解等。其原理圖[5]如圖2所示。

圖2 可變步長LMS濾波的原理圖

圖2中，u（n）是n時刻輸入信號，d（n）是期望信號，e（n）是誤差，y（n）是濾波器的輸出。當(dāng)u（n）發(fā)生變化時，濾波器能夠利用變化的誤差信號e（n）來調(diào)節(jié)濾波器自身的參數(shù)，從而調(diào)節(jié)輸出。可變步長的LMS迭代公式為：

μ（n）[6]是LMS的可變步長，它和誤差函數(shù)建立起一種非線性的關(guān)系，使得步長只與輸入的有用目標信號相關(guān)，與噪聲信號無關(guān)，從而降低了算法對噪聲的敏感性，并且提高了收斂速度。其中α是控制函數(shù)形狀的常數(shù)；β是控制函數(shù)取值范圍的常數(shù)。

3 可變步長LMS算法的計算機仿真分析

由式（1）～式（3）和式（8）可得到仿真信號。令A(yù)=4×105，A0=50，f=195，fs=200 MHz（采樣頻率），SNR=19 dB（信號與噪聲的比）。參數(shù)取值為α=2，C=3得到在適度光反饋機制下經(jīng)LMS濾波后的的干涉信號波形。該算法的流程如圖3所示。

由干涉信號式（1）～式（3）的模型可知，通過改變外腔長度L，得到強度函數(shù)P隨時間變化的信號P（t），這里采用在外腔加正弦波動信號，獲得相應(yīng)的光反饋自混合干涉信號。假定外部物體做簡諧運動，其運動規(guī)律為：

式中，L0為激光輻射面和外反射體間的初始距離，f為振動頻率，t為時間變量，λ0為無光反饋時激光的中心波長。

則不帶光反饋時外部光相位為：

圖3 自混合干涉信號可變步長的LMS濾波流程

圖4為上述方法經(jīng)計算機仿真后的歸一化效果圖。圖4中，n為采樣點數(shù)；G（n）為仿真的干涉信號；GG（n）為加噪聲后的干涉信號；out（n）為濾波后的輸出信號；e（n）為誤差；恢復(fù)后信號的均方誤差δ=0.004 5，該方法算法簡單、運算速度快、有效地濾除信號中的噪聲，更適合于在實際測量中應(yīng)用。

圖4適度光反饋（α=2，C=3）

4 結(jié)束語

在分析針對自混合干涉信號中噪聲和干擾特點的基礎(chǔ)上，提出了一種可變步長的LMS自適應(yīng)算法。將可變步長的LMS算法應(yīng)用到光干涉的測量之中，從理論上對其分析，并且進行大量計算機仿真，結(jié)果表明這種可變步長的算法能夠較好地消除干涉信號中的噪聲干擾。

[1]張賢達.現(xiàn)代信號處理[M]．2版．北京：清華大學(xué)出版社，2002．

[2]Giuliani G，Norgia M，Donati S，et al.Laser diode self-mixing technique for sensing application[J].Journal of Optics，2002，4（6）：283-294．

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[6]張園，王輝.一種改進的變步長LMS自適應(yīng)濾波算法[J].現(xiàn)代雷達，2008（7）：60-63．