鄰近爆破對(duì)矩形巖柱穩(wěn)定性影響的突變理論分析＊

閆長(zhǎng)斌，王泉偉，李國(guó)權(quán)，符新閣，左宇軍

（1.黃河勘測(cè)規(guī)劃設(shè)計(jì)有限公司，河南 鄭州450003；2.大連大學(xué)材料破壞力學(xué)數(shù)值實(shí)驗(yàn)中心，遼寧 大連430071）

1 引 言

矩形巖柱是地下開(kāi)采方式中常用的巖柱布置型式之一。巖柱可以有效地維持采場(chǎng)和采空區(qū)頂板及圍巖的穩(wěn)定性。實(shí)踐表明，巖柱失穩(wěn)往往會(huì)導(dǎo)致地下采場(chǎng)或采空區(qū)的整體破壞，甚至造成更嚴(yán)重的關(guān)聯(lián)失穩(wěn)［1］。巖柱的完好程度是判斷地下采場(chǎng)和采空區(qū)穩(wěn)定性的重要標(biāo)志［2－3］。地下采場(chǎng)或采空區(qū)穩(wěn)定性取決于頂板與巖柱，對(duì)巖柱穩(wěn)定性進(jìn)行的研究分別從現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試［2］、數(shù)值計(jì)算［4－5］和可靠性［6］等方面入手，已取得豐碩的研究成果，但往往只考慮靜荷載的作用和影響。事實(shí)上，由于爆破藥量較大，井下生產(chǎn)爆破對(duì)鄰近巖柱穩(wěn)定性的影響不可忽視。在巖柱優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，考慮爆破動(dòng)載的影響，更符合生產(chǎn)實(shí)際、更安全可靠［7］。

巖柱失穩(wěn)是一個(gè)非連續(xù)、非線性現(xiàn)象，應(yīng)用突變理論方法分析是可行的。李江騰等［8］、潘岳等［9］運(yùn)用尖點(diǎn)突變?cè)?，基于?shì)能原理，分析了巖柱失穩(wěn)機(jī)理，但沒(méi)有涉及爆破動(dòng)載對(duì)巖柱穩(wěn)定性的影響。由于爆破損傷作用的復(fù)雜性，爆破動(dòng)載對(duì)巖柱穩(wěn)定性的影響，既與爆破規(guī)模、爆破方法等因素有關(guān)，又與巖柱的物理力學(xué)性質(zhì)有關(guān)［10－11］。爆破動(dòng)載對(duì)巖柱穩(wěn)定性影響的研究方法以實(shí)測(cè)或模型實(shí)驗(yàn)等手段為主［12］。應(yīng)用突變理論方法分析爆破動(dòng)載作用誘發(fā)巖柱失穩(wěn)機(jī)理的研究成果報(bào)道較少。

2 非線性動(dòng)力學(xué)模型

假定矩形巖柱的長(zhǎng)度為a，厚度為h，高度為l，如圖1（b）所示。由于巖柱的長(zhǎng)度a 遠(yuǎn)大于厚度h，為了方便分析，忽略矩形巖柱在z方向上的變形，假定矩形巖柱的撓度發(fā)生在y 方向，且僅是x 和時(shí)間t的函數(shù)。取z方向上的單位長(zhǎng)度進(jìn)行矩形巖柱穩(wěn)定性分析，即令a＝1。此時(shí)，矩形巖柱的邊界條件為：在x＝0，l邊為可移簡(jiǎn)支且作用有豎向壓力P（0≤P≤Pcr），在z＝0，a邊為不可移簡(jiǎn)支。

圖1 矩形巖柱的力學(xué)模型Fig.1 Mechanical models for a rectangular rock pillar

考慮巖柱失穩(wěn)破壞時(shí)間效應(yīng)時(shí)，借鑒粘彈性矩形板的非線性振動(dòng)理論研究巖柱在爆破應(yīng)力波擾動(dòng)作用下的失穩(wěn)問(wèn)題。根據(jù)彈性動(dòng)力學(xué)理論，各向同性Voigt粘彈性矩形板的非線性動(dòng)力方程為［13－14］

根據(jù)上述邊界條件可知，矩形巖柱在z方向單位伸長(zhǎng)為0。

假設(shè)式（1）的解及爆破擾動(dòng)力為［13－14］

利用Galerkin原理，且量綱一化后，可得到

“已經(jīng)摔死了十七個(gè)匠人了，”帶領(lǐng)他們?cè)谥壑幸鞯膭δ瞎?jié)度使說(shuō)，“真正鑿到佛足，可能還需要一個(gè)甲子的工夫。”

根據(jù)上述各關(guān)系式，可將方程（5）的解設(shè)為以下形式

式中：H1是矩形巖柱的振幅，φ1是由于阻尼引起的響應(yīng)滯后。

將H 視為時(shí)間不變量，再將式（6）代入式（5）中，略去諧波的高次項(xiàng)，并令sinΩτ 和cosΩτ 項(xiàng)前的系數(shù)在等式兩邊分別相等，可得

由式（7）～（8）可得

對(duì)上式作微分同胚變換［15－16］，消去式（9）中關(guān)于H2的2次項(xiàng)得到

式（10）即為標(biāo)準(zhǔn)的尖點(diǎn)突變的平衡曲面方程。由于狀態(tài)變量x 本身由2個(gè)變量組成，實(shí)際上式（10）也是雙尖點(diǎn)突變模型。由突變理論［15－16］可知，爆破擾動(dòng)作用下矩形巖柱失穩(wěn)的必要條件為

爆破擾動(dòng)作用下矩形巖柱失穩(wěn)的充分條件為

將式（12）代入式（14）后可得

3 突變理論分析

根據(jù)式（11）～（15）及以上分析結(jié)果，難以直接看出各種爆破參量變化對(duì)矩形巖柱失穩(wěn)機(jī)理的影響。下面分析豎向壓力P、爆破擾動(dòng)強(qiáng)度q0以及爆破擾動(dòng)頻率ω0對(duì)矩形巖柱失穩(wěn)機(jī)理的影響。

3.1 爆破擾動(dòng)強(qiáng)度對(duì)矩形巖柱穩(wěn)定性的影響

矩形巖柱的有關(guān)參數(shù)分別為：a＝1 m，l＝10 m，h＝1 m，m＝n＝1，μ＝0.4 m，ρ＝2t／m3，E0＝6GPa，η＝90 MPa·s，ε＝0.015s，ω0＝85rad／s，ε0＝0.015，P＝6，12 MN。由式（13）～（14）可知，u 和4u3＋27v2可以反映巖柱的穩(wěn)定程度。將以上參數(shù)代入，可得4u3＋27v2隨爆破擾動(dòng)強(qiáng)度q0的變化規(guī)律，如圖2所示。由圖2不難看出，隨著爆破擾動(dòng)強(qiáng)度的不斷增大，4u3＋27v2呈現(xiàn)降低趨勢(shì)；當(dāng)P＝12MN時(shí)，若爆破擾動(dòng)強(qiáng)度q0增至33.5MN，則4u3＋27v2等于0，此時(shí)滿足巖柱失穩(wěn)條件。另外，豎向壓力P 越大，4u3＋27v2越接近0，即滿足巖柱失穩(wěn)條件對(duì)應(yīng)的爆破擾動(dòng)強(qiáng)度q0越小。豎向壓力P 越大，鄰近爆破擾動(dòng)作用下，矩形巖柱越容易發(fā)生失穩(wěn)破壞。

3.2 爆破擾動(dòng)頻率對(duì)矩形巖柱穩(wěn)定性的影響

矩形巖柱的有關(guān)參數(shù)分別為：a＝1 m，l＝10 m，h＝1 m，m＝n＝1，μ＝0.4 m，ρ＝2t／m3，E0＝6GPa，η＝90 MPa·s，ε＝0.015s，q0＝35 MN，ε0＝0.015，P＝6 MN。將以上參數(shù)代入，可得u 和4u3＋27v2隨爆破擾動(dòng)頻率ω0的變化規(guī)律，如圖3所示。由上述分析可知，要使矩形巖柱發(fā)生動(dòng)力擾動(dòng)失穩(wěn)破壞，必須滿足必要條件式（13）。由圖3（a）中可見(jiàn)，爆破擾動(dòng)頻率必須滿足一定的范圍，在某一區(qū)間ω01≤ω0≤ω02，u大于0，爆破擾動(dòng)作用下矩形巖柱不會(huì)發(fā)生失穩(wěn)破壞。由圖3（b）中可見(jiàn)，在豎向壓力P作用下，爆破擾動(dòng)頻率必須大于某ω03時(shí)，才能滿足式（14），即巖柱失穩(wěn)。根據(jù)上述分析可知，若增大豎向壓力P，爆破擾動(dòng)作用下矩形巖柱發(fā)生失穩(wěn)的可能性增大，而此時(shí)能夠滿足條件式（14）的爆破擾動(dòng)頻率ω03必然減小。

圖2 4u3＋27v2 隨爆破擾動(dòng)強(qiáng)度的變化Fig.2 Variation of 4u3＋27v2 with blasting strength

圖3 u和4u3＋27v2 隨爆破擾動(dòng)頻率的變化Fig.3 Variation of uand 4u3＋27v2 with blasting frequency

4 結(jié) 論

運(yùn)用突變理論研究了爆破震動(dòng)對(duì)矩形巖柱穩(wěn)定性的影響，得到了以下主要結(jié)論。

（1）在一定的爆破擾動(dòng)強(qiáng)度和頻率范圍內(nèi)，巖柱的動(dòng)力響應(yīng)可越過(guò)臨界平衡位置，使得結(jié)構(gòu)發(fā)生振幅（位移）突跳。鄰近爆破擾動(dòng)誘發(fā)矩形巖柱失穩(wěn)破壞是一個(gè)不可逆的過(guò)程。巖柱對(duì)爆破震動(dòng)荷載的動(dòng)力響應(yīng)具有滯后特性，即爆破動(dòng)荷載頻率變化路徑對(duì)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性有重要的影響。

（2）在考慮自重荷載的情況下，爆破震動(dòng)是否會(huì)誘發(fā)矩形巖柱產(chǎn)生失穩(wěn)不僅取決于爆破震動(dòng)強(qiáng)度和頻率，還與爆破擾動(dòng)次數(shù)、結(jié)構(gòu)自重荷載、上覆巖層荷載、采動(dòng)應(yīng)力、水平地應(yīng)力、巖體物理力學(xué)性質(zhì)以及結(jié)構(gòu)的其他內(nèi)部屬性有關(guān)。

（3）隨爆破擾動(dòng)強(qiáng)度q0的增大，參數(shù)4u3＋27v2呈現(xiàn)降低趨勢(shì)，4u3＋27v2越小，越容易滿足失穩(wěn)條件，巖柱越容易發(fā)生失穩(wěn)破壞。

（4）豎向壓力P 越大，滿足巖柱失穩(wěn)條件所對(duì)應(yīng)的爆破擾動(dòng)強(qiáng)度q0越小，矩形巖柱越容易發(fā)生失穩(wěn)破壞。

（5）巖柱發(fā)生動(dòng)力失穩(wěn)破壞，爆破擾動(dòng)頻率必須滿足一定條件。

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