與二次曲面相關(guān)軌跡問(wèn)題的研究

趙秀元

(榆林學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系， 陜西 榆林 719000)

文獻(xiàn)[1]對(duì)有關(guān)圓及橢圓的軌跡問(wèn)題作了探討，文獻(xiàn)[2]對(duì)有關(guān)橢球面的軌跡問(wèn)題作了探討, 文獻(xiàn)[3]對(duì)雙曲面的軌跡的問(wèn)題進(jìn)行了研究,文獻(xiàn)[4]對(duì)有心二次曲面的軌跡問(wèn)題進(jìn)行了研究,在此基礎(chǔ)上,筆者用類似的方法對(duì)有關(guān)一般二次曲面軌跡問(wèn)題進(jìn)行了研究,得出了幾個(gè)結(jié)論,并給出了求滿足題設(shè)條件的無(wú)心二次曲面軌跡方程的方法，此結(jié)論豐富了空間解析幾何的內(nèi)容.

定理1:設(shè)點(diǎn)M(x,y,z)在三維空間內(nèi)異于原點(diǎn)的任一定點(diǎn)M0(x0,y0,z0)與二次曲面∑:

a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2a14x+2a24y+2a34z+a44=0

又因?yàn)辄c(diǎn)M′是有心二次曲面上任一點(diǎn),于是

即∑′:

推論1：設(shè)三維空間內(nèi)異于原點(diǎn)的任一定點(diǎn)M0(x0,y0,z0)與二次曲面∑:

a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2a14x+2a24y+2a34z+a44=0

上任一點(diǎn)M′(x′,y′,z′)的連線段之中點(diǎn)為M(x,y,z),則點(diǎn)M的軌跡為二次曲面∑′:

定理2：已知二次曲面的方程為∑:

證明：由于點(diǎn)M′與M″都是二次曲面∑上的點(diǎn),于是有

a11x′2+a22y′2+a33z′2+2a12x′y′+2a13x′z′+2a23y′z′+2a14x′+2a24y′+2a34z′+a44=0,a11x″2+a22y″2+a33z″2+2a12x″y″+2a13x″z″+2a23y″z″+2a14x″+2a24y″+2a34z″+a44=0

兩式相減,得

a11(x′-x″)(x′+x″)+a22(y′-y″)(y′+y″)+a33(z′-z″)(z′+z″)+2a12(x′y′-x″y″)+2a13(x′z′-x″z″)+2a23(y′z′-y″z″)+2a14(x′-x″)+2a24(y′-y″)+2a34(z′-z″)=0

因?yàn)?/p>

(x′+y′)2-(x″+y″)2=x′2+y′2-x″2-y″2+2x′y′-2x″y″

(x′+y′-x″-y″)(x′+y′+x″+y″)=x′2+y′2-x″2-y″2+2(x′y′-x″y″)

所以

同理可得

于是有

a11(x′-x″)(x′+x″)+a22(y′-y″)(y′+y″)+a33(z′-z″)(z′+z″)+a12[(x′-x″+y′-y″)(x′+x″+y′+y″)-(x′-x″)(x′+x″)-(y′-y″)(y′+y″)]+a13[(x′-x″+z′-z″)(x′+x″+z′+z″)-(x′-x″)(x′+x″)-(z′-z″)(z′+z″)]+a23[(y′-y″+z′-z″)(y′+y″+z′+z″)-(y′-y″)(y′+y″)-(z′-z″)(z′+z″)]+2a14(x′-x″)+2a24(y′-y″)+2a34(z′-z″)=0

又由于點(diǎn)N是線段M′M″的中點(diǎn),則有

所以有

2a11(x-x0)x1+2a22(y-y0)y1+2a33(z-z0)z1+a12[(x-x0+y-y0)(2x1+2y1)-2(x-x0)x1-2(y-y0)y1]+a13[x-x0+z-z0)(2x1+2z1)-2(x-x0)x1-2(z-z0)z1]+a23[(y-y0+z-z0)(2y1+2z1)-2(y-y0)y1-2(z-z0)z1]+2a14(x-x0)+2a24(y-y0)+2a34(z-z0)=0

即

a11(x-x0)x1+a22(y-y0)y1+a33(z-z0)z1+a12[(x-x0)y1+(y-y0)x1]+a13[(x-x0)z1+(z-z0)x1]+a23[(y-y0)z1+(z-z0)y1]+a14(x-x0)+a24(y-y0)+a34(z-z0)=0

x1=(1-μ)x0+μx, y1=(1-μ)y0+μy, z1=(1-μ)z0+μz

故有a11(x-x0)[(1-μ)x0+μx]+a22(y-y0)[(1-μ)y0+μy]+a33(z-z0)[(1-μ)z0+uμ]+a12{(x-x0)[(1-μ)y0+μy]+(y-y0)[(1-μ)x0+μx]}+a13{(x-x0)[(1-μ)z0+μz]+(z-z0)[(1-μ)x0+μx]}+a23{(y-y0)[(1-μ)z0+μz]+(z-z0)[(1-μ)y0+μy]}+a14(x-x0)+a24(y-y0)+a34(z-z0)=0

化簡(jiǎn)整理，得∑′:

推論2 已知二次曲面的方程為∑:

a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2a14x+2a24y+2a34z+a44=0

點(diǎn)M0(x0,y0,z0)為空間內(nèi)任一定點(diǎn), 過(guò)點(diǎn)M0任作一直線L與一般二次曲面∑相交于點(diǎn)M′(x′,y′,z′)、M″(x″,y″,z″)兩點(diǎn), 則線段M′M″的中點(diǎn)M(x,y,z的軌跡為二次曲面∑′:

參考文獻(xiàn)

[1] 王躍輝. 解析幾何的變式與解題后的反思[J].數(shù)學(xué)教學(xué),2006,(12):34-36.

[2] 馮愛(ài)萍.有關(guān)橢球面的軌跡問(wèn)題的研究[J]. 榆林學(xué)院學(xué)報(bào)，2007,(4)：38-39.

[3] 馮愛(ài)萍.有關(guān)雙曲面的軌跡的問(wèn)題研究[J].科學(xué)技與工程，2009,(11):208-209.

[4] 馮愛(ài)萍.有心二次曲面的的軌跡問(wèn)題的研究[J].江西科學(xué),2009,(2):186-187.