基于最優(yōu)閾值法的曲軸缺齒位置判定研究

劉興華，王裕鵬，劉福水，梁海強(qiáng)

(北京理工大學(xué)發(fā)動(dòng)機(jī)實(shí)驗(yàn)室，北京100081)

0 引言

能夠準(zhǔn)確而快速地計(jì)算發(fā)動(dòng)機(jī)的上止點(diǎn)位置和轉(zhuǎn)速是發(fā)動(dòng)機(jī)實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定運(yùn)行的前提條件。電控發(fā)動(dòng)機(jī)是通過在曲軸上加裝正時(shí)齒盤的方式來(lái)計(jì)算曲軸位置，不同的發(fā)動(dòng)機(jī)有著不同的正時(shí)齒輪，它是通過總齒數(shù)和缺齒數(shù)來(lái)命名，例如，60-2(均布60 齒去掉2 齒)、36-2 等正時(shí)齒輪方案。雖然不同類型的正時(shí)齒輪具有不同的總齒數(shù)、缺齒數(shù)，但是它們卻實(shí)現(xiàn)著相同的功能［1］。通過從正時(shí)齒盤上兩個(gè)齒信號(hào)之間的時(shí)間差可以算出當(dāng)前轉(zhuǎn)速，從缺齒位置開始對(duì)信號(hào)計(jì)數(shù)可得當(dāng)前曲軸位置。因此準(zhǔn)確判定缺齒位置對(duì)電控系統(tǒng)乃至整個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)的穩(wěn)定運(yùn)行有著十分重要的意義。

文獻(xiàn)［2 -3］中分析了噪聲對(duì)瞬態(tài)曲軸轉(zhuǎn)速信號(hào)的影響，討論了曲軸轉(zhuǎn)速信號(hào)消噪方法，通過采用插值、雙傳感器方法準(zhǔn)確地定位了發(fā)動(dòng)機(jī)活塞的運(yùn)行位置，有效地消除噪聲對(duì)轉(zhuǎn)速信號(hào)的影響。文獻(xiàn)［4］中研究了識(shí)別曲軸缺齒位置的方法，文中原理上探討了判斷當(dāng)前齒為缺齒或正常齒的方法，但沒有考慮不同閾值的選取對(duì)缺齒位置準(zhǔn)確判定帶來(lái)的影響。文獻(xiàn)［1］中介紹了常見的正時(shí)齒盤形式，建立了適用于任意凸輪軸和曲軸正時(shí)齒盤形式的發(fā)動(dòng)機(jī)曲軸位置追蹤算法，該算法對(duì)為發(fā)動(dòng)機(jī)處于穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)工況時(shí)提供了精確和迅速的發(fā)動(dòng)機(jī)曲軸位置信息，為發(fā)動(dòng)機(jī)的控制建立了基礎(chǔ)。文中的曲軸位置追蹤算法中建立了不同正時(shí)齒輪形式表，通過查表的方式來(lái)獲取缺齒的位置。

本文在前人研究的基礎(chǔ)之上，采用最優(yōu)閾值統(tǒng)計(jì)算法從理論上求出了確定當(dāng)前齒是否為缺齒的最優(yōu)閾值Tjudge的通用公式。首先，在電控氫氣發(fā)動(dòng)機(jī)上采集了瞬時(shí)轉(zhuǎn)速試驗(yàn)數(shù)據(jù);其次，對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了分析，求出了不同轉(zhuǎn)速下正常齒的方差分布，并認(rèn)定當(dāng)前轉(zhuǎn)速與上個(gè)轉(zhuǎn)速的瞬時(shí)轉(zhuǎn)速比ncurrent/nlast的概率分布服從正態(tài)分布;然后，通過分析缺齒判定條件，建立了信號(hào)齒盤概率分布的數(shù)學(xué)模型，并根據(jù)最優(yōu)閾值統(tǒng)計(jì)算法來(lái)進(jìn)行缺齒位置的判定;最后，代入計(jì)算的方差求出了判斷當(dāng)前齒是否為缺齒的最優(yōu)閾值Tjudge的通用公式，求出了缺齒出現(xiàn)誤判時(shí)轉(zhuǎn)速波動(dòng)率的臨界值，并通過3 種正時(shí)齒盤方案驗(yàn)證了該公式的正確性。

1 試驗(yàn)研究

1.1 試驗(yàn)裝置

試驗(yàn)條件及試驗(yàn)系統(tǒng)簡(jiǎn)圖見表1和圖1.

1.2 試驗(yàn)過程

發(fā)動(dòng)機(jī)開始運(yùn)行后，固定減壓閥后的氫氣壓力0.3 MPa，固定點(diǎn)火提前角在上止點(diǎn)前5°CA，固定噴氫提前角在330°CA，噴氫持續(xù)期為40°CA，維持冷卻水溫75 ℃.改變發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速，用燃燒分析儀分別記錄550、650、1 000、1 500、2 000、3 000、3 500、4 000、5 000 r/min 下的瞬時(shí)轉(zhuǎn)速數(shù)據(jù)。燃燒分析儀每隔0.5°CA 采集一個(gè)瞬時(shí)轉(zhuǎn)速，實(shí)時(shí)記錄各循環(huán)內(nèi)瞬時(shí)轉(zhuǎn)速的變化過程。

圖1 氫氣發(fā)動(dòng)機(jī)系統(tǒng)簡(jiǎn)圖Fig.1 Schematic diagram of H2ICE

表1 氫氣發(fā)動(dòng)機(jī)參數(shù)Tab.1 Parameter of H2ICE

1.3 試驗(yàn)結(jié)果分析

對(duì)采集的氫氣發(fā)動(dòng)機(jī)處于不同瞬時(shí)轉(zhuǎn)速時(shí)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，畫出了瞬時(shí)轉(zhuǎn)速比ncurrent/nlast概率分布的直方圖。直方圖結(jié)果表明，所研究的轉(zhuǎn)速下，瞬時(shí)轉(zhuǎn)速比ncurrent/nlast的概率直方圖均為中間高、兩邊低均值為1 的鐘形正態(tài)分布曲線。以轉(zhuǎn)速為650 r/min 為例，如圖2所示，其瞬時(shí)轉(zhuǎn)速比ncurrent/nlast概率分布的直方圖服從均值為1，方差為0.000 250 424 的正態(tài)分布。

圖2 瞬時(shí)轉(zhuǎn)速比ncurrent/nlast概率分布直方圖Fig.2 Probability distribution column diagram of the speed ratio

對(duì)不同轉(zhuǎn)速的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到正常齒的方差，為后續(xù)理論計(jì)算提供參考。不同轉(zhuǎn)速下方差的分布見圖3.

圖3 不同轉(zhuǎn)速下正常齒方差分布圖Fig.3 The variance distribution of the teeth under different speed

2 數(shù)學(xué)建模及分析

2.1 缺齒判定條件

圖4為采集的曲軸信號(hào)，其中虛線的部分為2個(gè)缺齒。曲軸運(yùn)行到正常齒時(shí)，當(dāng)前齒計(jì)算的瞬時(shí)轉(zhuǎn)速ncurrent與上一個(gè)齒計(jì)算的瞬時(shí)轉(zhuǎn)速nlast之比應(yīng)該約等于1;而當(dāng)曲軸運(yùn)行到缺齒處時(shí)，瞬時(shí)轉(zhuǎn)速比ncurrent/nlast應(yīng)該約等于1/(n +1)(n 為缺齒數(shù))。根據(jù)此原理，通常滿足下面條件時(shí)，單片機(jī)就認(rèn)定當(dāng)前齒為缺齒的位置:

式中，Tjudge為本文中要求解的最優(yōu)閾值，也就是利用此值來(lái)判定曲軸缺齒的位置。當(dāng)瞬時(shí)轉(zhuǎn)速比ncurrent/nlast小于Tjudge時(shí)，則判定當(dāng)前齒為缺齒;若瞬時(shí)轉(zhuǎn)速比ncurrent/nlast大于Tjudge時(shí)，則判定當(dāng)前齒為正常齒。當(dāng)正確判斷出缺齒位置，就可根據(jù)上止點(diǎn)和缺齒之間的固定的間距來(lái)實(shí)時(shí)表征當(dāng)前曲軸所處的位置。但需注意的是，因?yàn)樗矔r(shí)轉(zhuǎn)速比服從正態(tài)分布，因此無(wú)論閾值如何，理論上都存在誤判的概率，本文旨在尋找誤判概率最小的最優(yōu)閾值。

圖4 正時(shí)齒盤及采集到的曲軸信號(hào)Fig.4 Crank-shaft tooth wheel and its signal

2.2 數(shù)學(xué)建模

經(jīng)過上面的論述可知，出現(xiàn)正常齒X 的概率密度分布和出現(xiàn)缺齒Y 的概率密度分布都為正態(tài)分布，正常齒期望φ1=1，設(shè)其方差為δ1;那么缺齒的期望值φ2=1/(n+1)，設(shè)其方差為δ2.則正常齒X的概率密度函數(shù)為

缺齒的函數(shù)g(x)為

正常齒的函數(shù)h(y)為

其中，h(y)是反函數(shù)g(x).

因此，Y=X/n 的概率密度為

由上面的推導(dǎo)可知，正常齒的方差是缺齒方差的n+1 倍，即:δ1=(n+1)δ2.

2.3 最優(yōu)閾值法求Tjudge及缺齒誤判率

最優(yōu)閾值方法是圖像分割技術(shù)中的一種統(tǒng)計(jì)算法［5］。該方法的思想是要找到一個(gè)最優(yōu)閾值Tjudge使研究對(duì)象被錯(cuò)誤劃分的概率最小，如圖5所示。本研究中的錯(cuò)誤劃分有2 類，一類是將缺齒誤劃為正常齒;另一類是將正常齒錯(cuò)誤的劃為缺齒。該方法把每個(gè)計(jì)算的瞬時(shí)轉(zhuǎn)速比ncurrent/nlast與最優(yōu)閾值Tjudge進(jìn)行比較，根據(jù)它是否超過該閾值Tjudge將其劃分為缺齒或者正常齒，關(guān)鍵的部分是最優(yōu)閾值Tjudge的確定。

圖5 最優(yōu)閾值Tjudge確定的示意圖Fig.5 Schematic diagram to determine optimal threshold Tjudge

設(shè)正常齒概率密度函數(shù)為p1(z)，缺齒概率密度函數(shù)為p2(z)，數(shù)齒正確概率密度函數(shù)為p(z)，則:

P1=(Tteeth-n-1)/(Tteeth-n)，P2=1/(Tteeth-n)，P1和P2為先驗(yàn)概率，P1+P2=1，Tteeth為信號(hào)齒盤的總齒數(shù)。

設(shè)正常齒的分布函數(shù)為Y =f(x)，則缺齒的分布函數(shù)為

由于Y 為n +1 倍的P2，因此設(shè)定P'2來(lái)代替P2，方便后續(xù)計(jì)算:

由上圖4可知，正常齒判錯(cuò)的概率為

而缺齒判錯(cuò)的概率為

數(shù)齒錯(cuò)誤的總錯(cuò)誤概率為

確定最優(yōu)閾值Tjudge，就要使誤差E(Tjudge)最小。把E(Tjudge)對(duì)Tjudge求導(dǎo)，得到:

把正常齒期望φ1=1，方差δ1=(n +1)δ2;缺齒的期望值φ2=1/(n+1)，方差δ2代入上式，即得:

把上述的a、b、c 帶入式(14)中求解Tjudge可得:

由圖3分析可知，δ1在550 r/min 時(shí)，方差最大為0.000 655 45，代入上式中可得

由此也可得到當(dāng)缺齒出現(xiàn)誤判時(shí)，轉(zhuǎn)速波動(dòng)所對(duì)應(yīng)波動(dòng)率的臨界值ΔT 為

轉(zhuǎn)速波動(dòng)率T 可以由下面公式求出

其中nreal為當(dāng)前齒計(jì)算的實(shí)際轉(zhuǎn)速，而ntheory為轉(zhuǎn)速不波動(dòng)時(shí)當(dāng)前齒計(jì)算的理論轉(zhuǎn)速。缺齒數(shù)與轉(zhuǎn)速波動(dòng)率臨界值ΔT 之間關(guān)系見圖6.

圖6 缺齒數(shù)與轉(zhuǎn)速波動(dòng)率臨界值間關(guān)系圖Fig.6 The relationship between missing teeth numbers and the threshold value of speed fluctuation rate

以2 個(gè)缺齒為例，當(dāng)轉(zhuǎn)速波動(dòng)率T 超過臨界值ΔT 的50%之后，就會(huì)出現(xiàn)缺齒誤判現(xiàn)象。而2 個(gè)齒之間計(jì)算轉(zhuǎn)速的時(shí)間非常短，是ms 級(jí)別的數(shù)值，內(nèi)燃機(jī)轉(zhuǎn)速雖然是動(dòng)態(tài)的過程，但其變化也是一個(gè)過程，這么短的時(shí)間轉(zhuǎn)速波動(dòng)率是非常小的，因此實(shí)際內(nèi)燃機(jī)工作過程中出現(xiàn)缺齒誤判的幾率很小。

同時(shí)從圖6可以看出，隨著缺齒數(shù)的增加，允許轉(zhuǎn)速波動(dòng)率的臨界值在不斷提高，因此增加缺齒數(shù)對(duì)防止缺齒位置誤判是十分有利的。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

通過上述結(jié)論可以看出，缺齒判定條件瞬時(shí)轉(zhuǎn)速比ncurrent/nlast＜Tjudge中，Tjudge的最優(yōu)解為

Tjudge為缺齒數(shù).

下面采用2 套正時(shí)齒盤方案來(lái)驗(yàn)證上述推導(dǎo)的結(jié)論，一個(gè)正時(shí)齒盤為60-3 方案，另一個(gè)為30-2 方案。氫發(fā)動(dòng)機(jī)用上述2 種正時(shí)齒盤發(fā)出的曲軸定位信號(hào)作為輸入信號(hào)，其轉(zhuǎn)速控制為2 000 r/min.同時(shí)，通過上位機(jī)實(shí)時(shí)記錄下單片機(jī)內(nèi)計(jì)算的相鄰2個(gè)齒之間的轉(zhuǎn)速，實(shí)驗(yàn)結(jié)果見圖7.

在圖7中正時(shí)齒盤為60-3 方案，ECU 內(nèi)最優(yōu)閾值Tjudge選定為2/5，此時(shí)氫發(fā)動(dòng)機(jī)及ECU 能夠正常穩(wěn)定的運(yùn)轉(zhuǎn)。從單片機(jī)內(nèi)計(jì)算的瞬時(shí)轉(zhuǎn)速可以看出，在氫發(fā)動(dòng)機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)一個(gè)循環(huán)內(nèi)共記錄下114 個(gè)瞬時(shí)轉(zhuǎn)速，在缺齒位置時(shí)的瞬時(shí)轉(zhuǎn)速為正常齒處瞬時(shí)轉(zhuǎn)速的1/4，驗(yàn)證了缺齒數(shù)為3 時(shí)最優(yōu)閾值Tjudge取為2/5 是合理的。

圖7 齒盤60-3 時(shí)單片機(jī)內(nèi)瞬時(shí)轉(zhuǎn)速Fig.7 Instantaneous speed in MCU on the 60-3 timing wheel

在圖8中正時(shí)齒盤為30-2 方案下，ECU 內(nèi)的最優(yōu)閾值Tjudge選定為1/2，此時(shí)氫發(fā)動(dòng)機(jī)同樣能夠正常穩(wěn)定的運(yùn)轉(zhuǎn)。在氫發(fā)動(dòng)機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)一個(gè)循環(huán)內(nèi)單片機(jī)共記錄下56 個(gè)瞬時(shí)轉(zhuǎn)速，缺齒位置處的瞬時(shí)轉(zhuǎn)速為正常齒處瞬時(shí)轉(zhuǎn)速的1/3，驗(yàn)證了總齒數(shù)為30 時(shí)最優(yōu)閾值取值為1/2 是合理的。同時(shí)，加上之前試驗(yàn)中采用的正時(shí)齒盤為60-2 時(shí)最優(yōu)閾值亦為1/2，也說(shuō)明了總齒數(shù)對(duì)最優(yōu)閾值Tjudge的取值范圍沒有影響，它只與齒盤上的缺齒數(shù)有關(guān)。

圖8 齒盤30-2 時(shí)單片機(jī)內(nèi)瞬時(shí)轉(zhuǎn)速Fig.8 Instantaneous speed in MCU on the 30-2 timing wheel

4 結(jié)論

1)在所研究轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，當(dāng)前轉(zhuǎn)速與上個(gè)轉(zhuǎn)速的瞬時(shí)轉(zhuǎn)速比ncurrent/nlast的概率分布服從均值為1的正態(tài)分布。隨著轉(zhuǎn)速的升高，瞬時(shí)轉(zhuǎn)速方差呈先急后緩的下降趨勢(shì)。

2)通過60-2、60-3 和30-2 三種正時(shí)齒盤方案，驗(yàn)證了本文提出的不同正時(shí)齒盤所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)閾值的通用公式是正確的。從理論上分析可知，它適用于所有電控發(fā)動(dòng)機(jī)用來(lái)判定缺齒位置，進(jìn)而判缸。

3)從最優(yōu)閾值的通用公式和實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析可知，無(wú)論正時(shí)齒盤的總齒數(shù)Tteeth為多少，最優(yōu)閾值均與其無(wú)關(guān)，只與齒盤上的缺齒數(shù)有關(guān)。

4)利用最優(yōu)閾值分析了缺齒出現(xiàn)誤判時(shí)轉(zhuǎn)速波動(dòng)率的臨界值，轉(zhuǎn)速波動(dòng)率不得超過該值。同時(shí)，增加缺齒數(shù)對(duì)防止缺齒位置誤判是十分有利的。

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