直覺的解題功能

李青

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，學(xué)生碰到的大都是常規(guī)性數(shù)學(xué)問題。這類問題是數(shù)學(xué)問題中的基本問題，它既是課堂教學(xué)的重點(diǎn)，同時(shí)也是考查學(xué)生學(xué)習(xí)情況的重點(diǎn)。但是在實(shí)際教學(xué)過程中，由于應(yīng)試教育的壓力，學(xué)生過多的精力被浪費(fèi)在如何提高解決此類問題的熟練程度上，導(dǎo)致學(xué)生思維方式的僵化，阻礙學(xué)生創(chuàng)造性的提高。因而在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中適當(dāng)?shù)卦黾右恍┓浅Ｒ?guī)性的題目就顯得尤為必要。所謂非常規(guī)性數(shù)學(xué)問題就是不是簡單地套用數(shù)學(xué)的定義、定理或按照特定的模式而解決的題目，它需要學(xué)生從實(shí)際的數(shù)學(xué)問題出發(fā)，試圖從不同的角度、用不同的方法去探索數(shù)學(xué)問題解決的途徑。非常規(guī)性數(shù)學(xué)問題無疑對于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、深刻性和廣闊性有很大的幫助。非常規(guī)性數(shù)學(xué)問題的解決有一些基本的策略和方法，其中依靠直覺猜想問題答案是最重要的方法之一。

1 歸納直覺的解題功能

歸納猜想是通過各種手段（觀察、實(shí)驗(yàn)、分析、比較等）對許多個(gè)別事物的經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識的基礎(chǔ)上，邏輯推導(dǎo)出各現(xiàn)象之間的因果關(guān)系，并逐步過度普遍化的推理方法。拉普拉斯曾經(jīng)說過：“甚至在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類比?！彼耘囵B(yǎng)學(xué)生的歸納猜想能力是很重要的，這種思維形式的主要步驟是：實(shí)踐——?dú)w納——推廣——猜想——證明。也就是說當(dāng)遇到一個(gè)抽象化的非常規(guī)問題（通常與n有關(guān)），難以入手時(shí)，設(shè)法把它具體化、特殊化，即用幾個(gè)特別的例子通過觀察、分析，歸納出結(jié)論或解題的一般規(guī)律。

分析A是一個(gè)比較復(fù)雜的和式，也不是具體的數(shù)，直接比較大小比較困難，只好采用歸納猜想：于是猜想猜想結(jié)論可用數(shù)學(xué)歸納法證明。

2 類比直覺的解題功能

所謂類比法就是某種類型的相似性。對象甲與乙可類比，意味著它們在某方面相同或相似（或概念相似，或結(jié)構(gòu)相似，或性質(zhì)相似等）。類比的目的在于根據(jù)對象甲與乙的性質(zhì)相似，推出它們另外的一些屬性也相似。這種思維的形式是：聯(lián)想——類比——猜想。就是把所研究的問題與以前熟知的有關(guān)內(nèi)容加以應(yīng)用，可設(shè)問：以前見過它嗎？是否見過相同的問題而形式稍微不同？是否知道一個(gè)與此有關(guān)的問題？是否知道可能用得上的問題？然后回到研究的問題中來。

3 一般化與特殊化直覺的解題功能

一般化是由個(gè)別到普遍，特殊到一般的認(rèn)識方法。其基本特點(diǎn)是從同類的若干現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)它們的共同規(guī)律，由特殊的、較小范圍內(nèi)的認(rèn)識擴(kuò)展到更普遍、較大范圍內(nèi)的認(rèn)識。將待解的特殊問題一般化，從而猜得問題的解法，這便是一般化猜想的實(shí)質(zhì)。波利亞說：“如果一批問題是彼此相關(guān)的，解決起來有時(shí)還比單獨(dú)去解決其中一個(gè)容易些——因?yàn)槎鄠€(gè)問題是彼此很好地相互聯(lián)系的，而一個(gè)問題本身是獨(dú)立的?！碧厥饣c一般化相反，它是人們由普遍到個(gè)別、一般到特殊的認(rèn)識方法，其基本特點(diǎn)是以被研究對象的普遍規(guī)律為基礎(chǔ)，肯定個(gè)別對象具有個(gè)別屬性。把復(fù)雜的一般性問題特殊化，猜得解題方法，這便是特殊化猜想的實(shí)質(zhì)。這種方法是否奏效，關(guān)鍵是能否找到一個(gè)合適的特殊條件。

特殊條件下的特殊問題一要易解，二要能由其解猜得原一般性問題的解法。要將一個(gè)普遍性的數(shù)學(xué)問題特殊化，通常情況下并不難，只需適當(dāng)?shù)丶訌?qiáng)某些條件或增加些限制即可。正是因?yàn)槿绱?，一個(gè)一般性問題經(jīng)不同的特殊化處理可以得到不同的特殊問題。

4 直觀形象猜想的解題功能

所謂直觀形象猜想指的是在解決數(shù)學(xué)問題中，借助圖形來研究數(shù)量關(guān)系，這里的圖形可以是幾何圖形、函數(shù)圖象，還可以是圖表，甚至是示意圖等。借助幾何模型進(jìn)行想象，可以使問題的條件與結(jié)論之間的關(guān)系更加簡單明了，從而導(dǎo)致邏輯通道的一目了然與思維過程的避繁就簡。不僅如此，它還可以通過形象使學(xué)生從整體上把握問題的實(shí)質(zhì)，抓住關(guān)鍵，推動思維活動的開展。著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授在這方面有一段精彩的論述：“數(shù)形本是相倚依，焉能分作兩邊飛；數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事非?！彼栽诮鉀Q非常規(guī)性的數(shù)學(xué)問題中，直觀形象無疑是一件利器。

分析 按照常規(guī)定勢，應(yīng)孤立根式，兩邊平方，整理后再孤立再平方，從而化為有理式求解。這樣一來可能產(chǎn)生增根，更主要的是整理以后的有理方程將是四次方程。解四次方程是繁難的。所以只好轉(zhuǎn)換思考角度，分析題目的特點(diǎn)，從幾何直觀上考慮此方程的幾何意義：是否可以把左邊的兩個(gè)根式看成兩個(gè)兩點(diǎn)間的距離，從而題設(shè)方程便變?yōu)閮删嚯x之和為常數(shù)，據(jù)此再求x呢？也就是說，能否與橢圓進(jìn)行聯(lián)系，把解方程的問題化歸為平面解析幾何中有關(guān)橢圓的性質(zhì)的問題呢？事實(shí)上，變形原方程得它表示點(diǎn)(x,1)的坐標(biāo)到兩定點(diǎn)(2,0),，(?2,0)的距離之和為6(＞4)。納入橢圓定義式，即知點(diǎn)(x,1)的坐標(biāo)滿足橢圓方程從而可解出x的值。