泛克里金的漂移函數(shù)參數(shù)估計新方法＊

何 濤 李 玲 張 武 孫玉秋

(長江大學信息與數(shù)學學院 湖北荊州)

泛克里金的漂移函數(shù)參數(shù)估計新方法＊

何 濤 李 玲 張 武 孫玉秋

(長江大學信息與數(shù)學學院 湖北荊州)

為了解決漂移函數(shù)的估值難題,文章在詳細推導泛克里金法原理公式的基礎上,首先推導了用方向?qū)?shù)求解多元條件極值的公式,然后提出了基于方向?qū)?shù)的漂移函數(shù)參數(shù)估計方法,并作了分析與總結(jié),從時間復雜度的角度看,該方法在很大程度上優(yōu)于Lagrange乘數(shù)法。

泛克里金;漂移函數(shù);方向?qū)?shù);時間復雜度

0 引 言

泛克里金法是一種比普通克里金法應用更為廣泛的插值方法。普通克里金方法要求區(qū)域化變量滿足二階平穩(wěn)假設或本征假設,但在實際中這一假設往往無法滿足,即存在漂移。由于泛克里金估計技術考慮了漂移的無偏線性估計量,因此估計漂移函數(shù)的參數(shù)是不可或缺且非常重要的部分。鑒于此,本文提出了基于方向?qū)?shù)的漂移函數(shù)參數(shù)估計法,結(jié)果表明它具有很強的實際應用價值。

1 泛克里金法原理推導

設z(x)表示在研究區(qū)域內(nèi)變量 x處的屬性值,Z (x)為相對應的隨機變量,則 z(x)在 x0處的估計值z＊(x0)可表示為:

式中,λi是相對應的加權(quán)系數(shù),本文采用泛克里金技術來確定λi(i=1,2,…,n)。

對于簡單和普通克里金來說,隨機函數(shù) Z(x)的一階平穩(wěn)是一個基本假設,即 E[Z(x)]=m,其中 m是不隨x變化的常數(shù)。但有些隨機函數(shù)的均值并非常數(shù),E[Z(x)]=m(x),其中 m(x)是空間位置 x的函數(shù),不是一階平穩(wěn)的隨機函數(shù),而是一種非平穩(wěn)函數(shù)。m(x)稱為這種非平穩(wěn)隨機函數(shù)的漂移函數(shù),簡稱漂移或趨勢。

在實際應用中,隨機函數(shù)模型是趨勢與殘差之和[1、6]:

式中,m(x)反映了區(qū)域化變量總的變化趨勢,殘差函數(shù)

則描述了區(qū)域化變量 Z(x)本身的空間連續(xù)性,且有

趨勢部分通常是一個光滑的確定性函數(shù)來模擬,或用擬合方法根據(jù)已知的數(shù)據(jù)求得函數(shù)的未知參數(shù):

式中,fi(x)是 x的函數(shù),一般取 xi-1的多項式[2]; αi是未知的參數(shù),由于參數(shù)是未知的,故趨勢值m(x)本身也是未知的。理想情況下應該由所研究問題的物理意義來確定趨勢函數(shù),在無法得到有關趨勢的形狀信息時如何把z數(shù)據(jù)分成趨勢部分和殘差部分就帶有任意性,在沒有任何物理解釋的情況下通常選用低階多項式來表示趨勢。

一維的線性趨勢取:

二維的二次趨勢取為:

以下討論用 Z(xj)(j=1,2,…,n)來估計αi(i= 0,1,…,K)的過程。用(K+1)組加權(quán)系數(shù)βji(j=1, 2,…,n)對Z(xj)進行線性組合,構(gòu)成了(K+1)個隨機向量,即

下面我們的目標是選取適當?shù)摩耲i使得:

從而與m(x)相對應的隨機變量

且有 E[M(x)]=m(x),即為 m(x)的無偏估計。

記cov(xj,xl)為區(qū)域化變量 Z(x)的殘差函數(shù) R (x)的協(xié)方差。則可以推導[1]出:

2 基于方向?qū)?shù)的漂移參數(shù)估計

記 F=f(y1,y2,…,yn),條件函數(shù)為 gi(y1,y2,…,yn),(i=0,1,…,K),F在點(y1,y2,…,yn)處梯度向量[3]為

假設這個(K+1)條件函數(shù)相交部分方程為 G= d0g0+d1g1+…+dKgK,其中 di(i=0,1,…,K)是一些常數(shù)。又有曲面 G(y1,y2,…,yn)=0在點(y1,y2,…,yn)處的法向量為:

同樣,設曲面 G(y1,y2,…,yn)=0在點(y1,y2,…,yn)處的切平面上的任意一個向量為(a1,a2,…, an),則有即

令 a2=a3=…=an-1=0,消去 an得到向量:

同理,我們可以得到另外(n-2)個向量,進一步簡化則有

求解該方程組以及(K+1)個條件函數(shù) gi(y1,y2,…,yn),(i=0,1,…,K),即可得到我們要求的解。現(xiàn)在回到本文所要解決問題:令

對于s的一個固定值,討論:如j=1時,

將(17)式,(18)式代入(16)式得到:

此方程組共有(n-1)個方程,再加上(K+1)個條件函數(shù)(即(11)式),即由(n+K)個方程可以解出βji。

3 分析與結(jié)論

采用本文的參數(shù)求解方法((11)式和(19)式)比Lagrange乘數(shù)法((20)式)要少一個方程,在時間復雜度則有較大的改善。

對(12)式用Lagrange乘數(shù)法求解得到方程組[4]為:

在式(20)中共有個(n+K+1)方程?，F(xiàn)在只討論求解方程組,則(20)式的時間復雜度[5]為:T1=[4(n+K+1)3+9(n+K+1)2-7(n+K+1)]

,而式(11)和式(19)聯(lián)立方程組得時間復雜度為:T2=[4(n+K)3+9(n+K)2-7(n+K)]。故當(n +K)逐漸增大時,T2與 T1的差還要乘以s的個數(shù)(K +1),這個數(shù)顯然是很大的。故從從時間復雜度的角度看,該方法在很大程度上優(yōu)于Lagrange乘數(shù)法。

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He Tao,Li Ling,Zhang Wu and Sun Yuqiu.A new method of parameter estimation of the drift function of U-niversal Kriging.PI,2010,24(4):62～64

In order to solve the valuation problems about the drift function,and by inferring detailedly the formula of Universal-Kriging′s principle,this article first inferrs the formula of the multi-conditional extremum that is solved by directional derivative,and then puts forward a method of parameter estimation of the drift function,based on directional derivative. An analysis and summary show that,from the time complexity point of view,this method is to a large extent superior to Lagrange multiplier method.

Universal-Kriging;drift function;directional derivative;time complexity

O177.92

B

1004-9134(2010)04-0062-03

國家大學生創(chuàng)新性實驗計劃資助項目(項目編號:081048901),項目名稱:基于插值技術的地層描述方法研究。

何 濤,男,1988年生,現(xiàn)為長江大學信息與數(shù)學學院信息與計算機學院在校生。郵編:434023

2009-10-21 編輯:梁保江)

·方法研究·