源于惠更斯碰撞理論的高考試題探析

劉立雪

(天津市寶坻區(qū)第一中學(xué) 天津 301800)

1 惠更斯碰撞理論

惠更斯從1652年開始研究彈性物體之間的碰撞，1656年把自己的結(jié)果收集在論文《論碰撞作用下物體的運(yùn)動(dòng)》中.下面對惠更斯碰撞理論作出簡要介紹.

1.1 三個(gè)假設(shè)(公理)

(1)任何運(yùn)動(dòng)物體只要不遇障礙，將沿直線以同一速度運(yùn)動(dòng)下去.

(2)兩個(gè)相同的物體做對心碰撞時(shí)，如碰前各自具有相等相反的速度，則將以同樣的速度反向彈回.

(3)物體的運(yùn)動(dòng)以及它們的速度，必須看作是相對于另一些我們以為是靜止的物體而言的，而不必考慮這些物體是否還參與另外的共同運(yùn)動(dòng).因此，當(dāng)兩個(gè)物體相碰撞時(shí)，即使它們同時(shí)參與另一勻速運(yùn)動(dòng)，在也具有這個(gè)共同運(yùn)動(dòng)的觀察者看來，兩個(gè)物體的相互作用就好像不存在這個(gè)共同運(yùn)動(dòng)一樣.

1.2 三個(gè)實(shí)驗(yàn)

(1)如圖1所示，兩個(gè)質(zhì)量相同并以相同的速度相向運(yùn)動(dòng)的物體，在發(fā)生剛性的對心碰撞之后，都保留碰撞前的速度而相互彈開.

圖1 惠更斯碰撞實(shí)驗(yàn)之一

(2)如圖2所示，一個(gè)靜止的球同一個(gè)質(zhì)量相同的運(yùn)動(dòng)著的球碰撞后，后者立即停止，而原來靜止的球則獲得這一個(gè)速度前進(jìn).

圖2 惠更斯碰撞實(shí)驗(yàn)之二

(3)惠更斯獨(dú)具匠心地設(shè)計(jì)了一個(gè)巧妙的理想實(shí)驗(yàn)，如圖3所示.設(shè)船以速度u向右行駛.若船上的人在他的參考系內(nèi)做圖1所示的實(shí)驗(yàn)，則在岸上的人看來，碰前兩球以速度v+u和v-u相向運(yùn)動(dòng)；碰撞后兩球以速度v-u和v+u反彈.于是，惠更斯便得到了相同的球以不同的速度做對心彈性碰撞，彼此將會(huì)交換速度的普遍結(jié)論.

圖3 惠更斯的想象：兩相等質(zhì)量間的彈性碰撞

1.3 兩條結(jié)論

(1)兩個(gè)物體所具有的運(yùn)動(dòng)量在碰撞中都可以增多或減少，但是它們的量值在同一個(gè)方向的總和卻保持不變，如果減去反方向的運(yùn)動(dòng)量的話.

(2)兩個(gè)、三個(gè)或任意多個(gè)物體的共同重心，在碰撞前后總是朝著同一方向做勻速直線運(yùn)動(dòng).

2 高考試題探析

(1)待定系數(shù)β;

(2)第一次碰撞剛結(jié)束時(shí)小球A、B各自的速度和B球?qū)壍赖膲毫?

(3)小球A、B在軌道最低處第二次碰撞剛結(jié)束時(shí)各自的速度，并討論小球A、B在軌道最低處第n次碰撞剛結(jié)束時(shí)各自的速度.

解：(1)由

得

β=3

(2)設(shè) A、B 碰撞后的速度分別為v1、v2，則

設(shè)向右為正、向左為負(fù)，依據(jù)動(dòng)量守恒定律

解得

方向向左.

方向向右.

設(shè)軌道對 B 球的支持力為N， B 球?qū)壍赖膲毫镹′，方向豎直向上為正、向下為負(fù)．則

N′=-N=-4.5mg

方向豎直向下.

(3)設(shè) A、B 球第二次碰撞剛結(jié)束時(shí)的速度分別為v1′、v2′，則

-mv1-βmv2=mv1′+βmv2′

解得

v2′=0

(另一組解：v1′=-v1，v2′=-v2不合題意，舍去)

由此可得:

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，小球 A、B 在第n次碰撞剛結(jié)束時(shí)的速度分別與其第一次碰撞剛結(jié)束時(shí)相同；

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，小球 A、B 在第n次碰撞剛結(jié)束時(shí)的速度分別與其第二次碰撞剛結(jié)束時(shí)相同.

【例2】(2007年高考全國理綜卷Ⅰ第24題)如圖4所示，質(zhì)量為m的由絕緣材料制成的球與質(zhì)量為M=19m的金屬球并排懸掛.現(xiàn)將絕緣球拉至與豎直方向成θ=60°的位置自由釋放，下擺后在最低點(diǎn)與金屬球發(fā)生彈性碰撞.在平衡位置附近存在垂直于紙面的磁場.已知由于磁場的阻尼作用，金屬球?qū)⒂谠俅闻鲎睬巴Ｔ谧畹忘c(diǎn)處.求經(jīng)過幾次碰撞后絕緣球偏離豎直方向的最大角度將小于45°.

圖4

解：設(shè)在第n次碰撞前絕緣球的速度為vn-1，碰撞后絕緣球、金屬球的速度分別為vn和vn′，由于碰撞過程中動(dòng)量守恒，碰撞前后動(dòng)能相等.設(shè)速度向左為正，則

mvn-1=Mvn′-mvn

(1)

(2)

由(1)，(2)兩式及M=19m解得

(3)

(4)

第n次碰撞后絕緣球的動(dòng)能為

(5)

E0為第1次碰撞前的動(dòng)能，即初始能量.

絕緣球在θ0=60°與θ=45° 處的勢能之比為

(6)

式中l(wèi)為擺長.

根據(jù)(5)式，經(jīng)n次碰撞后

易算出(0.81)2=0.656,(0.81)3=0.531，因此，經(jīng)過三次碰撞后θ將小于45° .

點(diǎn)評(píng)：本題以惠更斯碰撞實(shí)驗(yàn)之二為題源，具體命制試題時(shí)主要進(jìn)行了三處異化處理.

(1)將等擺長異化為不等擺長；

(2)將兩等質(zhì)量間的彈性碰撞異化為兩不相等質(zhì)量間的彈性碰撞；

(3)將重力場異化為復(fù)合場.試題命制的亮點(diǎn)是條件“已知由于磁場的阻尼作用，金屬球?qū)⒂谠俅闻鲎睬巴Ｔ谧畹忘c(diǎn)處”的巧妙設(shè)置——每次碰撞都出現(xiàn)在最低點(diǎn)，進(jìn)而使試題蘊(yùn)含遞推關(guān)系.

試題考查的重點(diǎn)是彈性碰撞過程中的兩個(gè)守恒定律，考查的難點(diǎn)是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理問題，特別是遞推關(guān)系的處理.

【例3】(2005年高考江蘇物理卷第18題)三個(gè)質(zhì)量均為m的彈性小球用兩根長均為L的輕繩連成一條直線而靜止在光滑水平面上.現(xiàn)給中間的小球B一個(gè)水平初速度v0，方向與繩垂直，小球相互碰撞時(shí)無機(jī)械能損失，輕繩不可伸長.求：

(1)當(dāng)小球A、C第一次相碰時(shí)，小球B的速度；

(2)當(dāng)三個(gè)小球再次處在同一直線上時(shí)，小球B的速度;

(3)運(yùn)動(dòng)過程中小球A的最大動(dòng)能EkA和此時(shí)兩根繩的夾角θ;

(4)當(dāng)三個(gè)小球處在同一直線上時(shí)，繩中的拉力F的大小.

解：(1)設(shè)小球A、C第一次相碰時(shí)，小球B的速度為vB.考慮到對稱性及繩的不可伸長特性，小球A、C沿小球B初速度方向的速度也為vB，由動(dòng)量守恒定律，得

mv0=3mvB

由此解得

(2)當(dāng)三個(gè)小球再次處在同一直線上時(shí)，則由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律，得

mv0=mvB+2mvA

解得

三球再次處于同一直線.

另一組解

vB=v0vA=0

為初始狀態(tài)，舍去.

所以三個(gè)小球再次處在同一直線上時(shí)，小球B的速度為

負(fù)號(hào)表明與初速度方向相反.

(3)當(dāng)小球A的動(dòng)能最大時(shí)，小球B的速度為零，設(shè)此時(shí)小球A、C的速度大小為u，兩根繩間夾角為θ，則仍由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律，得

另外

由此可解得，小球A的最大動(dòng)能為

此時(shí)兩根繩間夾角為θ=90°.

(4)小球A、C均以半徑L繞小球B做圓周運(yùn)動(dòng).當(dāng)三個(gè)小球處在同一直線上時(shí)，以小球B為參考系(小球B的加速度為零，為慣性參考系)，小球A、C相對于小球B的速度均為

v=|vA-vB|=v0

所以，此時(shí)繩中拉力大小為

點(diǎn)評(píng)：本題以惠更斯碰撞實(shí)驗(yàn)之一為題源，具體命制試題時(shí)主要進(jìn)行了兩處異化處理.

(1)將碰撞平面由豎直平面異化為光滑水平面；

(2)將擺的懸點(diǎn)異化為第三球.試題的命制亮點(diǎn)是本題的物理情景與圖3所述情況有異曲同工之妙.本題“懸點(diǎn)”的速度方向與兩球碰撞時(shí)速度方向垂直，而圖3中懸點(diǎn)的速度方向與兩球碰撞時(shí)的速度方向平行，試題的深刻思想是惠更斯碰撞理論中假設(shè)(3),即運(yùn)動(dòng)的相對性.

試題考查的重點(diǎn)是彈性碰撞過程中的兩個(gè)守恒定律，難點(diǎn)是周期性物理情景的建立.

【例4】(2007年高考重慶卷理綜卷第25題)某興趣小組設(shè)計(jì)了一種實(shí)驗(yàn)裝置，用來研究碰撞問題，其模型如圖5所示.完全相同的輕繩將N個(gè)大小相同、質(zhì)量不等的小球并列懸掛于一水平桿、球間有微小間隔，從左到右，球的編號(hào)依次為1,2,3,…N，球的質(zhì)量依次遞減，每球質(zhì)量與其相鄰左球質(zhì)量之比為k(k<1) .將1號(hào)球向左拉起，然后由靜止釋放，使其與2號(hào)球碰撞，2號(hào)球再與3號(hào)球碰撞……所有碰撞皆為無機(jī)械能損失的正碰.(不計(jì)空氣阻力，忽略繩的伸長，g取10 m/s2)

圖5

(1)設(shè)與n+1號(hào)球碰撞前，n號(hào)球的速度為vn,求n+1號(hào)球碰撞后的速度;

(2)若N=5,在1號(hào)球向左拉高h(yuǎn)的情況下，要使5號(hào)球碰撞后升高16h(16h小于繩長),問k值為多少？

(3)在第(2)問的條件下，懸掛哪個(gè)球的繩最容易斷，為什么？

解：(1)設(shè)n號(hào)球質(zhì)量為mn,n+1號(hào)球質(zhì)量為mn+1,碰撞后的速度分別為vn′、vn+1′, 取水平向右為正方向，據(jù)題意n號(hào)球與n+1號(hào)球碰撞前的速度分別為vn、0，又mn+1=kmn.

根據(jù)動(dòng)量守恒，有

mnvn=mnvn′+kmnvn+1′

(7)

根據(jù)機(jī)械能守恒，有

(8)

由(7)、(8)得

其中vn+1′=0舍去.

設(shè)n+1號(hào)球與n+2號(hào)球碰前的速度為vn+1

據(jù)題意有

vn+1=vn+1′

得

(9)

(2)設(shè)1號(hào)球擺至最低點(diǎn)時(shí)的速度為v1,由機(jī)械能守恒定律有

(10)

(11)

同理可求，5號(hào)球碰后瞬間的速度

(12)

由(9)式得

(13)

N=n+1=5時(shí)

(14)

由(11)、(12)、(14)三式得

(15)

(3)設(shè)繩長為l,每個(gè)球在最低點(diǎn)時(shí)，細(xì)繩對球的拉力為F,由牛頓第二定律有

(16)

則

(17)

(17)式中Ekn為n號(hào)球在最低點(diǎn)的動(dòng)能.

由題意1號(hào)球的重力最大，又由機(jī)械能守恒可知1號(hào)球在最低點(diǎn)碰前的動(dòng)能也最大，根據(jù)(11)式可判斷在1號(hào)球碰前瞬間懸掛1號(hào)球細(xì)繩的張力最大，故懸掛1號(hào)球的繩最容易斷.

點(diǎn)評(píng)：本題以惠更斯碰撞實(shí)驗(yàn)之二為題源，具體命制試題時(shí)主要進(jìn)行了三處異化處理.

(1)將兩個(gè)球異化為N個(gè)球；

(2)將等質(zhì)量間的彈性碰撞異化為不相等質(zhì)量間的彈性碰撞；

(3)將球均在最低點(diǎn)靜止時(shí)無間隔異化為球均在最低點(diǎn)靜止時(shí)有微小間隔.試題命制的亮點(diǎn)是通過設(shè)置條件“球的質(zhì)量依次遞減，每球質(zhì)量與其相鄰左球質(zhì)量之比為k(k<1) ”，使試題蘊(yùn)含遞推關(guān)系，增強(qiáng)了試題的探究性.

試題考查的重點(diǎn)是彈性碰撞過程中的兩個(gè)守恒定律，考查的難點(diǎn)是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理問題，特別是遞推關(guān)系的運(yùn)算.

圖6

【例5】(2008年高考寧夏卷理綜卷第33-2)某同學(xué)利用如圖6所示的裝置驗(yàn)證動(dòng)量守恒定律.圖中兩擺擺長相同，懸掛于同一高度，A、B兩擺球均很小，質(zhì)量之比為1∶2.當(dāng)兩擺均處于自由靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，其側(cè)面剛好接觸.向右上方拉動(dòng)B球使其擺線伸直并與豎直方向成45°角，然后將其由靜止釋放.結(jié)果觀察到兩擺球粘在一起擺動(dòng)，且最大擺角成30°.若本實(shí)驗(yàn)允許的最大誤差為±4%，此實(shí)驗(yàn)是否成功地驗(yàn)證了動(dòng)量守恒定律？

解：設(shè)擺球A、B的質(zhì)量分別為mA、mB，擺長為l，B球的初始高度為h1，碰撞前B球的速度為vB.在不考慮擺線質(zhì)量的情況下，根據(jù)題意及機(jī)械能守恒定律有

h1=l(1-cos45°)

(18)

(19)

設(shè)碰撞前后兩擺球的總動(dòng)量的大小分別為p1、p2.有

p1=mBvB

(20)

聯(lián)立(18)、(19)、(20)式得

(21)

同理可得

(22)

聯(lián)立(21)、(22)式得

(23)

代入已知條件得

(24)

由此可以推出

所以，此實(shí)驗(yàn)在規(guī)定的范圍內(nèi)驗(yàn)證了動(dòng)量守恒定律.

點(diǎn)評(píng)：本題以惠更斯碰撞實(shí)驗(yàn)之二為題源，具體命制試題時(shí)主要進(jìn)行了兩處異化處理.

(1)將兩等質(zhì)量間的彈性碰撞異化為兩不相等質(zhì)量間的彈性碰撞；

(2)將完全彈性碰撞異化為完全非彈性碰撞.試題的命制亮點(diǎn)是將實(shí)驗(yàn)與理論巧妙結(jié)合起來,

試題條件是實(shí)驗(yàn)可測物理量，試題的設(shè)問著眼于數(shù)據(jù)處理和分析.試題重點(diǎn)是考查機(jī)械能守恒定律.

3 結(jié)束語

經(jīng)典實(shí)驗(yàn)(題源)的特征是實(shí)驗(yàn)裝置(儀器)非常簡單，實(shí)驗(yàn)揭示的問題非常深刻.非常簡單意味著可以異化的因素非常多，命制試題的可操作性很強(qiáng)；非常深刻意味著可蘊(yùn)含的物理規(guī)律往往是物理學(xué)的主干規(guī)律，命制試題的實(shí)效性很好.

顯然，在教學(xué)中要善于以經(jīng)典實(shí)驗(yàn)為素材，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)略其中的奧妙，體會(huì)其中的物理美；同時(shí)也會(huì)使教學(xué)跳出題海，從而產(chǎn)生高屋建瓴之感.

參考文獻(xiàn)

1 郭奕玲,沈慧君.物理學(xué)史.北京：清華大學(xué)出版社,1993.42～43

2 趙凱華,羅蔚茵.新概念物理教程：力學(xué).北京：高等教育出版社,1995.45～46