對(duì)頻譜及其幾何意義的探討

陳 軍

(定西師范高等專科學(xué)校物電系 甘肅 定西 743000)

1 引言

頻譜分析是信號(hào)與系統(tǒng)課程中最重要的內(nèi)容之一.許多讀者在學(xué)習(xí)中感到抽象，往往只能從數(shù)學(xué)上承認(rèn)時(shí)域信號(hào)與它的頻域(頻譜)之間的變換關(guān)系，而沒有深刻理解它的物理意義．利用Matlab軟件可以幫助讀者建立形象的幾何概念達(dá)到真正掌握．

2 仿真實(shí)例

2.1 兩個(gè)給定的共軛復(fù)信號(hào)頻譜合成并生成對(duì)應(yīng)的時(shí)域信號(hào)

首先來看歐拉公式，它是以最簡(jiǎn)明的方式建立了信號(hào)頻域與時(shí)域的關(guān)系

它說明一個(gè)最簡(jiǎn)單的實(shí)余弦信號(hào)可以由正、負(fù)兩個(gè)Ω0頻率分量合成．在復(fù)平面上，正的Ω0對(duì)應(yīng)于反時(shí)針旋轉(zhuǎn)的矢量，負(fù)的Ω0對(duì)應(yīng)于順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的矢量.當(dāng)這兩個(gè)矢量的幅度相同，而相角符號(hào)相反時(shí)，就合成為一個(gè)在實(shí)軸上的矢量．它的相角為零，大小按余弦變化，形成了如圖1所示的實(shí)信號(hào)cosΩ0t.由對(duì)稱的正負(fù)頻率合成．推而廣之，任何實(shí)周期信號(hào)必然具有正、負(fù)兩組頻率的頻譜成分，正、負(fù)頻率頻譜的幅度對(duì)稱而相位反對(duì)稱，或者說，是共軛的．

圖1

可看出，任何虛周期信號(hào)也必然具有正、負(fù)兩個(gè)頻率的頻譜成分，只是要把負(fù)頻率的頻譜矢量反號(hào)(這意味著使其幅度反號(hào))后與正頻率的頻譜成分相加．這時(shí)兩個(gè)矢量的幅度相等而相位互補(bǔ)，或者說，正、負(fù)兩部分頻譜的實(shí)部反號(hào)而虛部同號(hào)．這時(shí)的合成矢量在虛軸上，成為一個(gè)虛信號(hào)．

如果頻譜不止這兩項(xiàng)，而是有四項(xiàng)或更多呢？

2.2 四個(gè)任意給定的復(fù)信號(hào)頻譜合成并生成對(duì)應(yīng)的時(shí)域信號(hào)．

四項(xiàng)或更多頻譜，它們的合成仍然可以用幾何動(dòng)畫來表示．可以把每個(gè)頻譜看作一根長(zhǎng)度等于頻譜幅度a(i)、按頻率Ω(i)旋轉(zhuǎn)的桿件，頻譜的相加等價(jià)于多節(jié)桿件首尾相接，桿件末端的軌跡就描述了生成的時(shí)域波形．因?yàn)檫@個(gè)端點(diǎn)是在平面上運(yùn)動(dòng)，所以它將產(chǎn)生復(fù)信號(hào)，在實(shí)軸和虛軸上的投影分別為實(shí)信號(hào)和虛信號(hào)．

如設(shè)計(jì)一個(gè)以四個(gè)任意給定的復(fù)信號(hào)頻譜合成并生成對(duì)應(yīng)的時(shí)域信號(hào)的動(dòng)態(tài)演示程序來說明．

2.2.1 建模 按上述多節(jié)桿合成模型

程序設(shè)計(jì)包括三個(gè)主要部分：1)各頻譜分量的輸入，包括其幅度和頻率(有正負(fù))； 2)將各分量當(dāng)作轉(zhuǎn)動(dòng)的桿件首尾相接； 3)記錄多節(jié)桿系末端的軌跡畫出圖形．

2.2.2 Matlab程序(命名為eg)

% (1)給頻譜矢量賦值

N=input(’N(輸入矢量個(gè)數(shù)，為便于說明限定N不大于4)=’);

for i=I:N

i,a(i)=input(’振幅a(i)=’);

w(i)=input(’角頻率w(i)=’);

end;

% (2)將各個(gè)頻譜矢量相加合成并畫圖

t=linspace(0,20,201);It=length(t);

% 給出時(shí)間數(shù)組

p=a’*ones(1，It).*exp(j*w’*t);

% 各頻譜分量隨時(shí)間變化的復(fù)數(shù)值

q=cumsum(p);

% 各頻譜分量的累加(包括所有節(jié)點(diǎn))

figure(1)，plot(real(q(4，:))，imag(q(4，:)))，grid on

% 畫合成復(fù)信號(hào)的端點(diǎn)軌跡

% (3)將此軌跡在實(shí)軸與虛軸兩個(gè)方向的投影畫成時(shí)間信號(hào)

figure(2),subplot(2,2,1),plot(real(q(4，:)),imag(q(4，:))),grid on

subplot(2,2,3),plot(real(q(4,:)),t),grid on % 畫出實(shí)信號(hào)的時(shí)間波形

subplot(2,2,2),plot(t,imag(q(4,:))),grid on % 畫出虛信號(hào)的時(shí)間波形

2.2.3 程序運(yùn)行的結(jié)果

以五種情況的取值來闡明

第一種情況：運(yùn)行eg程序并按提示輸入，取如下四個(gè)幅度相等，頻率符號(hào)等值的集總頻譜，

a(1)=1，w(1)=1；

a(2)=1，w(2)=1；

a(3)=1，w(3)=1；

a(4)=1，w(1)=1；

則四個(gè)集總頻譜的結(jié)果如圖2中Figure(2)的P(b)和P(c)中，它分別顯示正弦和余弦信號(hào)兩種時(shí)域信號(hào)的情況，P(a)為兩種信號(hào)的合成．

圖2

第二種情況：只取如下兩個(gè)幅度相等，頻率符號(hào)相反等值的集總頻譜，

a(1)=1，w(1)= 1；

a(2)=1，w(2)= -1；

a(3)=1，w(3)=2；

a(4)=1，w(1)= -2；

則四個(gè)集總頻譜，輸入則得到如圖3的結(jié)果．

圖3

第三種情況：如果只取兩個(gè)幅度相等，頻率符號(hào)相反等值的集總頻譜，

a(1)=1，w(1)= 1；

a(2)=1，w(2)= -1；

a(3)=1，w(3)=2；

a(4)=1，w(1)=2；

則四個(gè)集總頻譜，輸入得到如圖4的結(jié)果．

第四種情況：如下取兩個(gè)幅度相等，頻率符號(hào)相反不等值的集總頻譜，

a(1)=1，w(1)= 1；

a(2)=1，w(2)= -1；

a(3)=1，w(3)=3；

a(4)=1，w(1)= -4；

圖4

則四個(gè)集總頻譜，輸入得到如圖5的結(jié)果．

圖5

第五種情況：如果取如下四個(gè)集總頻譜，輸入

a(1)=0.8，w(1)= 1；

a(2)=0.9，w(2)= -1；

a(3)=0.6，w(3)=2；

a(4)=0.5，w(1)= -3；

則得到如圖6的結(jié)果．

圖6

在圖2、3、4、中顯示了對(duì)稱信號(hào)的合成，其輸入頻譜是對(duì)稱的．其中圖3有實(shí)信號(hào)而無虛信號(hào)；在圖5、6中，為了顯示復(fù)信號(hào)，有意把輸入頻譜設(shè)成不對(duì)稱的．于是將看到四節(jié)桿件模擬的復(fù)信號(hào)的合成的運(yùn)動(dòng)動(dòng)畫，并得到桿系及其端點(diǎn)在復(fù)平面上的軌跡，它在x，y兩方向的投影與時(shí)間軸的關(guān)系畫在每幅圖的Figure(2)的P(b)和P(c)中，我們就得到信號(hào)與系統(tǒng)課程中常見的實(shí)信號(hào)曲線．通過Matlab軟件的模擬，使學(xué)習(xí)者輕松地理解頻譜及其幾何意義，化解教學(xué)難點(diǎn)．

輸入頻譜的幅度可以是負(fù)數(shù)，也可以是虛數(shù)，甚至可以是復(fù)數(shù)，它不僅反映了頻譜的大小，還反映了該矢量的起始相位；頻譜的頻率則只能是可正可負(fù)的實(shí)數(shù)，正頻率和負(fù)頻率以及在該頻率上頻譜的意義在此不言而喻．學(xué)習(xí)者可以做各種各樣的試驗(yàn)，例如當(dāng)兩組頻率具有倍頻關(guān)系時(shí)，得到的是周期信號(hào)，如果頻率比是任意小數(shù)，那將得出非周期的信號(hào)；另外，這樣的演示只適用于集總頻譜，對(duì)于分布的頻譜密度，就要把它想象為若干小的集總頻譜的疊合．總之有了這樣的形象演示，可以大大擴(kuò)展時(shí)域信號(hào)與頻域譜之間關(guān)系的思維空間．

3 結(jié)論

可見，只有在復(fù)信號(hào)平面上，才能看到頻率的正負(fù)．負(fù)頻率頻譜的意義，打破了在實(shí)信號(hào)的局部范疇來思考問題而引起的限制．1992年聯(lián)合國(guó)教科文組織在里約熱內(nèi)羅宣言中指出：純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)是理解世界及其發(fā)展的一把鑰匙．從而使得人類真正認(rèn)識(shí)這個(gè)世界，進(jìn)而在這個(gè)世界中和諧生存發(fā)展．要在物理課堂教學(xué)中，靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)成果及各種現(xiàn)代教育技術(shù)手段適時(shí)適量地運(yùn)用多媒體技術(shù)，發(fā)揮其最大功效，就可以減輕學(xué)生學(xué)習(xí)的過重負(fù)擔(dān)，提高課堂教學(xué)效率，培養(yǎng)學(xué)生非智力因素，有效地培養(yǎng)跨世紀(jì)的創(chuàng)造性人才．

參考文獻(xiàn)

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