混沌與拓?fù)浒牍曹?/h1>
2010-01-12 06:42:42王立冬楊玉娥
大連民族大學(xué)學(xué)報(bào) 2010年1期
王立冬,楊玉娥
（1.大連民族學(xué)院理學(xué)院,遼寧大連 116605;2.遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,遼寧大連 116029）
混沌與拓?fù)浒牍曹?/p>
王立冬1,楊玉娥2
（1.大連民族學(xué)院理學(xué)院,遼寧大連 116605;2.遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,遼寧大連 116029）
（X,f）與（Y,g）為拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng),f與g是拓?fù)浒牍曹椀?對(duì)基于拓?fù)浒牍曹椞厥庑再|(zhì)擴(kuò)充的混沌性進(jìn)行了探討,作為應(yīng)用,給出了區(qū)間映射拓?fù)潇卮笥?與幾乎周期點(diǎn)集中有不可數(shù)混沌集是等價(jià)的一個(gè)新的證明。
拓?fù)浒牍曹?幾乎周期點(diǎn);混沌
自Li-Yorke用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義混沌之后,人們從不同角度對(duì)混沌進(jìn)行深入研究,1994年Schwerizer與Smital提出了分布混沌概念,說明了區(qū)間映射的分布混沌與正拓?fù)潇氐葍r(jià),因此討論正拓?fù)潇嘏cLi-Yorke混沌關(guān)系是十分有意義的。熊金城提出熊混沌[1],并討論了熊混沌與拓?fù)淙趸旌系年P(guān)系。而周作領(lǐng)[2]提出了測(cè)度中心的概念,并指出測(cè)度中心的極小集是它本身,說明在極小集上討論問題具有重要意義。本文對(duì)拓?fù)浒牍曹椥再|(zhì)的擴(kuò)充的混沌性進(jìn)行了討論,其主要結(jié)果如下:
定理1令（X,d1）,（Y,d2）為緊度量空間, （X,f）與（Y,g）為拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng),Φ:X→Y為f與g的拓?fù)浒牍曹?如果g有極小混沌集Γ且存在y0∈Γ滿足#Φ-1（y0）=1,則（X,f）是混沌的。
定理2設(shè)（X,f）為拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng),Φ:X→∑2為f與σ的拓?fù)浒牍曹?如果存在y0∈∑2滿足# Φ-1（y0）=1則f有不可數(shù)混沌集Γ?A（f）。
1 基本定義與引理
空間（∑,ρ）是緊的度量空間,稱其為兩個(gè)符號(hào)的單邊符號(hào)空間。
定義σ:∑→∑為對(duì)?x=x0x1…∈∑,σ（x0x1…）=x1x2…,則σ是連續(xù)的,稱為∑上的移位映射,因此（∑,σ）為緊系統(tǒng)。
定義1稱x是幾乎周期的,如果對(duì)任意的ε＞0,存在整數(shù)N＞0,使得對(duì)任何q≥0,存在整數(shù)r,q＜r≤q+N滿足d（fr（x）,x）＜ε。f的全體幾乎周期點(diǎn)的集合記作A（f）。
定義2設(shè)（X,f）,（Y,g）都是動(dòng)力系統(tǒng),f,g都是連續(xù)映射,如果存在滿射h:X→Y使得對(duì)任何x∈X,都有h（f（x））=g（h（x））,則稱f與g拓?fù)浒牍曹棥?/p>
定義3設(shè)（X,f）為緊致系統(tǒng),f:X→X是連續(xù)映射,Y?X,{pi}是給定的正整數(shù)遞增序列,如果對(duì)任意連續(xù)映射g:Y→X,存在序列{qi}?{pi}使得則稱Y是f相對(duì)于序列{pi}而言的一個(gè)熊混沌集,稱f為在Y上關(guān)于序列{pi}熊混沌的。
定義4設(shè)（X,d）是緊致度量空間,f:X→X是連續(xù)映射,如果存在集合D?X,使得對(duì)?x,y∈D,x≠y有
則稱D是映射f的一個(gè)Li-Yorke混沌集;如果存在映射f的一個(gè)不可數(shù)的Li-Yorke混沌集,則稱映射f是Li-Yorke混沌的,簡(jiǎn)稱混沌的。
定義5（X,f）稱為弱混合的,如果f×f:X×X→X×X是傳遞的。
定義6對(duì)每個(gè)ε＞0,x∈X,都存在n＞0滿足fn（V（X,ε））∩V（x,ε）≠φ,則稱x為X中非游蕩點(diǎn)。所有非游蕩點(diǎn)構(gòu)成的集合記為Ω（f）。
引理1[3]設(shè)f:X→X和g:Y→Y是連續(xù)的,其中X和Y是緊度量空間,如果存在一個(gè)連續(xù)的滿射h:X→Y使得g°h=h°f,則
引理2[4]（∑,ρ）為兩個(gè)符號(hào)的單邊符號(hào)空間,σ為其上的移位映射,存在一個(gè)極小集τ?∑滿足σ|τ是弱混合的。
引理3[5]設(shè)f:X→X是一連續(xù)映射,其中X是至少包含兩個(gè)點(diǎn)的局部可分的緊致度量空間,則f是拓?fù)淙趸旌系漠?dāng)且僅當(dāng)存在X的一個(gè)c-稠密Fσ型熊混沌子集。
引理4[6]設(shè)f:I→I是連續(xù)映射,則f在Ω（f）上是混沌的當(dāng)且僅當(dāng)ent（f）＞0。
引理5[7]設(shè)f:I→I是連續(xù)映射且ent（f）＞0,則存在閉集X?I,m＞0滿足fm（X）=X。且fm|X至多2對(duì)1的拓?fù)浒牍曹椀絾芜呉莆挥成洇?而且在∑中只有可數(shù)多個(gè)點(diǎn)有兩個(gè)原像,如果有一個(gè)原像是周期的,則其他的也是周期的。
2 定理證明
綜上,f有不可數(shù)混沌集且其中每個(gè)點(diǎn)都是幾乎周期。
3 定理應(yīng)用
作為兩個(gè)定理的應(yīng)用,證明下面條件是等價(jià)的。
令f:I→I連續(xù)映射,1）ent（f）＞0;2）A（f）中有不可數(shù)混沌集。
證明1）?2）由引理5,存在閉集X?I,m＞0滿足fm（X）=X。fm|X至多2對(duì)1的拓?fù)浒牍曹椀絾芜呉莆挥成洇?且在∑中只有可數(shù)多個(gè)點(diǎn)有兩個(gè)原像。所以存在一個(gè)連續(xù)滿射h:X→∑使得h°fm=σ°h,存在y0∈∑使得#Φ-1（y0）=1。由定理2可知,有fm的一不可數(shù)混沌集Γ?A （fm）,進(jìn)而可知f有不可數(shù)混沌集Γ?A（f）。
2）?1）因?yàn)锳（f）?Ω（f）,所以Ω（f）上存在不可數(shù)混沌集,通過引理4可證ent（f）＞0。
[1]XI ONG Jingcheng,YANG Zhongguo.Chaos caused by a topologically mixing map,Indynamical Systems and Related Topics[M].Singapore:World Scientific Press, 1992.
[2]周作領(lǐng).弱幾乎周期點(diǎn)與測(cè)度中心[J].中國(guó)科學(xué):A輯,1992,22（6）:572-581.
[3]周作領(lǐng),何偉弘.軌道結(jié)構(gòu)的層次與拓?fù)浒牍曹梉J].中國(guó)科學(xué):A輯,1995,25（5）:457-464.
[4]WANGLidong,CHEN Zhizhi,LI AO Gongfu.The complexity of amini mal sub-shifton sy mbolic spaces[J].Mathematical Analysis andApplications,2006,317:136-145.
[5]楊潤(rùn)生.按序列分布混沌和拓?fù)浠旌蟍J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 2002,45（4）:753-758.
[6]周作領(lǐng).紊動(dòng)與拓?fù)潇豙J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1988,31（1）: 83-87.
[7]L I Shihai,W-Chaos and topological entropy[J].Transactions of the American Mathematical Society,1993, 339:243-249.
Chaos and Topological Sem i-conjugacy
WANG L i-dong1,YANG Yu-e2
（1.College of Science,Dalian NationalitiesUniversity,Dalian Liaoning 116605,China; 2.Department ofMathematics,LiaoningNormalUniversity,Dalian Liaoning 116029,China）
Let（X,f）,（Y,g）be topological dynamical systems,wherefandgare topologically semi-conjugate.This paper presents chaoticity as an extension that is based on special properties of topological semi-conjugacy.As an application,it gives a new proof for the fact that the topological entropy of intervalmaps being greater than 0 is equivalent to a set of almost periodic points containing an uncountable chaotic set.
topological semi-conjugacy;almost periodic points;chaos.
O189
A
1009-315X（2010）01-0024-03
2009-09-21
國(guó)家民委自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（07DL05）;遼寧省教育廳基金資助項(xiàng)目（2009A141）。
王立冬（1955-）,男,吉林德惠人,教授,博士,學(xué)校優(yōu)秀教學(xué)帶頭人,碩士生導(dǎo)師,主要從事拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)研究。
（責(zé)任編輯 鄒永紅）
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王立冬,楊玉娥
（1.大連民族學(xué)院理學(xué)院,遼寧大連 116605;2.遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,遼寧大連 116029）
混沌與拓?fù)浒牍曹?/p>
王立冬1,楊玉娥2
（1.大連民族學(xué)院理學(xué)院,遼寧大連 116605;2.遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,遼寧大連 116029）
（X,f）與（Y,g）為拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng),f與g是拓?fù)浒牍曹椀?對(duì)基于拓?fù)浒牍曹椞厥庑再|(zhì)擴(kuò)充的混沌性進(jìn)行了探討,作為應(yīng)用,給出了區(qū)間映射拓?fù)潇卮笥?與幾乎周期點(diǎn)集中有不可數(shù)混沌集是等價(jià)的一個(gè)新的證明。
拓?fù)浒牍曹?幾乎周期點(diǎn);混沌
自Li-Yorke用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義混沌之后,人們從不同角度對(duì)混沌進(jìn)行深入研究,1994年Schwerizer與Smital提出了分布混沌概念,說明了區(qū)間映射的分布混沌與正拓?fù)潇氐葍r(jià),因此討論正拓?fù)潇嘏cLi-Yorke混沌關(guān)系是十分有意義的。熊金城提出熊混沌[1],并討論了熊混沌與拓?fù)淙趸旌系年P(guān)系。而周作領(lǐng)[2]提出了測(cè)度中心的概念,并指出測(cè)度中心的極小集是它本身,說明在極小集上討論問題具有重要意義。本文對(duì)拓?fù)浒牍曹椥再|(zhì)的擴(kuò)充的混沌性進(jìn)行了討論,其主要結(jié)果如下:
定理1令（X,d1）,（Y,d2）為緊度量空間, （X,f）與（Y,g）為拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng),Φ:X→Y為f與g的拓?fù)浒牍曹?如果g有極小混沌集Γ且存在y0∈Γ滿足#Φ-1（y0）=1,則（X,f）是混沌的。
定理2設(shè)（X,f）為拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng),Φ:X→∑2為f與σ的拓?fù)浒牍曹?如果存在y0∈∑2滿足# Φ-1（y0）=1則f有不可數(shù)混沌集Γ?A（f）。
1 基本定義與引理
空間（∑,ρ）是緊的度量空間,稱其為兩個(gè)符號(hào)的單邊符號(hào)空間。
定義σ:∑→∑為對(duì)?x=x0x1…∈∑,σ（x0x1…）=x1x2…,則σ是連續(xù)的,稱為∑上的移位映射,因此（∑,σ）為緊系統(tǒng)。
定義1稱x是幾乎周期的,如果對(duì)任意的ε＞0,存在整數(shù)N＞0,使得對(duì)任何q≥0,存在整數(shù)r,q＜r≤q+N滿足d（fr（x）,x）＜ε。f的全體幾乎周期點(diǎn)的集合記作A（f）。
定義2設(shè)（X,f）,（Y,g）都是動(dòng)力系統(tǒng),f,g都是連續(xù)映射,如果存在滿射h:X→Y使得對(duì)任何x∈X,都有h（f（x））=g（h（x））,則稱f與g拓?fù)浒牍曹棥?/p>
定義3設(shè)（X,f）為緊致系統(tǒng),f:X→X是連續(xù)映射,Y?X,{pi}是給定的正整數(shù)遞增序列,如果對(duì)任意連續(xù)映射g:Y→X,存在序列{qi}?{pi}使得則稱Y是f相對(duì)于序列{pi}而言的一個(gè)熊混沌集,稱f為在Y上關(guān)于序列{pi}熊混沌的。
定義4設(shè)（X,d）是緊致度量空間,f:X→X是連續(xù)映射,如果存在集合D?X,使得對(duì)?x,y∈D,x≠y有
則稱D是映射f的一個(gè)Li-Yorke混沌集;如果存在映射f的一個(gè)不可數(shù)的Li-Yorke混沌集,則稱映射f是Li-Yorke混沌的,簡(jiǎn)稱混沌的。
定義5（X,f）稱為弱混合的,如果f×f:X×X→X×X是傳遞的。
定義6對(duì)每個(gè)ε＞0,x∈X,都存在n＞0滿足fn（V（X,ε））∩V（x,ε）≠φ,則稱x為X中非游蕩點(diǎn)。所有非游蕩點(diǎn)構(gòu)成的集合記為Ω（f）。
引理1[3]設(shè)f:X→X和g:Y→Y是連續(xù)的,其中X和Y是緊度量空間,如果存在一個(gè)連續(xù)的滿射h:X→Y使得g°h=h°f,則
引理2[4]（∑,ρ）為兩個(gè)符號(hào)的單邊符號(hào)空間,σ為其上的移位映射,存在一個(gè)極小集τ?∑滿足σ|τ是弱混合的。
引理3[5]設(shè)f:X→X是一連續(xù)映射,其中X是至少包含兩個(gè)點(diǎn)的局部可分的緊致度量空間,則f是拓?fù)淙趸旌系漠?dāng)且僅當(dāng)存在X的一個(gè)c-稠密Fσ型熊混沌子集。
引理4[6]設(shè)f:I→I是連續(xù)映射,則f在Ω（f）上是混沌的當(dāng)且僅當(dāng)ent（f）＞0。
引理5[7]設(shè)f:I→I是連續(xù)映射且ent（f）＞0,則存在閉集X?I,m＞0滿足fm（X）=X。且fm|X至多2對(duì)1的拓?fù)浒牍曹椀絾芜呉莆挥成洇?而且在∑中只有可數(shù)多個(gè)點(diǎn)有兩個(gè)原像,如果有一個(gè)原像是周期的,則其他的也是周期的。
2 定理證明
綜上,f有不可數(shù)混沌集且其中每個(gè)點(diǎn)都是幾乎周期。
3 定理應(yīng)用
作為兩個(gè)定理的應(yīng)用,證明下面條件是等價(jià)的。
令f:I→I連續(xù)映射,1）ent（f）＞0;2）A（f）中有不可數(shù)混沌集。
證明1）?2）由引理5,存在閉集X?I,m＞0滿足fm（X）=X。fm|X至多2對(duì)1的拓?fù)浒牍曹椀絾芜呉莆挥成洇?且在∑中只有可數(shù)多個(gè)點(diǎn)有兩個(gè)原像。所以存在一個(gè)連續(xù)滿射h:X→∑使得h°fm=σ°h,存在y0∈∑使得#Φ-1（y0）=1。由定理2可知,有fm的一不可數(shù)混沌集Γ?A （fm）,進(jìn)而可知f有不可數(shù)混沌集Γ?A（f）。
2）?1）因?yàn)锳（f）?Ω（f）,所以Ω（f）上存在不可數(shù)混沌集,通過引理4可證ent（f）＞0。
[1]XI ONG Jingcheng,YANG Zhongguo.Chaos caused by a topologically mixing map,Indynamical Systems and Related Topics[M].Singapore:World Scientific Press, 1992.
[2]周作領(lǐng).弱幾乎周期點(diǎn)與測(cè)度中心[J].中國(guó)科學(xué):A輯,1992,22（6）:572-581.
[3]周作領(lǐng),何偉弘.軌道結(jié)構(gòu)的層次與拓?fù)浒牍曹梉J].中國(guó)科學(xué):A輯,1995,25（5）:457-464.
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[7]L I Shihai,W-Chaos and topological entropy[J].Transactions of the American Mathematical Society,1993, 339:243-249.
Chaos and Topological Sem i-conjugacy
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topological semi-conjugacy;almost periodic points;chaos.
O189
A
1009-315X（2010）01-0024-03
2009-09-21
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王立冬（1955-）,男,吉林德惠人,教授,博士,學(xué)校優(yōu)秀教學(xué)帶頭人,碩士生導(dǎo)師,主要從事拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)研究。
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