整流濾波電壓算法探討

麻幼學(xué)

（肇慶學(xué)院 電子信息與機(jī)電工程學(xué)院,廣東 肇慶 526061）

有人在進(jìn)行近似計(jì)算時(shí),將整流濾波電路的輸出電壓波形以鋸齒波表示.采用這種計(jì)算方法,鋸齒波違反了電路元件特性的約束(VCR)和拓?fù)浼s束(由KCL和KVL體現(xiàn)),還違背了基本物理定律,而且所得結(jié)論并不能覆蓋RLC的全部變化范圍.另外,作為教學(xué)基礎(chǔ)的教材,其一切論斷和方法都應(yīng)成為遵守基本定律的典范,而不是違背基本定律的向?qū)?因此,這種近似計(jì)算方法值得商榷.本文中,筆者以文獻(xiàn)［1］510－512為例進(jìn)行討論,指出其錯(cuò)誤所在,并給出正確的近似分析計(jì)算方法.

1 整流濾波輸出直流電壓計(jì)算方法存在的問題

文獻(xiàn)［1］510的單相橋式整流電容濾波電路如圖1所示.其認(rèn)為可將電容濾波的電壓波形（如圖2實(shí)線所示）近似為鋸齒波,如圖3所示.圖中T為電網(wǎng)電壓的周期.設(shè)整流電路內(nèi)阻較小而RLC較大,電容每次充電均可達(dá)到電源電壓u2的峰值(即UOmax＝U2),然后按RLC放電的起始斜率直線下降,經(jīng)RLC交于橫軸,且在T/2處的數(shù)值為最小值UOmin,則輸出電壓的平均值為

圖1 單相橋式整流電容濾波電路

圖2 電容濾波的電壓波形

圖3 鋸齒波電壓波形

同時(shí),按相似三角形的關(guān)系可得

因而

仔細(xì)研究上述內(nèi)容,可發(fā)現(xiàn)如下2個(gè)問題：

1)電壓“按RLC放電的起始斜率直線下降”及“電容濾波的電壓波形近似為鋸齒波”,違反電路基本定理和能量守恒定律.

2)輸出電壓平均值的計(jì)算公式(4)不能覆蓋RLC的全部變化范圍.比如：當(dāng)RLC≤T/4時(shí),式(4)的計(jì)算結(jié)果竟然為小于零的負(fù)數(shù).

2 問題分析

首先,根據(jù)圖1電路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),電容放電電壓不會(huì)“按RLC放電的起始斜率直線下降”.因?yàn)楫?dāng)二極管截止、電容放電時(shí),電容上的電壓也是電阻RL上的電壓.若按直線規(guī)律下降,則電容放電電流的大小不變,但是流過電阻RL上的電流卻像電壓一樣“直線下降”,這種現(xiàn)象違反了克?；舴螂娏鞫?KCL).其次,輸出電壓uO的波形不會(huì)形成鋸齒波,因?yàn)檫`反電路中二極管的伏安特性.電路中的二極管已被文獻(xiàn)［1］510設(shè)定為與圖2波形相吻合的伏安特性——二極管正偏電壓小于零時(shí)截止,等于零時(shí)導(dǎo)通且導(dǎo)通電阻為零（伏安特性一旦確定就不可隨意改變.因?yàn)殡娐分皇芡負(fù)浼s束(由KCL和KVL體現(xiàn))及元件特性約束(VCR),任何一種約束的改變,等同于電路被改變）.這樣的伏安特性是不可能產(chǎn)生圖3所示的鋸齒波電壓的.實(shí)際上不存在實(shí)現(xiàn)鋸齒波的二極管,因?yàn)榕c實(shí)現(xiàn)鋸齒波相匹配的二極管的伏安特性必須如圖4所示.當(dāng)正偏電壓uD從零開始增大直至uON的過程中,電流iD為零（如圖4與橫軸重合的線段①所示）.當(dāng)uD＝uON時(shí),二極管導(dǎo)通.此后正偏電壓uD從uON開始減小直至為零的過程中,任何電壓所對(duì)應(yīng)的導(dǎo)通電流iD均保持無窮大（對(duì)應(yīng)的伏安特性曲線在坐標(biāo)平面上是連續(xù)分布的,圖4②組線段所示意的只是無限曲線中的幾條而已）,這樣才能符合鋸齒波電壓的垂直上升部分對(duì)二極管電流與電壓變化的要求.如此伏安特性的二極管是根本不存在的.第三,與圖3所示鋸齒波電壓對(duì)應(yīng)的電容C的電流波形,只能是電容C放電時(shí)電流不變,而充電時(shí)電流無窮大,這是嚴(yán)重違反能量守恒定律的.因?yàn)榻涣麟娫床豢赡転殡娙軨提供無窮大的充電能量.在電容放電期間,鋸齒波電壓同樣違反能量守恒定律.因?yàn)殡娙軨的放電電流與流過電阻RL上的電流不相等,因此電荷守恒定律被破壞,所以能量守恒定律也遭到破壞.第四,由公式(4)即可發(fā)現(xiàn):當(dāng)RLC≤T/4時(shí),輸出電壓的平均值UO(AV)≤0,這是與電路實(shí)際輸出電壓平均值不符且無法解釋的數(shù)值.由此進(jìn)一步證明了鋸齒波根本不是電容濾波電路正確的近似波形.

圖4 產(chǎn)生鋸齒波電壓的二極管伏安特性

3 輸出電壓平均值計(jì)算

圖2實(shí)線所示的電壓波形難以用解析式來描述,分析計(jì)算也難以實(shí)現(xiàn)；但是,借助圖5所示的輸出電壓波形對(duì)其進(jìn)行分析計(jì)算,不僅可以有理有據(jù)地顯示教學(xué)內(nèi)容,而且其結(jié)論對(duì)工程設(shè)計(jì)也具有指導(dǎo)意義.

由圖5可知t2之前為電容C充電的過程,二極管導(dǎo)通電流iD為

圖5 電容濾波的電壓波形

式中：

分別為電阻RL和電容C上的電流.到t2時(shí)刻二極管截止,此時(shí)iD＝0,即

由此可得

即

由圖5的波形可知,t4時(shí)刻有如下表達(dá)式：

式（11）也可改寫為如下形式：

通常為了取得更好的濾波效果,RLC選取得比較大,常取RLC≥(3～5)T/2,使得電容C的放電時(shí)間遠(yuǎn)大于其充電時(shí)間.(t5－t4)?T/2,則(t5－t4)/RLC≈0,即(t4－t2)≈(t5－t2).故上式可近似為

求得

式中,t5是圖5所示波形中電容C再次放電的時(shí)刻.由波形可知

代入式(14),即得

由圖5所示波形可寫出輸出電壓uO的函數(shù)表達(dá)式為

將輸出電壓uO按傅里葉級(jí)數(shù)展開得

直流分量

因?yàn)?/p>

式中

為輸出電壓uO的變化周期.綜合(19)～(21)且考慮到ωT＝2π,經(jīng)整理后可得輸出電壓uO的直流分量

如果取RLC等于5倍的T/2,則由式(10)得

查數(shù)表[2]324可得

由式(16)和(24)得到

由數(shù)表[2]318查得＝0.8187.代入式(25)并由數(shù)表[2]321查得

將(15),(24),(26)代入(22),即得

經(jīng)查表[2]318－329并整理后得

該結(jié)果與經(jīng)典的實(shí)驗(yàn)曲線[3]數(shù)據(jù)一致.

當(dāng)RLC→0時(shí),由式（10）和（16）知,ωt2→π,ωt4→π,ωt5→2π.通過式（22）算得輸出直流電壓為

由公式(8)可知RL≠0；否則,有限的電容放電電流不能滿足無限大的電阻電流,此式不成立.這樣,電容放電開始于ωt2→π,結(jié)束于ωt4→π,為同一時(shí)刻.由圖5的波形知電容放電的持續(xù)時(shí)間為零,電壓也為零.該現(xiàn)象意味著電容充、放電活動(dòng)已經(jīng)停止,濾波作用已經(jīng)消失,輸出電壓波形與整流輸出波形相同,輸出直流電壓與整流輸出直流電壓相同.

當(dāng)RLC→∞時(shí),由式（10）和（16）知,ωt2→π/2,ωt4→3π/2,ωt5→3π/2,說明此時(shí)電容充電后已無放電路徑,輸出電壓uO始終維持在最大值.根據(jù)洛比達(dá)法則[4],由式（22）算得輸出直流電壓為

由此證明電路輸出電壓穩(wěn)定在電源電壓u2的峰值.

計(jì)算數(shù)據(jù)證明,公式(22)能夠很好地吻合整流濾波電路的實(shí)際情況,可以覆蓋RLC從0到∞的全部變化范圍.說明該近似分析計(jì)算方法不僅遵守基本定律,而且數(shù)據(jù)精確、易于計(jì)算.

[1] 童詩白,華成英.模擬電子技術(shù)基礎(chǔ)[M].北京:高等教育出版社,2001.

[2] 中國礦業(yè)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室.數(shù)學(xué)手冊(cè)[M].北京:科學(xué)出版社,1980.

[3] 南京工學(xué)院無線電工程系《電子線路》編寫組.電子線路:第5冊(cè)[M].北京:高等教育出版社,1979:19.

[4] 宋開泰,黃象鼎.高等數(shù)學(xué)教程:上冊(cè)［M].武漢:武漢大學(xué)出版社,1998:365-372.