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    穩(wěn)定婚姻匹配問題的一個快速枚舉算法

    2010-01-01 01:46:54宋旭東紀(jì)秀花
    圖學(xué)學(xué)報 2010年3期
    關(guān)鍵詞:結(jié)點伴侶優(yōu)先

    宋旭東, 紀(jì)秀花

    (山東經(jīng)濟(jì)學(xué)院計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,山東 濟(jì)南 250014)

    1962 年兩個數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)家David Gale 和Lloyd Shapley在一篇名為“College Admissions and the Stability of Marriage”[1]的論文中首次引出并介紹了穩(wěn)定婚姻問題??紤]n個男人的集合M={m1,m2,…,mn}和n個女人的集合W={w1,w2,…,wn}。令M×W為所有可能的形如(m, w)的有序?qū)Φ募?。其中m∈M,w∈W。一個匹配S是來自M×W的有序?qū)Φ募希⑶揖哂邢率鲂再|(zhì):每個M的成員和每個W的成員至多出現(xiàn)在S的一個有序?qū)χ?。一個完美匹配S′是具有下述性質(zhì)的匹配:M的每個成員和W的每個成員恰好出現(xiàn)在S′的一個對里。一個完美匹配僅僅對應(yīng)于一個男女配對的方式,以這種方式,每個人最終與某個人結(jié)婚,且沒有人與多個人結(jié)婚。在完美匹配的背景下又引入優(yōu)先的概念,每個男人m∈M 對所有的女人排名,如果m給w的排名高于w′,我們就說m偏愛w超過w′。我們將把m的按順序的排名作為他的優(yōu)先表,但不允許排名出現(xiàn)并列的情況。類似的,每個女人也對所有男人排名。給定一個完美匹配S,在S中存在兩個配對(m, w)和(m′, w′),他們具有m更偏愛w′而不愛w,且w′更偏愛m而不愛m′的性質(zhì),在這種情況下,我們稱這個完美匹配S是不穩(wěn)定的,我們稱像(m, w′)這樣的對是一個相對于S的不穩(wěn)定因素。我們說一個匹配S是穩(wěn)定的,那么要滿足以下兩點:① S是完美匹配;② 不存在相對于S的不穩(wěn)定因素[2-9]。

    這個問題被應(yīng)用到學(xué)生的入學(xué)、工作招聘等處理過程中,最早是在美國國家醫(yī)生匹配計劃中一個類似的過程被用來將醫(yī)生和醫(yī)院進(jìn)行匹 配[2]。 法[10]能有效的讓我們找到其中一個穩(wěn)定匹配結(jié)

    目前,Gale-shapley算法[1-2],回溯法和回跳果,其中最有名的算法是Gale-shapley算法。本文設(shè)計了一種基于先序遍歷森林的快速枚舉算法,以求得所有可能的穩(wěn)定匹配結(jié)果,并且由Gale-shapley算法的性質(zhì)推得一個定理及其推論,又根據(jù)推論進(jìn)一步改進(jìn)了這個枚舉算法。

    1 Gale-Shapley 算法

    1.1 Gale-Shapley 算法基本思想

    Gale-Shapley算法的基本思想如下[2]:

    (1) 初始,每個人都是未婚的。假設(shè)一個未婚的男人m選擇了他的優(yōu)先表上排名最高的女人w,并且向她求婚。我們不能立刻聲明(m, w)將是最后穩(wěn)定匹配中的一對,因為在將來的某個時候,女人w偏愛的男人m′可能向她求婚。另一方面,對w來說,立刻拒絕m可能是危險的,她之后可能沒有接收到來自她的優(yōu)先表上排名高于m的某個人的求婚。于是,一種自然的想法是使 (m,w) 這個對進(jìn)入一種中間狀態(tài)——約會。

    (2) 假設(shè)我們現(xiàn)在處在某種狀態(tài),某些男人和女人是自由的(沒有約會),某些是有約會的。任意一個自由的男人m選擇他還沒有求過婚的最高排名的女人w,并且向她求婚。如果w也是自由的,那么m和w就成為約會狀態(tài)。否則,w已經(jīng)在與某個其他的男人m′約會,在這種情況下,根據(jù)w的優(yōu)先表中m和m′的排名來選擇,排名較高的男人變成與w約會而另一個人變成自由的。

    (3) 最后,當(dāng)沒有一個人是自由的時候,算法將結(jié)束;此刻所有的約會將被宣告為最后的結(jié)果,且將返回最終的完美匹配。文獻(xiàn)[2]中給出證明,該完美匹配是一個穩(wěn)定匹配。

    在上述算法中,由于總是未婚的男人向女人求婚,它常常被稱為“man propose, women dispose”(“男性優(yōu)先選擇”,下文都用“男優(yōu)先”表示)。當(dāng)然該算法實現(xiàn)時也可以總是未婚的女人向男人求婚,這被稱為“woman propose, men dispose”(“女性優(yōu)先選擇”,下文都用“女優(yōu)先”表示)。

    1.2 Gale-Shapley 算法的性質(zhì)

    根據(jù)上述Gale-Shapley算法的基本思想,可以得到該算法的幾個性質(zhì)[1-3,9]。

    在穩(wěn)定婚姻問題中,設(shè)有N個男人和N個女人,男人i 對女人j 的偏好排名用一個整數(shù) k=MXH(i, j)表示(MXH為 N×N 矩陣,表示男人對女人的偏愛程度列表)。 同理,女人i 對男人j 的偏好排名用一個整數(shù) t=WXH(i, j )表示(WXH為N×N矩陣,表示女人對男人的偏愛程度列表),1≤k (或t )≤N。

    按照 Gale-Shapley 算法,我們一定能得到一個穩(wěn)定婚姻。也就是說,不管這N個男人和N個女人的優(yōu)先表是如何分布的,至少存在一個穩(wěn)定婚姻匹配。在“男優(yōu)先”算法實現(xiàn)中,得到的一個穩(wěn)定婚姻匹配具有如下三點性質(zhì):

    (1) 男性能夠獲得盡可能好的伴侶,結(jié)果是:如果還存在其他的穩(wěn)定匹配,那么里面任何一個男性的伴侶排名都不會比“男優(yōu)先”得到的結(jié)果更好,我們說此種情況每個男性獲得的是“最好”的伴侶。

    (2) 女性卻只能被動地一步步接近她最愛的目標(biāo), 但最后往往達(dá)不到,結(jié)果是:如果還存在其他的穩(wěn)定匹配,那么里面任何一個女性的伴侶排名都不會比“男優(yōu)先”得到的結(jié)果更差,我們說此種情況每個女性獲得是“最差”的伴侶。

    (3) 無論男性們求婚的先后順序如何,最終得到的是同一個穩(wěn)定婚姻匹配。

    當(dāng)然,這個算法的實現(xiàn)也可是:“女優(yōu)先”,同樣,得到的此穩(wěn)定婚姻匹配具有對應(yīng)的三點性質(zhì):

    (1) 在所有可能的穩(wěn)定婚姻匹配中,“女優(yōu)先”得到的結(jié)果中每個女性獲得的是“最好”的伴侶。

    (2) 在所有可能的穩(wěn)定婚姻匹配中,“女優(yōu)先”得到的結(jié)果中每個男性獲得的是“最差”的伴侶。

    (3) 無論女性們求婚的先后順序如何,“女優(yōu)先”最終得到的是同一個穩(wěn)定婚姻匹配。

    2 基于先序遍歷森林的算法

    Gale-Shapley算法只是能找到一個穩(wěn)定匹配結(jié)果。如果我們想找到所有的穩(wěn)定匹配結(jié)果,若用窮舉法解決這個問題,對有N個男人和N個女人的情形,需要考慮N!種可能的婚姻匹配結(jié)果,并且需要對其中每一種婚配方式檢查其是否存在不穩(wěn)定因素。顯然,該算法的復(fù)雜度太大。

    當(dāng)有k(>1)種穩(wěn)定匹配結(jié)果,下面將設(shè)計算法找出這k種穩(wěn)定匹配。可將這N!種可能的婚姻匹配結(jié)果構(gòu)成一森林(見圖1,N=4情形)。樹中各結(jié)點的數(shù)字對應(yīng)女性序號,樹的每一層對應(yīng)同一男性序號(見圖1中最左側(cè)數(shù)字)。從森林中每棵樹的根到葉子結(jié)點路徑上,所有結(jié)點中的數(shù)字組成一個數(shù)字串表示一種完美婚姻匹配。

    例1 第一棵樹最左邊路徑④③②①對應(yīng)的婚姻匹配為:

    man 4 – woman ④、man 3 – woman ③、man 2 – woman ②、man 1 – woman ①

    例2 第二棵樹最右邊路徑③①②④對應(yīng)的婚姻匹配為:

    man 4 – woman ③、man 3 – woman ①、man 2 – woman ②、man 1 – woman ④

    圖1 婚姻匹配森林(N = 4)

    2.1 新算法基本思想

    要檢查每一種婚配方式是否存在不穩(wěn)定因素,可按先序遍歷的順序訪問整個森林,當(dāng)每到一結(jié)點時,需要將此結(jié)點對應(yīng)的配對分別與其祖先的某一些結(jié)點(即滿足一定條件的結(jié)點,后面將做詳細(xì)說明)對應(yīng)的配對按照優(yōu)先表,檢查是否存在不穩(wěn)定因素:

    (1) 假設(shè)不存在不穩(wěn)定因素,若訪問的結(jié)點為葉子結(jié)點,則輸出此穩(wěn)定婚姻匹配;若不是葉子節(jié)點則繼續(xù)向下層遍歷訪問。

    (2) 假設(shè)存在不穩(wěn)定因素,則跳過此結(jié)點及其所有子孫結(jié)點,繼續(xù)向其他分支遍歷訪問。直到遍歷結(jié)束。

    這樣做的優(yōu)點是消除了許多重復(fù)的操作,從而大大節(jié)省了時間。

    2.2 新算法的具體描述

    整個過程按照先序遍歷的順序訪問森林的每個結(jié)點,每到一個結(jié)點按照優(yōu)先表,檢查其配對情況與其祖先的配對情況,看是否存在不穩(wěn)定因素。下面給出求解所有穩(wěn)定婚姻匹配結(jié)果的算法實現(xiàn)描述。該算法實現(xiàn)主要包括兩個過程:一個是主過程GSM(),一個是子過程SM()。

    說明:當(dāng)每到一結(jié)點時,要檢測該結(jié)點對應(yīng)的配對(manX, womanY )加入后是否會出現(xiàn)不穩(wěn)定因素,只需考慮兩種情況[10]:① 男性manX是否會與其他已婚女性產(chǎn)生不穩(wěn)定因素,在這里并不需要考慮所有已婚女子(即其祖先的所有結(jié)點對應(yīng)的配對女性),而只需考慮男性優(yōu)先表中manX 對女性排名的前k-1(k=MXH(manX, womanY))個女性當(dāng)中的已婚女性,因為排名在k以后的已婚女性一定不會與男性manX產(chǎn)生不穩(wěn)定因素;② 女性womanY 是否會與其他已婚男性產(chǎn)生不穩(wěn)定因素,同樣在這里也不需要考慮其所有祖先結(jié)點對應(yīng)的所有已婚男子,而只需考慮女性優(yōu)先表中womanY 對男性排名的前L-1(L =WXH(womanY, manX))個男性中的已婚男性。只有上述兩種情況都為否定,才能繼續(xù)向下遍歷孩子結(jié)點。

    此算法是以遞歸的方式實現(xiàn)。從算法的流程易看出,每種婚姻匹配都已考慮在內(nèi),說明此算法是正確的。此算法的優(yōu)點:對于眾多不同的婚姻匹配,它們包含相同的配對部分是不會重復(fù)判斷的,這樣大大節(jié)省了時間。為了進(jìn)一步提高速度,還可對上述算法進(jìn)一步改進(jìn)。

    3 改進(jìn)算法

    通過對按照“男優(yōu)先”或“女優(yōu)先”實現(xiàn)的Gale-Shapley算法性質(zhì)的研究,可推得如下定理:

    定理對某優(yōu)先表分布情況,分別按照“男優(yōu)先”和“女優(yōu)先”來求得兩個穩(wěn)定婚姻匹配,若這兩個穩(wěn)定婚姻匹配是相同的,則此種情況就只存在一個穩(wěn)定婚姻匹配;若這兩個穩(wěn)定婚姻匹配是不相同的,則此種情況就存在多于1個的穩(wěn)定婚姻匹配。

    證明定理的后半部分顯然正確。下面對定理的前半部分給出證明。

    假設(shè)有N個男人為:A、B、C、D、…、X、…、 Y、…,有N個女人為:a、b、c、d、…、x、…、y、…。“男優(yōu)先”和“女優(yōu)先”兩個穩(wěn)定婚姻匹配結(jié)果相同都是:A-a, B-b, C-c, D-d, …(記為α匹配);

    如果還存在另一個與上不同的穩(wěn)定婚姻匹配,對其中不相同的一部分,不妨可表示為:…, B-x, …, Y-b, …(記為β 匹配)。

    因為α 匹配是按照“男優(yōu)先”或“女優(yōu)先”來求得的,所以根據(jù)前面提到的 Gale-Shapley 算法的性質(zhì)可知:在所有可能的穩(wěn)定婚姻匹配中,b是男性B獲得的最好的女性伴侶,同樣,B是女性b獲得的最好的男性伴侶,這樣,針對β 匹配中,男性B更喜歡女性b勝過x,同樣女性b也更喜歡男性B勝過Y,所以推得β 匹配不是穩(wěn)定婚姻匹配,與假設(shè)不符,所以不會存在其他的穩(wěn)定婚姻匹配?!?/p>

    由上述定理,可得如下推論:

    推論當(dāng)分別按照“男優(yōu)先”和“女優(yōu)先”求得兩個不同的穩(wěn)定婚姻匹配時,若這兩個不同的穩(wěn)定婚姻匹配中有一部分配對是相同的,則:若還存在其他穩(wěn)定婚姻匹配,仍會包含這部分相同的配對。

    證明假設(shè)分別按照“男優(yōu)先”和“女優(yōu)先”求得兩個不同的穩(wěn)定婚姻匹配時,若這兩個不同的穩(wěn)定婚姻匹配中有m個配對是相同的,令:

    這m個配對中男人為:A、B、C、D、…、X、…、Y、…

    女人為:a、b、c、d、…、x、…、y、…

    設(shè)按照“男優(yōu)先”和“女優(yōu)先”得到的兩個穩(wěn)定婚姻匹配中都共同含有如下m個配對:

    A-a, B-b, C-c, D-d, …(記為α 匹配)

    假設(shè)還存在另一個穩(wěn)定匹配其中不完全包括這個公共部分,有不相同處,對其中不相同的一部分,不妨可表示為:

    …, B-x, …, Y-b, …(記為β 匹配)

    剩余部分證明與上述定理的證明相似,在此略?!?/p>

    根據(jù)此推論,可得到改進(jìn)算法的基本思想:首先分別按照“男優(yōu)先”和“女優(yōu)先”求得兩個不同的穩(wěn)定婚姻匹配,根據(jù)推論可知,若這兩個不同的穩(wěn)定婚姻匹配中有m個配對是相同的,則所有穩(wěn)定婚姻匹配中的這一部分是已知的。這樣,在求解之前,可將這些已配對的m個男性和m個女性從問題中刪去。這樣問題就降為求N-m個男人和N-m個女人的穩(wěn)定婚姻匹配了。

    改進(jìn)算法具體描述:

    按“男優(yōu)先”求得一個穩(wěn)定婚姻匹配;

    按“女優(yōu)先”求得另一個穩(wěn)定婚姻匹配; 若二者相同,則輸出這唯一的穩(wěn)定婚姻匹配,退出。

    若二者不相同:

    找出二者相同的配對部分; 若無相同的配對部分,則執(zhí)行GSM( ); 若有m(m≠0)個相同的配對部分,則:

    輸出這m(m≠0)個相同的配對部分;

    將MXH、WXH中的這些男、女對應(yīng)的行列刪除;

    此改進(jìn)算法的正確性說明:此思想是依據(jù)推論,所以已證明。

    此改進(jìn)算法的時間復(fù)雜性分析:

    (1) 若求得的兩個穩(wěn)定婚姻匹配中有m個配對是相同的,問題可就轉(zhuǎn)化為求(N-m)對男女的婚配問題,則圖1中森林的規(guī)模將減小N(N-1)…(N-m+1)倍,所以算法的速度比原算法GSM( )的速度提高N(N-1)…(N-m+1)倍。

    (2) 若求得的兩個穩(wěn)定婚姻匹配中無配對是相同時,也只是多了2次運(yùn)行Gale-Shapley算法的時間,相比之下,不會影響原算法GSM( )的時間復(fù)雜度。

    4 結(jié) 束 語

    穩(wěn)定婚姻問題被應(yīng)用到許多實際問題的處理過程中,例如學(xué)生的入學(xué),工作招聘,醫(yī)生和醫(yī)院進(jìn)行匹配等。為快速找出所有可能的穩(wěn)定匹配結(jié)果,我們設(shè)計了基于先序遍歷森林的快速枚舉算法。利用此算法,對于眾多不同的婚姻匹配,不會重復(fù)判斷它們包含相同的配對子部分,這樣大大節(jié)省了時間。為了進(jìn)一步提高速度,由Gale-Shapley算法的性質(zhì)證明得到了一個定理及其推論,并利用推論對算法做了進(jìn)一步改進(jìn)。在滿足推論的特定狀況下,提高了原算法的執(zhí)行時間。

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