兩面多框可構(gòu)視圖中存在不可構(gòu)表面的條件

周宗團(tuán)， 曹 敏， 陳翔鶴

（西安工程大學(xué)，陜西 西安 710048）

在對可構(gòu)視圖研究的過程中，發(fā)現(xiàn)在有些可構(gòu)視圖中存在有不可構(gòu)表面，也就是說，由這類可構(gòu)視圖構(gòu)造空間形體時，有某些封閉圖框所表達(dá)的表面形狀始終保持不變。那么，可構(gòu)視圖在滿足什么條件時會存在不可構(gòu)表面呢？如果弄清楚這個問題，不僅可指導(dǎo)人們按照自己的意圖設(shè)計可構(gòu)視圖，而且可大大提高人們構(gòu)形設(shè)計的速度和準(zhǔn)確性。

陳翔鶴曾對文獻(xiàn)[1]中可構(gòu)視圖中存在不可構(gòu)表面的條件進(jìn)行過研究，指出在單面單框視圖、單面多框視圖和兩面單框視圖中均不存在不可構(gòu)表面，并歸納出在兩面多框可構(gòu)視圖中存在不可構(gòu)表面的條件。但在教學(xué)實踐的過程中，發(fā)現(xiàn)當(dāng)時歸納的規(guī)律有不全面和不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牡胤?，這里對兩面多框可構(gòu)視圖中存在不可構(gòu)表面的條件又重新進(jìn)行了系統(tǒng)研究和歸納，望同行專家指正。

1 兩面多框可構(gòu)視圖中存在不可構(gòu)表面的條件

（1） 當(dāng)兩面多框可構(gòu)視圖中存在有對稱同類形圖框時，則該對稱同類形圖框分別為形體上兩個不可構(gòu)表面[2]。

在這里，對稱同類形圖框必須具有以下3 個特征：① 圖框的邊數(shù)相同，點對應(yīng)點、直線對應(yīng)直線、直角邊對應(yīng)直角邊；② 圖框上必存在與某投影軸平行的一對應(yīng)邊，且該對應(yīng)邊距所平行的投影軸的距離最近；③ 圖框上至少有一對應(yīng)邊與可構(gòu)視圖中同面點集反向傾斜相交或反向傾斜。換句話說，如果設(shè)定的兩面多框可構(gòu)視圖為主、俯視圖時，對稱同類形圖框上必有一對應(yīng)邊同時平行于X 軸，且該對應(yīng)邊距X 軸距離最近；如果設(shè)定的兩面多框可構(gòu)視圖為主、左視圖時，則對稱同類形圖框上必有一對應(yīng)邊都平行于Z 軸，且該對應(yīng)邊距Z 軸距離最近；滿足以上3個幾何特征的封閉圖框即為對稱同類形圖框。

如圖1(a)所示的主視圖和俯視圖是一組兩面多框可構(gòu)視圖，該組視圖均由兩個封閉圖框組成且為對稱形狀，主視圖2′、3′兩點連線和俯視圖1、3 兩點連線均與左右兩側(cè)的同面點集反向傾斜相交，由于在△153 和△2′3′4′這對對稱同類形圖框中，圖框線1、5 和圖框線2′、4′都平行X 軸（15//2′4′//X 軸），且兩圖框線距離X 軸最近，因此，a′和b 兩封閉圖框為對稱同類形圖框，它們是形體上兩個不可構(gòu)表面。通過進(jìn)一步分析可以看出，a′和b 兩封閉圖框是形體上兩個不同表面的投影，如A 面為一正平面，B 面為一水平面，因此，在構(gòu)造空間形體時，該對稱同類形圖框所表達(dá)的表面形狀始終保持不變，如圖1 所示[3]。

在圖1 所示視圖中的另外兩個封閉圖框△123和△1′2′3′中，雖然也有一對應(yīng)邊平行X 軸（1′3′//23//X 軸），但這兩條邊到X 軸的距離不是最小，所以△123 和△1′2′3′不是對稱同類形圖框，它們是對應(yīng)同類形圖框。通過進(jìn)一步分析可以看出，由于在△123 和△1′2′3′這對對應(yīng)同類形圖框中含有同面點集，因此該對應(yīng)同類形圖框是形體上的可構(gòu)結(jié)構(gòu)。

圖1 存在不可構(gòu)表面的視圖

在圖2、圖3 和圖4 中的a′和b"兩封閉圖框均滿足對稱同類形圖框的三個條件，因此，a′和b"是對稱同類形圖框；在圖5、圖6 和圖7 中a′和b 兩封閉圖框也為對稱同類形圖框，它們都是形體上的不可構(gòu)表面[4]。

圖2 具有對稱同類形圖框

圖3 具有對稱同類形圖框

圖4 具有對稱同類形圖框

圖5 具有對稱同類形圖框

圖6 具有對稱同類形圖框

圖7 具有對稱同類形圖框

（2） 當(dāng)兩面多框可構(gòu)視圖中存在不含有同面點集的對應(yīng)同類形圖框時，則該對應(yīng)同類形圖框為形體上一個不可構(gòu)表面（對應(yīng)同類形圖框的定義與文獻(xiàn)[5]完全相同）。

如圖8 所示，a′和a 是一對不含同面點集的對應(yīng)三角形，它們是形體上同一個面的兩個投影，因此，在構(gòu)造空間形體時，該對應(yīng)同類形圖框所表達(dá)的表面形狀始終保持不變。而其余兩個對應(yīng)封閉圖框，均為含有同面點集的對應(yīng)三角 形圖框，因此它們是視圖中的可構(gòu)結(jié)構(gòu)。

圖8 不含同面點集的對應(yīng)同類形圖框

圖9 所示的a′和a 也是一對不含同面點集的對應(yīng)梯形，它們也是形體上同一個面的兩個投影，因此，在構(gòu)造空間形體時，該對應(yīng)同類形圖框所表達(dá)的表面形狀始終保持不變。

圖9 不含同面點集的對應(yīng)同類形圖框

（3） 當(dāng)兩面多框可構(gòu)視圖中存在含有同面點集的非三角形的對應(yīng)多邊同類形圖框，且該圖框線中至少有一對應(yīng)邊與同面點集傾斜或斜交時，則該對應(yīng)同類形圖框亦為形體上的一個不可構(gòu)表面。

如圖10 所示的a′和a 為含有同面點集對應(yīng)五邊同類形圖框，且兩封閉圖框中有一條圖框線與一同面點集斜交， 因此，在構(gòu)造空間形體時，該對應(yīng)同類形圖框所表達(dá)的表面形狀也始終保持不變。圖11 所示的b′和b"兩封閉圖框和圖12所示的c′和c 兩封閉圖框雖然都含有同面點集，但在各封閉圖框圖中至少有一條圖框線與同面點集傾斜，因此，在構(gòu)造空間形體時，該對應(yīng)同類形圖框所表達(dá)的表面形狀也始終保持不變。

（4） 當(dāng)一投影直線與一封閉圖框?qū)?yīng)，且該封閉圖框線不與視圖中兩同面點集出現(xiàn)部分重合時，該封閉圖框亦為不可構(gòu)表面。

由正投影原理可知，當(dāng)一封閉圖框與一投影直線對應(yīng)時，所表示的空間平面有兩種情況：一是當(dāng)投影直線處于平行于某投影軸線時，該投影直線表示的是投影面平行面；二是當(dāng)投影直線傾斜于某投影軸線時，表示的是投影面垂直面；因此，這時該封閉圖框所表示的平面均為不可構(gòu)表面。如圖13 所示，B、C、D、E、F 面均為不可構(gòu)表面，其中B、C 為對稱同類形圖框；D、E面均為投影面平行面；F 面是一鉛垂面。而A 是含有同面點集的對應(yīng)三角形圖框，因此該對應(yīng)同類形圖框是形體上的可構(gòu)結(jié)構(gòu)。

圖10 含同面點集的對應(yīng)多邊同類形圖框

圖11 含同面點集的對應(yīng)多邊同類形圖框

圖12 含同面點集的對應(yīng)多邊同類形圖框

圖13 封閉圖框與一投影直線對應(yīng)

在圖14 所示中的C、D 面均為不可構(gòu)表面，其中C 為一對應(yīng)同類形圖框；D 是一直線對應(yīng)封閉圖框的水平面。值得注意的是，雖然E 也是一直線對應(yīng)一封閉圖框，但由于該封閉圖框的左右兩邊線與視圖中的外輪廓的兩同面點集出現(xiàn)部分重合，因此，這時E 面是可構(gòu)表面而非不可構(gòu)表面。而A、B 是含有同面點集的對應(yīng)三角形圖框和矩形圖框，因此該兩個對應(yīng)同類形圖框是形體上的可構(gòu)結(jié)構(gòu)[6]。

圖14 封閉圖框線與視圖中兩同面點集重合

2 結(jié) 論

通過以上對兩面多框可構(gòu)視圖中存在不可構(gòu)表面的條件的分析，可得出以下結(jié)論：

（1） 當(dāng)兩面多框可構(gòu)視圖中存在有對稱同類形圖框時，則該對稱同類形圖框分別為形體上兩個不可構(gòu)表面；

（2） 當(dāng)兩面多框可構(gòu)視圖中存在不含有同面點集的對應(yīng)同類形圖框時，則該對應(yīng)同類形圖框亦為不可構(gòu)表面。

（3） 當(dāng)兩面多框可構(gòu)視圖中存在含有同面點集的非三角形的對應(yīng)多邊同類形圖框，且該圖框線中至少有一對應(yīng)邊與同面點集傾斜或斜交時，則該對應(yīng)同類形圖框亦為不可構(gòu)表面。

（4） 當(dāng)一投影直線與一封閉圖框?qū)?yīng)，且該封閉圖框線不與視圖中兩同面點集出現(xiàn)部分重合時，該封閉圖框亦為不可構(gòu)表面。

[1] 陳翔鶴. 可構(gòu)視圖中存在不可構(gòu)表面的條件[J]. 華中師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2006, (4)： 61-63.

[2] 陳翔鶴. 常見不定形投影及其空間構(gòu)形分析[J]. 陜西工學(xué)院學(xué)報, 1998, (1)： 83-87.

[3] 陳翔鶴, 陸國棟. 兩面可構(gòu)視圖的空間構(gòu)形方法研究[J]. 工程圖學(xué)學(xué)報, 2006, 27(3)： 151-155.

[4] [蘇聯(lián)]A C 普加切夫著. 制圖思考題200 例[M]. 葉 蕊譯. 北京： 北京出版社, 1990. 13-34.

[5] 陳翔鶴, 陸國棟. 視圖的可構(gòu)性分析及其空間構(gòu)形方法研究[J]. 工程圖學(xué)學(xué)報, 2006, 27(3)： 146-150.

[6] 陳翔鶴. 存在不可構(gòu)表面的可構(gòu)視圖的構(gòu)形設(shè)計方法[J]. 西安工程科技學(xué)院學(xué)報, 2006, (4)： 475-477.