“同增同減”還是“一增一減”?

殷建樓

1 問題的提出

現(xiàn)行高中物理教材(人教版選修3-4P78)給出了某一時刻沿z軸傳播的平面正弦電磁波的波形圖,如圖1所示。圖中體現(xiàn)了在電磁波的傳播過程中,同一時刻同一地點的電場強(qiáng)度E和磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小同時增大或同時減小。這使得很多學(xué)生不解:既然E、B是相互激發(fā)的關(guān)系,那么隨時間按正弦規(guī)律變化的場應(yīng)激發(fā)隨時間按余弦規(guī)律變化的場,即在E、B兩者中,一者增加,另一者應(yīng)該減小,即兩者間應(yīng)該有π2的相位差,怎么會是同增同減的關(guān)系?

本文將從麥克斯韋方程組的兩個環(huán)路定理出發(fā),討論該問題。

2 同一點E、B兩矢量成正比的推證

2.1 準(zhǔn)備知識:兩個環(huán)路定理

以真空為例,電場和磁場相互激發(fā),遵循兩個環(huán)路定理。

電場的環(huán)路定理:∮E?dl=-dφ瑽dt (E指電場強(qiáng)度、φ瑽=B?S指磁通量),這個定理表明了磁場激發(fā)電場時,電場強(qiáng)度E與磁感應(yīng)強(qiáng)度B之間的激發(fā)關(guān)系,等式兩邊分別是E的環(huán)路積分和磁通量φ瑽的導(dǎo)數(shù),并不是E與B間簡單的導(dǎo)數(shù)關(guān)系。這個定理其實與法拉第電磁感應(yīng)定律ε=-dφ瑽dt(負(fù)號代表的是感應(yīng)電動勢的方向與磁通量的變化之間成右手反螺旋關(guān)系)表述相同的內(nèi)容:電動勢與磁通量之間的導(dǎo)數(shù)關(guān)系。

磁場的環(huán)路定理:∮Bμ0?dl=ε0dφ璄dt(μ0:真空磁導(dǎo)率,ε0:真空介電常數(shù),φ璄=E?S指電通量),這個定理表明電場激發(fā)磁場時,磁感應(yīng)強(qiáng)度B與電場強(qiáng)度E之間的激發(fā)關(guān)系,等式兩邊分別是B的環(huán)路積分和電通量φ璄的導(dǎo)數(shù),也并不是簡單的B與E的導(dǎo)數(shù)關(guān)系。

2.2 E、B兩矢量成正比的推證

以正弦磁場激發(fā)電場為例,如圖2所示,設(shè)一平面電磁波沿z軸傳播,磁場矢量沿x軸,其磁場波方程為B=B璵sinω(t-zv),則此變化的磁場將激發(fā)沿y軸的電場,從而激發(fā)沿z軸傳播的電場波。

為簡單起見,將圖2改畫成如圖3所示的示意圖。在yOz平面內(nèi)取一閉合曲線12341,從B矢量振動的角度來說,由于空間各點的B隨時間變化(如圖3中磁感應(yīng)強(qiáng)度從B變?yōu)锽′),從而導(dǎo)致穿過平面12341的磁通量發(fā)生變化,進(jìn)而激發(fā)電場,產(chǎn)生電場波;異或從磁場波的傳播來說,由于波形的平移,導(dǎo)致穿過閉合曲線12341圍成的平面的磁通量發(fā)生變化,從而產(chǎn)生電場,激發(fā)電場波。

取極短的時間dt,磁場波向右平移vdt的距離,移至虛線處,穿過閉合曲線12341的磁通量的變化可認(rèn)為由兩部分構(gòu)成:圖中左側(cè)陰影區(qū)磁通量的加入和右側(cè)陰影區(qū)磁通量的移出。將環(huán)路定理∮E?dl=-dφ瑽dt應(yīng)用于12341曲線,設(shè)1處激發(fā)的電場強(qiáng)度為E1,4處激發(fā)的電場強(qiáng)度為E4,l12=l34=l。等式左端:∮12341E?dl=E1l12-E4l34;又設(shè)t時刻1處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B1,4處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B4,則12341平面的磁通量的變化為:dφ瑽=B1lvdt-B4lvdt。等式右邊:-dφ瑽dt=-B1lvdt-B4lvdtdt=-lv(B1-B4)。所以,-lv(B1-B4)=l(E1-E4),即-v(B1-B4)=E1-E4。因為此式對任何曲線均成立,若僅考慮大小,則應(yīng)有E1=vB1,E4=vB4成立,所以對于z軸上的任一點均有E=vB,即z軸上任一點B與E成正比。也就是說若有一沿z軸傳播的磁場波,必定激發(fā)一同頻同相的沿z軸傳播的電場波,二者形成不可分割的統(tǒng)一體:平面電磁波。

同樣,一列正弦電場波也必然激發(fā)一同頻同相變化的正弦磁場波,證明過程同上。由以上分析可知平面電磁波傳播過程中的同一點E、B兩矢量應(yīng)該是正比關(guān)系。

3 與中學(xué)常見的一類習(xí)題辨析

如圖4所示,在某空間區(qū)域存在一變化磁場,B=B0sinωt,在磁場中垂直于磁場放有一半徑為r的金屬環(huán),試分析金屬環(huán)所在處的感應(yīng)電場隨時間變化的規(guī)律。

分析 變化的磁場將會激發(fā)感生電場,其電場線為一組同心圓,如圖中虛線。

因中學(xué)階段沒有介紹環(huán)路定理,所以此題也可用法拉第電磁感應(yīng)定律求解。

穿過金屬環(huán)的磁通量為

=B0sinωt?πr2

金屬環(huán)中的感應(yīng)電動勢

ε=Δ雞t=B0ωπr2cosωt

則環(huán)所在處的電場強(qiáng)度為

E=εd=B0ωπr2cosωt2πr

=B0ωrcosωt2

此題中電場與磁場是導(dǎo)數(shù)關(guān)系,存在π2的相位差,一者增加另一者減少。但此題中變化的磁場與平面電磁波中的磁場波并不遵循相同的規(guī)律,此題的磁感應(yīng)強(qiáng)度雖然隨時間按正弦變化,但空間各點磁場變化同步;而平面電磁波中的磁場波傳播過程中磁感應(yīng)強(qiáng)度不僅隨時間變化也隨空間變化,即空間各點磁場不同步,兩種情形下磁通量的變化率不同,也就激發(fā)出不同規(guī)律變化的電場。

(欄目編輯羅琬華)