在初中數(shù)學教學中滲透和應用建模思想

李春月

數(shù)學建模是一種極為重要的數(shù)學思想方法,初中階段數(shù)學活動就是數(shù)學模型的建立與處理。在教學中,滲透和應用建模思想是每位數(shù)學教師的責任。

課程標準指出,“‘數(shù)與代數(shù)的內容主要包括數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù),它們都是研究數(shù)量關系和變化規(guī)律的數(shù)學模型,可以幫助人們從數(shù)量關系的角度更準確、清晰地認識、描述和把握現(xiàn)實世界”,“體會數(shù)學與現(xiàn)實生活的緊密聯(lián)系,增強應用意識,提高運用代數(shù)知識與方法解決問題的能力”,“在教學中,應注重讓學生在現(xiàn)實背景中理解基本的數(shù)量關系和變化規(guī)律,注重使學生經歷從實際問題中建立數(shù)學模型、估計、求解、驗證解的正確性與合理性的過程……”。現(xiàn)在強調數(shù)學建模,主張在數(shù)學教學中突出數(shù)學思想的來龍去脈,揭示數(shù)學概念和公式的實際來源和應用,恢復并暢通數(shù)學與外部世界的聯(lián)系,其依據(jù)就在這里。

那么,什么是數(shù)學模型呢?按照徐利治先生在《數(shù)學方法論選講》一書中的提法,可以做這樣的解釋:所謂數(shù)學模型,是指針對或參照某種事物的特征或數(shù)量相依關系,采用形式化的數(shù)學語言,概括地或近似地表述出來的一種數(shù)學結構。徐利治先生在該書中還對數(shù)學模型作了廣義解釋:凡一切數(shù)學概念、數(shù)學理論體系、各種數(shù)學公式、各種方程(代數(shù)方程、函數(shù)方程、微分方程、差分方程、積分方程……)以及由公式系列構成的算法系統(tǒng)都可稱之為數(shù)學模型。

數(shù)學是關于模式的科學,數(shù)與代數(shù)中有大量的規(guī)律、公式和算法。對于數(shù)與代數(shù)的學習來說,重要的是要讓學生學會探求模式,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,而不是死記結論,死套公式和法則。在教學過程中,教師不是引導學生簡單地從幾個問題的例子作為靶子,直接得出概念、定律等,而是讓學生進一步思考這幾個問題是不是生活中的特例,大家的發(fā)現(xiàn)是不是具有普遍性,不妨把它作為一種猜想,要想驗證這個猜想,還需要大量地舉例。學生經歷猜想——舉例——驗證——得出結論這樣的探索過程。只有經過自己的探索,才能不僅“知其然”,而且“知其所以然”,才能真正獲得知識,懂得公式的意義,掌握公式的應用。學過的公式,即使忘記,自己還可以推出來;而且通過探求若干公式的活動,可以提高探索能力,舉一反三,探求新的公式,也有利于探索和掌握數(shù)與代數(shù)的運算和規(guī)律。讓學生運用所學知識,觀察、分析、測量、討論、建模、解決實際問題,使學生能夠透過紛繁復雜的現(xiàn)象抽象、概括其本質,嘗試將具體問題轉化為數(shù)學模型。建立一個問題解決的數(shù)學模型,通過對實際問題的信息進行分析處理,提出必要的假設,并進行數(shù)學的抽象與概括,從而建立起某種特定的數(shù)量關系,利用相關的知識使問題得到解決,形成數(shù)學建模思想。

數(shù)學建模作為一種思想方法,首先它可以與數(shù)學基礎知識的教學相依隨,經常滲透,逐漸升華。通過解讀信息,深刻分解實際問題的背景,挖掘實際問題的內在規(guī)律,明確所求結論和對所求結論的限制條件。第二,簡化信息。根據(jù)實際問題的特征和建模的目的,對問題進行必要簡化。抓住主要因素,拋棄次要因素,根據(jù)數(shù)量關系,聯(lián)系數(shù)學知識和方法,用精確的語言作出假設。第三,抽象成數(shù)學問題(即模型一)。將已知條件與所求問題聯(lián)系起來,將文字語言翻譯成數(shù)學語言,將生活問題抽象成數(shù)學問題。

當然,在基礎教學中,并不是用過多的有關數(shù)學建模的術語,而主要的還是通過具體問題的提出和解決過程讓學生體會到數(shù)學建模的思想。

若按初中數(shù)學體系分,有依據(jù)相等關系抽象成的方程模型,以解決利息和稅率、百分率、工程及勞力調配等問題;有依據(jù)平面幾何性質抽象成的幾何模型,以解決零件加工、殘輪修復、工程選點、道路設計及飛輪、皮帶、拱橋等計算的問題;對測高量距、航海、機翼、渠壩坡比、燕尾槽、屋架的計算等應用問題可建立三角模型予以解決;還可建立直角坐標系模型,以解決投物、射擊、噴灌等物體運動的軌跡有某種規(guī)律,或者變量的變化具有某種函數(shù)關系的實際問題;在市場經濟大潮中,人們更加注重對普遍存在的諸如造價最低,產出、利潤最大,風險決策、股市、期貨、開源節(jié)流、扭虧增盈、最優(yōu)化等問題的研究,可透過實際問題的背景,抓住本質,挖掘隱含的數(shù)量關系,抽象成函數(shù)的(區(qū)間)極值(目標)模型等。

學生通過建模求解,體會到科學、正確決策的意義和作用,也體會到正確的決策離不開數(shù)學。在實際操作中,數(shù)學建模問題難易應適中,以創(chuàng)新性、現(xiàn)實性、真實性、合理性、有效性等幾個方面作為標準,千萬不要搞一些脫離中學生實際的建模教學,題目難度要適度,這樣才能更好地使學生有參與建模教學的積極性,保持建模教學的活動,真正使建模為我所用。

(作者單位:甘肅省天?？h新華中學)