帶電粒子在高考中的“偏轉(zhuǎn)”

張　勇

做適量習(xí)題是物理學(xué)習(xí)過程中的重要環(huán)節(jié)之一。在解答習(xí)題時(shí)，重視典型高考題的演變，即對(duì)原有習(xí)題的某個(gè)條件、假設(shè)或環(huán)節(jié)進(jìn)行變化、引申和拓展，可讓我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)一些高考題之間的共同本質(zhì)。

帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)是近年高考的熱點(diǎn)之一。2008年各省高考試題中許多計(jì)算題都涉及帶電粒子的偏轉(zhuǎn)。如2004年全國(guó)卷的第24題，在近五年的高考題中與之類似的題目一再出現(xiàn)。

原型

（2004?全國(guó)） 如圖1所示，在y＞0的空間中存在勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)沿y軸負(fù)方向；在y＜0的空間中，存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直xy平面（紙面）向外。一電荷量為q、質(zhì)量為m的帶正電的運(yùn)動(dòng)粒子，經(jīng)過y軸上y＝h處的點(diǎn)P1時(shí)速率為v0，方向沿x軸正方向；然后，經(jīng)過x軸上x＝2h處的P2點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，并經(jīng)過y軸上y＝-2h處的P3點(diǎn)。不計(jì)重力，求：

（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小。

（2）粒子到達(dá)P2時(shí)速度的大小和方向。

（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小。

解析 粒子從P1處飛進(jìn)電場(chǎng)，在不計(jì)重力的情況下受電場(chǎng)力向下，粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，飛進(jìn)磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，這是簡(jiǎn)單的兩種運(yùn)動(dòng)相結(jié)合的題目。由2OP1=OP2＝2h容易想到運(yùn)用類平拋運(yùn)動(dòng)方法解答，得出進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的入射角，這為畫出粒子在磁場(chǎng)里的軌跡提供了必要條件，從而得出粒子的軌道半徑。

解：（1）粒子在電場(chǎng)、磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖２所示。設(shè)粒子從P1到P2的時(shí)間為t，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為E，粒子在電場(chǎng)中的加速度為a，由牛頓第二定律及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有：

qE＝ma①

v0t＝2h ②

at2=h③

由①②③式解得

E=④

（2）粒子到達(dá)P2時(shí)速度沿x軸方向的分量仍為v0，以v1表示速度沿y軸方向分量的大小，v表示速度的大小，θ表示速度和x軸的夾角，則有

v21=2ah ⑤

v=⑥

tanθ=⑦

由②③⑤式得

v1=v0⑧

由⑥⑦⑧式得

v=v⑨

θ=45° ⑩

（3）設(shè)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，在洛倫茲力作用下粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律有：

qvB=m

r是圓周的半徑，此圓周與x軸和y軸的交點(diǎn)分別為P2、P3。因?yàn)镺P2＝OP3，θ＝45°，由幾何關(guān)系可知，連線P2P3為圓軌道的直徑，由此可求得

r＝h

由⑨可得

B=

從題目來看：還有很多可以進(jìn)一步探討的余地，比如利用已知條件還可以求出進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度，從而可以求P1到P2的電勢(shì)差，利用圓周運(yùn)動(dòng)周期公式及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可以求出整個(gè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。

相關(guān)鏈接之一

（2008?天津） 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，玉象限存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，第Ⅳ象限存在垂直于坐標(biāo)平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子從y軸正半軸上的M點(diǎn)以速度v0垂直于y軸射入電場(chǎng)，經(jīng)x軸上的N點(diǎn)與x軸正方向成θ=60°角射入磁場(chǎng)，最后從y軸負(fù)半軸上的P點(diǎn)垂直于y軸射出磁場(chǎng)，如圖3所示。不計(jì)粒子重力，求：

（1）M、N兩點(diǎn)間的電勢(shì)差U。

（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r。

（3）粒子從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的總時(shí)間。

解析 本題幾乎可以看成是2004年全國(guó)卷24題的重考，情景完全相同，只是由于給出的條件在數(shù)值上有所差異，在解題時(shí)軌道半徑稍微難找一點(diǎn)，其他基本相同。

解：（1）設(shè)粒子過N點(diǎn)時(shí)的速度為v，有=cosθ

∴ v=2v

粒子從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的過程，有

qU=mv2－mv20

解得：U=

（2）粒子在磁場(chǎng)中以O(shè)′為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為O′N，如圖4所示，有qvB=

r=（3）由幾何關(guān)系得：ON=rsinθ

設(shè)粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，有ON=vt

得：t=

粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T=

設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，有t=T

得：t=

t=t+t

t=。

相關(guān)鏈接之二

（２０07?全國(guó)）如圖5所示，在坐標(biāo)系xOy的玉象限中存在沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E。在其他象限中存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里。A是y軸上的一點(diǎn)，它到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為h；C是x軸上的一點(diǎn)，到O的距離為l。一質(zhì)量為m，電荷量為q的帶負(fù)電的粒子以某一初速度沿x軸方向從A點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)區(qū)域，繼而通過C點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域。并再次通過A點(diǎn)，此時(shí)速度方向與y軸正方向成銳角。不計(jì)重力作用，試求：

（1）粒子經(jīng)過C點(diǎn)速度的大小和方向。

（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B。

解析 本題是壓軸題，找粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑時(shí)顯得比較麻煩，利用的數(shù)學(xué)知識(shí)也較前兩題稍微復(fù)雜一點(diǎn)，但問題情景并無本質(zhì)區(qū)別，只是將磁場(chǎng)的范圍加大，要求考生對(duì)空間關(guān)系處理和定量表達(dá)更復(fù)雜一點(diǎn)。

解：（1）用a表示粒子在電場(chǎng)作用下的加速度，有

qE＝ma①

加速度沿y軸負(fù)方向。設(shè)粒子從A點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的初速度為v，由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間為t，則有

h＝at②

l＝vt③

由②③式得v＝l ④

設(shè)粒子從Ｃ點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v，v垂直于x軸的分量v＝ ⑤

由①④⑤式得

v＝＝⑥

設(shè)粒子經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)的速度方向與x軸的夾角為α，則有

tanα＝⑦

由④⑤⑦式得α＝arctan ⑧

（2）粒子經(jīng)過C點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)后在磁場(chǎng)中做速率為v的圓周運(yùn)動(dòng)。若圓周的半徑為R，則有

qvB＝m⑨

如圖6所示，設(shè)圓心為P，則PC必與過C點(diǎn)的速度垂直，且有PC＝PA＝R。用β表示PA與y軸的夾角，由幾何關(guān)系得

Rcosβ＝Rcosα＋h ⑩

Rsinβ＝l－Rsinα

由⑧⑩式解得

R＝

由⑥⑨式得

B＝

相關(guān)鏈接之三

（2008?寧夏）如圖7所示，在xOy平面的第一象限有一勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)的方向平行于y軸向下；在x軸和第四象限的射線OC之間有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，方向垂直于紙面向外。有一質(zhì)量為m，帶電荷量+q的質(zhì)點(diǎn)由電場(chǎng)左側(cè)平行于x軸射入電場(chǎng)。質(zhì)點(diǎn)到達(dá)x軸上A點(diǎn)時(shí)，速度方向與x軸的夾角為φ，A點(diǎn)與原點(diǎn)O的距離為d。接著，質(zhì)點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，并垂直于OC飛離磁場(chǎng)。不計(jì)重力影響。若OC與x軸的夾角也為φ，求：

（1）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)速度的大小。

（2）勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小。

解析 本題沒有給出入射點(diǎn)的坐標(biāo)，解題的切入點(diǎn)就改為了磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡。

解：（1）如圖8所示，質(zhì)點(diǎn)在磁場(chǎng)中的軌跡為一圓弧。由于質(zhì)點(diǎn)飛離磁場(chǎng)時(shí)，速度垂直于OC，故圓弧的圓心在OC上。依題意，質(zhì)點(diǎn)軌跡與x軸的交點(diǎn)為A，過A點(diǎn)作與A點(diǎn)的速度方向垂直的直線O′A，與OC交于O＇。由幾何關(guān)系知，O′A垂直于O′C，O′是圓弧的圓心。設(shè)圓弧的半徑為R，則有

R=dsinφ①

由洛倫茲力公式和牛頓第二定律得

qvB=m ②

將①式代入②式，得

v=sinφ③

（2）質(zhì)點(diǎn)在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)為類平拋運(yùn)動(dòng)。設(shè)質(zhì)點(diǎn)射入電場(chǎng)的速度為v0，在電場(chǎng)中的加速度為a，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則有

v0＝vcosφ ④

vsinφ＝at⑤

d=v0t ⑥

聯(lián)立④⑤⑥得

a= ⑦

設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為E，由牛頓第二定律得

qE＝ma⑧

聯(lián)立③⑦⑧得

E=sin3φcosφ ⑨

綜上所述，高考物理計(jì)算題雖然比較難，每年高考中會(huì)出現(xiàn)許多新題型，但在考卷中所占比例并不大。大量的題目仍能從過去的考題中找到相近甚至相同的情景。我們復(fù)習(xí)時(shí)有必要對(duì)高考典型題目作細(xì)致分析，從不同角度去審視這些問題情景的可變性和設(shè)問角度的開放性，做一道題，會(huì)一類題，達(dá)到以少勝多，提高復(fù)習(xí)成效。