中學(xué)生應(yīng)該掌握的數(shù)學(xué)基本思想

李登禎

數(shù)學(xué)思想方法產(chǎn)生于數(shù)學(xué)知識(shí)，數(shù)學(xué)知識(shí)又蘊(yùn)涵著數(shù)學(xué)思想方法，二者是相輔相承，缺一不可的。數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法的辯證統(tǒng)一決定了在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中強(qiáng)調(diào)落實(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，還要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的滲透。

由于長期以來受高考指揮棒的束縛，教學(xué)中往往過于強(qiáng)調(diào)對(duì)定義、定理、公式等的灌輸和良好的記憶方法，而往往忽視了對(duì)這些定義、定理、公式等的產(chǎn)生、發(fā)展的進(jìn)一步挖掘，經(jīng)驗(yàn)少的教師就不善于將處理這些知識(shí)的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行高度的抽象和概括。長期以來的教學(xué)過程告訴我們，不注意數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)，將導(dǎo)致數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量提高緩慢，學(xué)生高分低能，很難適應(yīng)較高層次的學(xué)習(xí)，而且會(huì)嚴(yán)重阻礙學(xué)生創(chuàng)造性思維能力的形成與發(fā)展。

日本學(xué)者米山國藏曾指出：“無論是對(duì)于科學(xué)工作者、技術(shù)人員還是教育工作者，最重要的是數(shù)學(xué)的精神、思想和方法，而數(shù)學(xué)知識(shí)只是第二位的”，即強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法的重要性。下面就中學(xué)生應(yīng)該掌握的數(shù)學(xué)思想方法加以分析論述。

一、集合思想

集合論已成為數(shù)學(xué)學(xué)科各分支統(tǒng)一的概念框架，又作為數(shù)學(xué)各科通用的數(shù)學(xué)語言。集合的元素可以是任意的對(duì)象，這就使數(shù)學(xué)應(yīng)用的領(lǐng)域大大拓寬，集合運(yùn)算與邏輯運(yùn)算之間可以建立同構(gòu)關(guān)系。因此，滲透集合思想便可使數(shù)學(xué)與邏輯更趨于統(tǒng)一、簡捷。

中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)及早滲透集合思想，使學(xué)生先了解集合的意義及其表示形式，并逐漸學(xué)會(huì)用集合的觀點(diǎn)看待數(shù)學(xué)研究的對(duì)象，最后引入集合的運(yùn)算和集合元素之間的對(duì)應(yīng)，集合的思想要貫穿于中學(xué)數(shù)學(xué)具體內(nèi)容的各個(gè)部分及學(xué)生數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)的各個(gè)環(huán)節(jié)。

二、優(yōu)化思想

所謂優(yōu)化思想是指在某些制定條件下，力求獲得“最優(yōu)”或“最佳”的結(jié)果。這一思想在當(dāng)今以及未來社會(huì)發(fā)展中極其重要。如股票、投資、購房、買車等逐漸進(jìn)入家庭，“最好、最大、最省、最小”等問題，無一不是最優(yōu)化問題。現(xiàn)行中學(xué)教材正在有意識(shí)地增加這方面的應(yīng)用，高中教材以章節(jié)的形式加以分析，如線性規(guī)劃是以單純形算法為開端。最優(yōu)化的難題和富有成效的應(yīng)用都將成為數(shù)學(xué)研究的前沿方向之一。那么，中學(xué)教學(xué)應(yīng)有利于培養(yǎng)學(xué)生形成自覺地應(yīng)用優(yōu)化思想，及有效的優(yōu)化方法，并適時(shí)運(yùn)用到未來的社會(huì)實(shí)踐中去。

三、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合，就是在解決代數(shù)問題時(shí)，想到它的圖形，從而啟發(fā)思維，找到解題的新路子，或者在研究圖形時(shí)，利用代數(shù)的性質(zhì)，來解決圖形的有關(guān)方面的問題?！靶巍敝械娜舾闪吭谝欢ǖ臈l件下可以分解為若干個(gè)確定的“數(shù)”，體現(xiàn)了內(nèi)容與形式的辯證統(tǒng)一。

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合不僅強(qiáng)調(diào)字母可以表示數(shù)，還可以表示式和圖形。如：列方程解應(yīng)用題時(shí)，可利用各種形象化的示意圖；在線段、角的計(jì)算中，恰當(dāng)?shù)卦O(shè)未知量，列出方程或方程組，通過解方程或方程組去解決問題。中學(xué)數(shù)學(xué)中還有許多，數(shù)形結(jié)合的素材。如：正弦定理、余弦定理、函數(shù)與圖象、方程與曲線、函數(shù)與不等式等，這些都需要在教學(xué)中認(rèn)真挖掘，從而開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力、發(fā)散思維能力。

四、函數(shù)與方程的思想

函數(shù)思想是指變量與變量之間的一種對(duì)應(yīng)思想，或者說是從一個(gè)集合到另一個(gè)集合的一種映射思想。它是數(shù)學(xué)從常量到變量的樞紐，能使數(shù)學(xué)有效地揭示事物運(yùn)動(dòng)變化的規(guī)律，反映事物間的相互聯(lián)系。方程思想則是函數(shù)思想的具體體現(xiàn)，是已知量和未知量的矛盾統(tǒng)一體，是變量與變量互相制約的條件，它反映了已知量和未知量之間的內(nèi)在聯(lián)系。在中學(xué)數(shù)學(xué)中強(qiáng)化函數(shù)與方程的思想，需要貫穿于整個(gè)教學(xué)的始終。

五、化歸思想

根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在的聯(lián)系與矛盾，通過對(duì)數(shù)學(xué)形式的內(nèi)部或外部的變更，尋求問題與已有經(jīng)驗(yàn)的邏輯關(guān)系，通過觀察、聯(lián)想、類比，使數(shù)學(xué)問題規(guī)范化或簡單化。

數(shù)學(xué)問題在求解時(shí)，往往有俗成的套路，或處理問題的固定的程序，這樣的問題就稱作規(guī)范化問題或模式化問題，為此，在一定意義上講，數(shù)學(xué)問題的解決就是不斷尋求規(guī)范化。學(xué)生一經(jīng)形成了自覺的化歸意識(shí)，就可以熟練地化繁為簡、化隱為顯、化難為易、化未知為已知、化一般為特殊、化抽象為具體等等，從而使學(xué)生形成良好的辨證思維能力，培養(yǎng)靈活的思維品質(zhì)。

六、分類思想

對(duì)處于復(fù)雜狀態(tài)或綜合狀態(tài)下的問題，如果無法直接確定它的必然結(jié)果，可以對(duì)復(fù)雜狀態(tài)或綜合狀態(tài)進(jìn)行分類，化成若干個(gè)處于簡單或單一狀態(tài)的問題，通過求解小問題達(dá)到求解大題的目的，即化整為零。

中學(xué)數(shù)學(xué)中有些數(shù)學(xué)問題往往含有參數(shù)，需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，這也是高考中必考的，它可以有效地考查考生對(duì)分類標(biāo)準(zhǔn)的確定，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力；在幾何圖形中研究點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與線、點(diǎn)與面、線與線、線與面、面與面等的位置關(guān)系；排列組合等。分類思想在其它學(xué)科中也時(shí)有體現(xiàn)，應(yīng)給予足夠的重視。

分類思想還有助于培養(yǎng)科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，合理的分類會(huì)使人的記憶更加牢固。

七、極限思想

極限概念的發(fā)展來看，普遍接受其直觀的樸素的極限概念。高中數(shù)學(xué)課程中，對(duì)極限概念的介紹也僅僅是直觀上的，目的在于講解導(dǎo)數(shù)，并會(huì)進(jìn)行運(yùn)用。極限思想在高中物理或化學(xué)中時(shí)常用到。

極限思想有時(shí)會(huì)使我們看到問題的結(jié)論，或產(chǎn)生新的分支。如平行線相交于無窮遠(yuǎn)處；解題時(shí)所用的特例或特值法。

八、符號(hào)化與變元思想

使用符號(hào)化語言和在其中引進(jìn)變元是數(shù)學(xué)高度抽象的基礎(chǔ)，它能夠使數(shù)學(xué)研究的對(duì)象更加準(zhǔn)確、具體和簡捷，容易揭示事物的本質(zhì)。一套形象化的數(shù)學(xué)語言能夠極大地簡化和加速思維過程。特別是高考對(duì)“符號(hào)語言”的考查，不僅僅局限于“用字母表示數(shù)”，還可以用字母或其它符號(hào)表示具有一定通性的“量”(如：數(shù)量、向量、變換、命題、事件、推理等)及運(yùn)算，其特點(diǎn)明確、簡捷。

總之，數(shù)學(xué)是揭示和認(rèn)識(shí)自然規(guī)律的科學(xué)，數(shù)學(xué)思想是一個(gè)人應(yīng)具各的基本品質(zhì)。掌握一定的數(shù)學(xué)思想方法可以使人更理性、更全面地去思考問題，更便捷地從多向選擇方案中定向選擇最優(yōu)方案。擁有一定的數(shù)學(xué)思想，從數(shù)學(xué)思想中抽象出嚴(yán)密的邏輯關(guān)系，升華意識(shí)，提高做事的效率是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的根本。由此，每一個(gè)學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中都應(yīng)當(dāng)掌握一定的數(shù)學(xué)方法，而不是單純會(huì)做題，得高分。