亞式期權(quán)定價(jià)研究綜述

賴 欣 馮勤超

摘要：對(duì)亞式期權(quán)定價(jià)的文獻(xiàn)進(jìn)行分類整理，并就其中一些文獻(xiàn)的觀點(diǎn)進(jìn)行分析評(píng)論。亞式期權(quán)是場(chǎng)外交易中幾種最受歡迎的新型期權(quán)之一，但它的價(jià)格卻沒有解析表達(dá)式，到目前為止，亞式期權(quán)的定價(jià)仍是個(gè)公開問題。在嘗試了大量研究之后，發(fā)現(xiàn)在很早之前提出來的Monte Carlo模擬法定價(jià)是算術(shù)平均亞式期權(quán)的較好近似。

關(guān)鍵詞：亞式期權(quán)；定價(jià)方法；文獻(xiàn)綜述

中圖分類號(hào)：F830文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1672-3198(2009)24-0170-02

1引言

亞式期權(quán)(Asian options)作為新型期權(quán)中的一種，也稱為平均期權(quán)，它實(shí)質(zhì)上是歐式期權(quán)的一種創(chuàng)新。它與歐式期權(quán)的相同點(diǎn)在于它們都是只允許其投資者在到期日當(dāng)天執(zhí)行期權(quán)合同，不同點(diǎn)在于歐式期權(quán)是根據(jù)到期日當(dāng)天的股價(jià)的高低來決定是否執(zhí)行期權(quán)合同，而亞式期權(quán)是根據(jù)合同期內(nèi)的股價(jià)的平均價(jià)格的高低來決定是否執(zhí)行期權(quán)合同。由于歐式期權(quán)到期日的價(jià)值與路徑無關(guān)，只依賴于到期日的股價(jià)，因此很難防止有人操縱到期日的價(jià)格進(jìn)而從中套利，而亞式期權(quán)卻是與路徑相關(guān)的，使用它可以緩解投機(jī)行為。而且，與標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)相比，亞式期權(quán)還有價(jià)格更便宜、可以用來對(duì)沖在指定時(shí)期內(nèi)的風(fēng)險(xiǎn)的優(yōu)點(diǎn)。

亞式期權(quán)是場(chǎng)外交易中幾種最受歡迎的新型期權(quán)之一，但它的價(jià)格卻沒有解析表達(dá)式，到目前為止，亞式期權(quán)的定價(jià)仍是個(gè)公開問題。假定標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格s服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，因?yàn)橐幌盗袑?duì)數(shù)正態(tài)分布變量的幾何平均仍服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。而相應(yīng)算術(shù)平均沒有可以解析處理的特性，故算術(shù)平均亞式期權(quán)比幾何平均亞式期權(quán)的定價(jià)要困難得多。對(duì)幾何平均亞式期權(quán)，我們已得到它的定價(jià)的(顯式)解析解，但算術(shù)平均亞式期權(quán)很可能不存在這種(顯式)解析解。然而，實(shí)際中常見的是算術(shù)平均亞式期權(quán)，幾何平均亞式期權(quán)相對(duì)較少。因此，算術(shù)平均亞式期權(quán)的定價(jià)問題引起許多數(shù)理金融學(xué)家的注意，已有不少的近似解，但至今沒有解析解，因而探尋其合理的價(jià)值估計(jì)方法成為期權(quán)理論的一個(gè)具有重要學(xué)術(shù)價(jià)值的題目。

2亞式期權(quán)定價(jià)

盡管亞式期權(quán)已經(jīng)在實(shí)務(wù)界得到廣泛應(yīng)用，其準(zhǔn)確的定價(jià)公式仍沒有從理論上得到較好解決。對(duì)于亞式期權(quán)的估價(jià)問題，關(guān)鍵是如何確定股價(jià)平均價(jià)格A(T)的概率分布，這是得到解析定價(jià)公式的主要難點(diǎn)。許多學(xué)者從不同角度討論了亞式期權(quán)的定價(jià)思路。

2.1國外研究

Kemna＆Vorst(1990)通過改變波動(dòng)率和敲定價(jià)格提出了一個(gè)幾何平均期權(quán)的定價(jià)解析公式。幾何平均期權(quán)可以用一個(gè)明確的解析式來計(jì)算，因?yàn)槿绻麅r(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，那么價(jià)格的幾何平均值也服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。因此，幾何平均亞式買入和賣出期權(quán)的價(jià)值就可以得出，而算術(shù)平均期權(quán)則不可以。

Turnbull＆Wakeman(TW)(1991)提出了一種近似計(jì)算方法，盡管亞式期權(quán)的分布是未知的，但是算術(shù)平均價(jià)格概率分布的前兩階距是可以求得出來的，他們是基于算術(shù)平均的一種近似對(duì)數(shù)正態(tài)分布，為了定價(jià)期權(quán)而提出平均值的二階矩近似法。

Edmond Levy(1992)則是在此基礎(chǔ)上，找到了一個(gè)更適合前兩階距的對(duì)數(shù)正態(tài)分布，就是用幾何布朗運(yùn)動(dòng)s(t)來近似代替A(T)，這樣就將亞式期權(quán)的定價(jià)轉(zhuǎn)化為常規(guī)歐式期權(quán)的定價(jià)了，從而計(jì)算的算術(shù)平均價(jià)格近似值比TW的近似值更精確。Curran在同年提出了一種基于幾何調(diào)節(jié)方法的近似算術(shù)亞式期權(quán)方法。這個(gè)模型著眼于我們所學(xué)的幾何分布以及標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格在特定點(diǎn)的值。通過對(duì)每個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的數(shù)取自然對(duì)數(shù)，我們就可以得到在幾何分布下的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格，最后求積分計(jì)算。

Hull＆White(1993)在二叉樹的模型上增加一個(gè)結(jié)點(diǎn)，然后運(yùn)用線性內(nèi)插法來計(jì)算每個(gè)結(jié)點(diǎn)的近似平均值，最后通過后向折現(xiàn)計(jì)算出期權(quán)價(jià)格。但是。這種方法不能保證收斂性。

Rogers&Shi(1995)提出了用有限差分法來解亞式期權(quán)問題，他們根據(jù)比例縮放的性質(zhì)，將平均亞式期權(quán)價(jià)格計(jì)算簡(jiǎn)化為解一個(gè)二元拋物線偏微分方程。但是這種方法在于適用于較低的波動(dòng)率和較短的到期時(shí)間。Chalasani，Jha＆Varikooty(1997)在Rogers＆Shi模型的基礎(chǔ)上修改了用來估計(jì)期權(quán)條件期望的隨機(jī)變量z，得出了亞式期權(quán)精確解的下界。Chalasani，Jha＆Varikooty(1998)使用三叉樹法計(jì)算了離散的亞式期權(quán)，而Thompson(2000)改進(jìn)了此方法，使之更精確。

Andreasen(1998)對(duì)Rogers&Shi的模型進(jìn)行了擴(kuò)展，通過改變基準(zhǔn)在數(shù)字上解決亞式期權(quán)的定價(jià)問題。在用有限差分法來解亞式期權(quán)問題上，Tavella和Randall(2000)也做了相關(guān)方面的研究。

Zhang(2001)給出了具有固定敲定價(jià)格的算術(shù)平均亞式期權(quán)的半顯示解，并得到了較好的數(shù)值結(jié)果，但此方法沒有充分利用解在部分區(qū)域中有解表達(dá)式的特征。

2.2國內(nèi)研究

而在國內(nèi)。胡日東在《關(guān)于亞式股票期權(quán)及其定價(jià)方法的研究》中首先提出了奇異期權(quán)問題，并且計(jì)算出亞式期權(quán)的近似計(jì)算公式，由于亞式期權(quán)的算術(shù)平均價(jià)格不再服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，因此難以找到A(T)密度函數(shù)，于是胡日東將幾何布朗運(yùn)動(dòng)s(T)來近似代替A(T)，再找出亞式買人期權(quán)的近似值C(T；S，K)。此方法要根據(jù)亞式買人期權(quán)價(jià)格的近似值是否超出理論邊界來判斷近似計(jì)算公式的合理性。此方法運(yùn)用的是解析法。

1999年，許端和蔡金緒在《亞式期權(quán)估價(jià)的最新進(jìn)展》中提出了利用對(duì)數(shù)正態(tài)分布近似估計(jì)算術(shù)平均資產(chǎn)價(jià)格期權(quán)的價(jià)值。他是用對(duì)數(shù)正態(tài)分布作為資產(chǎn)價(jià)格算術(shù)平均值的近似概率分布，來獲得此類期權(quán)的近似價(jià)格。具體思路是。假設(shè)A服從某種對(duì)數(shù)正態(tài)分布，通過隨機(jī)變量的矩確定所需要的參數(shù)。然后利用關(guān)于常規(guī)期權(quán)的Black-Scholes定價(jià)公式得到亞式期權(quán)的近似估價(jià)。該方法得到的近似期權(quán)估價(jià)公式的取值范圍沒有超出期權(quán)價(jià)值的理論邊界。然后，他們利用Johnson分布近似估計(jì)算術(shù)平均資產(chǎn)價(jià)格期權(quán)的價(jià)值。

關(guān)于金融衍生證券定價(jià)的Monte Carlo模擬方法問題。1999年以前中國期刊上尚未看到有關(guān)研究成果。

2000年黨開宇和吳沖鋒分析了Monte Carlo模擬、幾何平均近似法、二階矩近似法、偏微分方程法和條件期望下限法等五種亞式期權(quán)的定價(jià)方法。他認(rèn)為，用Monte Carlo模擬得出的結(jié)論十分精確，但缺陷是操作麻煩，工作量大，且無法做靈敏度分析，

2004年邵斌和丁娟運(yùn)用LongstaH和Schwartz最近提出的用Monte Carlo模擬法計(jì)算美式期權(quán)的方法在GARCH模型中求解美式亞式期權(quán)，結(jié)果表明和其它數(shù)值方法相比，不僅有相當(dāng)?shù)木_度，而且使用簡(jiǎn)便并具有更廣泛

的實(shí)用性，對(duì)于GARCH模型中運(yùn)用格點(diǎn)法難以求解的浮動(dòng)執(zhí)行價(jià)格的美式亞式期權(quán)同樣可以得到穩(wěn)定解。

2005年馬俊海和張維將重要性抽樣技術(shù)處理特殊衍生證券定價(jià)問題的能力與控制變量技術(shù)、分層抽樣技術(shù)簡(jiǎn)單靈活、易于應(yīng)用的特點(diǎn)有機(jī)地結(jié)合起來，把分層抽樣技術(shù)和控制變量技術(shù)引入重要性抽樣模擬估計(jì)的分析框架，提出更為有效的關(guān)于期權(quán)定價(jià)Monte Carlo模擬的綜合性方差減少技術(shù)I并以基于算術(shù)型亞式期權(quán)定價(jià)為例，進(jìn)行了實(shí)證模擬分析。

2008年孫彥和王子亭研究了亞式期權(quán)與交易帳戶期權(quán)之間的關(guān)系。作為交易帳戶期權(quán)的一種特例，亞式期權(quán)的價(jià)格可以通過一個(gè)簡(jiǎn)單的一維偏微分方程來求解，通過網(wǎng)格離散形式。對(duì)同定敲定價(jià)格的算術(shù)平均亞式期權(quán)進(jìn)行求解，給出方程的數(shù)值解，取得定價(jià)解。

同年，羅付巖和賈貞分析了在標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格對(duì)數(shù)收益服從NIG-Levy，過程的條件下，如何構(gòu)建和計(jì)算等價(jià)鞅測(cè)度，通過Esscher轉(zhuǎn)換得到Q等價(jià)鞅測(cè)度，并以此為基礎(chǔ)尋找風(fēng)險(xiǎn)中性概率的條件。最后利用這些條件探討亞式期權(quán)的數(shù)值定價(jià)問題。利用低差異序列中的Halton、Sobol、Faure序列對(duì)亞式期權(quán)進(jìn)行了數(shù)值定價(jià)分析。

由于算術(shù)平均亞式期權(quán)的路徑相關(guān)性，始終無法得出其定價(jià)的精確解，人們?cè)趪L試了大量研究之后，發(fā)現(xiàn)在很早之前提出來的Monte Carlo模擬法得出的價(jià)格是算術(shù)平均亞式期權(quán)的較好近似。

3基于Monte Carlo模擬的亞式期權(quán)定價(jià)

根據(jù)現(xiàn)有的金融資產(chǎn)定價(jià)理論，除了少數(shù)一些簡(jiǎn)單衍生證券的價(jià)格可以得到比較簡(jiǎn)單的理論計(jì)算公式以外，絕大部分期權(quán)價(jià)格則必須通過數(shù)值分析方法來加以確定。因此，數(shù)值分析方法就成為解決衍生證券定價(jià)問題的十分必要的手段。概括地講，常用的金融衍生證券定價(jià)的數(shù)值分析技術(shù)可分為三個(gè)基本類型：網(wǎng)格分析技術(shù)、有限差分技術(shù)和Monte Carlo模擬技術(shù)。其中，網(wǎng)格分析技術(shù)和有限差分技術(shù)在維數(shù)較低的衍生證券定價(jià)應(yīng)用中得到比較好的應(yīng)用，但對(duì)于基于多標(biāo)的變量和路徑依賴特性的高維衍生證券定價(jià)應(yīng)用時(shí)，由于計(jì)算工作量的迅速增加使得實(shí)現(xiàn)起來十分困難，有時(shí)甚至是不可能的。此即所謂的“維數(shù)災(zāi)難”。而Monte Carlo模擬由于具有比較靈活且易于實(shí)現(xiàn)、估計(jì)誤差及收斂速度與解決問題的維數(shù)獨(dú)立等兩個(gè)明顯優(yōu)勢(shì)，從而能夠較好地解決基于多標(biāo)的變量的高維衍生證券的定價(jià)問題。所以，隨著高維衍生證券發(fā)展越來越快。交易規(guī)模迅速增加，應(yīng)用日趨廣泛，網(wǎng)格分析技術(shù)和有限差分技術(shù)應(yīng)用將會(huì)受到越來越大的限制，Monte Carlo模擬必將在金融衍生證券定價(jià)中發(fā)揮更為重要的作用。

Monte Carlo模擬方法在亞式期權(quán)定價(jià)中應(yīng)用的基本思想是：假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格的分布兩數(shù)已知，將期權(quán)的有效期分成若干個(gè)小的時(shí)間段，利用計(jì)算機(jī)，從樣本中隨機(jī)抽樣來模擬每個(gè)時(shí)刻股票價(jià)格，從而得到股票價(jià)格的-二個(gè)可能路徑，進(jìn)而可求得期權(quán)在到期，日的價(jià)值。這一結(jié)果可看成是到期日期權(quán)的價(jià)值一個(gè)隨機(jī)樣本。不同的路徑得到不同的樣本，最后對(duì)所有的樣本求算術(shù)平均，就可得到到期日期權(quán)的價(jià)值，再根據(jù)無套利原理，將該值折現(xiàn)到當(dāng)前時(shí)刻，即可得期權(quán)當(dāng)前的價(jià)格。

但Monte Carlo模擬在應(yīng)用方面也存在著明顯的不足。對(duì)相當(dāng)一部分金融衍生證券的定價(jià)問題，仍然不能得到理想的結(jié)果。首先，收斂速度比較慢，對(duì)一些復(fù)雜的衍生證券。要想達(dá)到較好的估計(jì)精度，就需要進(jìn)行很多的模擬次數(shù)，否則將產(chǎn)生較大的估計(jì)誤差，其次，由于方法本身所具有的前向模擬特點(diǎn)，使其對(duì)具有后向迭代搜索特征的美式衍生工具的價(jià)格估計(jì)存在著一定的困難。近些年來，人們針對(duì)Monte Carlo模擬方法這些不足。提出了許多有效的改進(jìn)技術(shù)。大大擴(kuò)展了該方法的應(yīng)用范圍和估計(jì)效果。

4總結(jié)

亞式期權(quán)是與路徑相關(guān)的，這樣它通常比標(biāo)準(zhǔn)化的歐式期權(quán)要便宜，且使用它可以緩解投機(jī)行為。因此它在某些情況下是較好的投資和風(fēng)險(xiǎn)控制工具。在許多情況下，在市場(chǎng)上尋求套期保值的公司往往需要為他們?cè)谖磥硪欢螘r(shí)間內(nèi)連續(xù)平穩(wěn)的可預(yù)測(cè)現(xiàn)金流進(jìn)行保值，這時(shí)持有一個(gè)合適的亞式期權(quán)可以對(duì)沖平均價(jià)格的風(fēng)險(xiǎn)，因此，亞式期權(quán)是進(jìn)行金融風(fēng)險(xiǎn)管理的有力工具。

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對(duì)于幾何平均亞式期權(quán)，我們能得到精確的解析解，但是，對(duì)于算術(shù)平均亞式期權(quán)，人們采用了各種方法，但是仍然無法得到解析的定價(jià)公式。對(duì)標(biāo)的算術(shù)平均亞式期權(quán)更多的是以標(biāo)的幾何平均亞式期權(quán)來近似逼近(常見的如二階矩近似法、控制變量法、相似變量代換法)或采用數(shù)值方法。

本文對(duì)亞式期權(quán)定價(jià)的研究理論進(jìn)行綜述，并提出用Monte Carlo模擬對(duì)算術(shù)平均亞式期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，對(duì)學(xué)術(shù)界進(jìn)一些步研究亞式期權(quán)定價(jià)問題起到一定的參考作用。