淺談對勾函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

劉新昌

(新疆農(nóng)一師塔里木高級中學843300)

最近看到有許多學生在網(wǎng)上提出有關(guān)對勾函數(shù)的問題。有人說：對勾函數(shù)的圖像就是雙曲線。也用人說：它不是雙曲線。還有人問：對勾函數(shù)到底怎樣用？針對這一問題，結(jié)合我在教學中的經(jīng)驗，來談一談我自己的一些認識。

一、首先我們來研究對勾函數(shù) 的性質(zhì)

1、

2、 對勾函數(shù)的定義域為：

3、 對勾函數(shù) 的奇偶性為：奇函數(shù)。

4、 單調(diào)性： 在 上是增函數(shù)

在 上是減函數(shù)在 上是減函數(shù)在 上是增函數(shù)

4、對勾函數(shù)的圖像：

二、對勾函數(shù)的一些基本的運用：

在了解了對勾函數(shù)的性質(zhì)之后，我們通過幾個例子來了解它在解決函數(shù)最值中的應(yīng)用。

例1：求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間，并求當 時函數(shù)的最小值。

解：令t=sinx,對號函數(shù) 在（0， ）上是減函數(shù)，故當 時sinx是增函數(shù)，所以 在 上是減函數(shù)。同理， 在 上是增函數(shù)，由于函數(shù) 是奇函數(shù)，所以函數(shù) 在 上是減函數(shù)，在 上是增函數(shù)，由周期性，函數(shù) 在每一個區(qū)間 上是減函數(shù)，在每一個區(qū)間 上是減函數(shù)；函數(shù) 在每一個區(qū)間 上是增函數(shù)，在每一個區(qū)間 上是增函數(shù)。當 時 ，當t=1時即 時y有最小值3。

例2、求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間，并用函數(shù)單調(diào)性定義證明之。

解：利用對號函數(shù)性質(zhì)，容易得出函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是

（-∞，- ），（ ，+∞），函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（- ，0），

（0， ）。下面只證明在區(qū)間上（0， ）是減函數(shù)的情形：

設(shè)任意的 （0， ）,且 ，

= =

因為 （0， ）,且 ，所以

即f(x1)-f(x2)>0

所以f(x1)>f(x2)，f(x) 在區(qū)間上（0， ）是減函數(shù).

評析：本例利用對號函數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間后，再用常規(guī)法證明，簡單明了。

例題變形：

求函數(shù)當自變量在 的最小值。

解析：如果利用均值不等式時，我們可以發(fā)現(xiàn)，時取到等號?？梢姶藭r，等號是不成立的。

遇到以上情況，我們就要想到利用對勾函數(shù)加以解決。（解略）

收稿日期：2009-03-10