牛頓的貓

曾　新

有只貓掉下來(lái)、掉下來(lái)、掉下來(lái)。有只貓掉下來(lái)、掉下來(lái)、掉下來(lái)，原來(lái)是只牛頓貓。

說(shuō)到貓，就有一籮筐的故事。上流社會(huì)的淑女喜歡抱著慵懶的睡貓，中古歐洲的女巫則有黑貓做伴。雖然宮崎駿嘗試在漫畫(huà)《魔女宅急便》當(dāng)中，改變?nèi)藗儗?duì)魔女穿著黑衣服、騎著掃帚的印象，但仍有很多人都認(rèn)為黑貓是不吉祥的象征，以前的人就相信黑貓可以讓僵尸復(fù)活。有趣的是，以前臺(tái)灣人稱(chēng)貌美的女子為黑貓。至于貓的歷史可以追溯到公元前2500多年的古埃及，當(dāng)時(shí)的古埃及人養(yǎng)貓是用來(lái)防老鼠，為了崇敬貓保存埃及人的谷糧，他們甚至以貓為神。女神巴司特即為人身貓頭，巴司特在埃及還有愛(ài)和月亮的意思，將貓奉為月神，很可能和貓可變化的瞳孔有關(guān)。貓對(duì)人類(lèi)最重要的貢獻(xiàn)應(yīng)該是捕捉老鼠，尤其是在農(nóng)業(yè)時(shí)代，人們辛苦耕耘的收獲得靠貓守護(hù)。另外，中古歐洲人也利用貓的捕鼠技術(shù)防治黑死病。貓?zhí)焐褪莻€(gè)狩獵家，它擁有靈敏的耳朵可以在黑夜中聽(tīng)到細(xì)微的聲響，它輕盈的步伐可以無(wú)聲無(wú)息地接近獵物，柔軟的身軀可以像彈簧般快速地捕捉獵物，貓可稱(chēng)為獵殺者中的極品。

薛定諤的貓

貓對(duì)物理也有貢獻(xiàn)，在高深的量子物理學(xué)有所謂的薛定諤的貓，這是著名的物理學(xué)家薛定諤在1935年提出的一項(xiàng)想象實(shí)驗(yàn)。將一個(gè)鋼制的箱子、電子偵測(cè)器和一只貓放在密閉房間內(nèi)，箱子中間有一個(gè)活動(dòng)式隔板，整個(gè)實(shí)驗(yàn)是想利用電子啟動(dòng)毒藥，將貓毒死。首先在箱子內(nèi)放置一顆電子，根據(jù)量子理論的說(shuō)法，這顆電子可能在箱子的任一位置。如果箱子用一隔板分成兩個(gè)區(qū)域，這時(shí)電子出現(xiàn)在其中一個(gè)區(qū)域的機(jī)會(huì)為50％，就像投擲銅板得到字的幾率相同。箱子的其中一個(gè)區(qū)域是密閉的，另一個(gè)區(qū)域會(huì)和外面相連。如果電子在這個(gè)區(qū)域內(nèi)，就會(huì)跑到箱子外頭，這時(shí)電子偵測(cè)器會(huì)偵測(cè)到電子，并釋放出毒氣將貓毒死。因此當(dāng)箱子的隔板放下，毒死貓的機(jī)會(huì)也是50％，而薛定諤的貓會(huì)讓人覺(jué)得量子物理是多么的詭異。

量子物理對(duì)于日常生活的人是件超詭異的學(xué)問(wèn)，想象將一顆籃球投向一面高墻，根本不需要經(jīng)過(guò)計(jì)算，三歲兒童都知道籃球會(huì)反彈回來(lái)。即便你真的用牛頓運(yùn)動(dòng)定律計(jì)算籃球撞向墻壁的行為，或者實(shí)地操作一次，都是同樣的結(jié)果。但根據(jù)量子物理的計(jì)算，籃球是有很小的機(jī)會(huì)能夠穿墻而過(guò)，夠詭異吧!這是因?yàn)榱孔游锢硎怯脦茁蕘?lái)描述萬(wàn)物。自從有了量子物理，我們不再說(shuō)電子是以類(lèi)似行星繞行太陽(yáng)的軌道模式繞行原子核，而是以幾率波的方式分布在原子核四周。物理學(xué)家只能說(shuō)電子在某些區(qū)域出現(xiàn)的幾率較大，也就是這種幾率波的描述方式，才讓看似物體的電子也有類(lèi)似光波的干涉現(xiàn)象。

回頭看看薛定諤的貓，這只可憐的貓被關(guān)在密封的房間內(nèi)，根據(jù)量子物理的哥本哈根解釋?zhuān)灰覀儾淮蜷_(kāi)房間察看，就不會(huì)對(duì)該系統(tǒng)做出任何的干擾。這時(shí)貓的生死只能用幾率來(lái)表示，也就是說(shuō)貓可能是生，也可能是死。唯有打開(kāi)房間之后才能知道結(jié)果，這和一般的認(rèn)知有很大的差異。通常我們認(rèn)為打開(kāi)房間發(fā)現(xiàn)貓被毒死了，顯然在打開(kāi)之前，箱子的隔板放下之后，貓就被毒死的。然而哥本哈根的解釋認(rèn)為這段時(shí)間的貓是處在生和死的疊加狀態(tài)下，亦生亦死，非生非死。以薛定諤的話來(lái)說(shuō)：活貓和死貓是以對(duì)等的部分混合，這只薛定諤的量子貓真是只麻煩的貓。但古典的牛頓的貓也不是只隨便的貓，牛頓的貓牽涉到古典的角動(dòng)量守恒定律，甚至還得出動(dòng)微分幾何和規(guī)范理論。

貓與角動(dòng)量守恒

古典物理中有四個(gè)重要的守恒律，就是說(shuō)有四種物理量在隔絕系統(tǒng)內(nèi)是不會(huì)改變的。這就好比是一個(gè)封閉小國(guó)的貨幣總數(shù)，如果該小國(guó)位于太平洋上的一個(gè)小島，不和其他國(guó)家有任何貿(mào)易行為，沒(méi)有任何的貨幣交換活動(dòng)，并且也不發(fā)行和銷(xiāo)毀貨幣，該國(guó)的貨幣總數(shù)就會(huì)守恒。每個(gè)人擁有的貨幣可能會(huì)增加或減少，但整個(gè)國(guó)家的貨幣總數(shù)是不變的。古典物理中的質(zhì)量、能量、動(dòng)量和角動(dòng)量都是守恒量，后來(lái)加上愛(ài)因斯坦E=mc²的質(zhì)能關(guān)系式，使得質(zhì)量和能量的總和是守恒量。在沒(méi)有外界影響(即沒(méi)有外加力矩)下，一個(gè)系統(tǒng)的總角動(dòng)量是守恒不變的。系統(tǒng)內(nèi)的某個(gè)部分增加角動(dòng)量，就一定會(huì)有某些部分的角動(dòng)量會(huì)減少。嚴(yán)格說(shuō)起來(lái)，角動(dòng)量是一種向量，這個(gè)量除了有大小，還有方向，就像速度一樣。因此守恒除了大小守恒，方向也要守恒，大小和方向必須同時(shí)考慮。直升機(jī)就是靠角動(dòng)量守恒才能飛行，直升機(jī)是由頂端的大型葉片快速旋轉(zhuǎn)，產(chǎn)生向下氣流，將直升機(jī)升起來(lái)。只有頂端葉片的直升機(jī)是飛不起來(lái)的，葉片一旦開(kāi)始旋轉(zhuǎn)，整架直升機(jī)會(huì)以反方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的速度會(huì)比較慢。這是因?yàn)橹鄙龣C(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比葉片大，角動(dòng)量是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量乘上旋轉(zhuǎn)的角速度，根據(jù)角動(dòng)量守恒原理，直升機(jī)會(huì)以較慢的角速度反方向旋轉(zhuǎn)。為了保持直升機(jī)穩(wěn)定，尾翼的葉片是不可或缺的，利用尾翼葉片的旋轉(zhuǎn)讓整架直升機(jī)固定下來(lái)，而改變尾翼葉片的旋轉(zhuǎn)速度也可以控制直升機(jī)的前進(jìn)方向。

角動(dòng)量守恒并不能算是嶄新的近代物理定律，但是有關(guān)角動(dòng)量的問(wèn)題至今仍層出不窮。例如從高空中掉下來(lái)的貓。想象兩手各抓住貓的前肢和后肢，這時(shí)貓呈現(xiàn)四腳朝天的模樣，然后雙手放開(kāi)，讓貓自由落下，并不令人意外，貓會(huì)在空中轉(zhuǎn)身后四腳落地。也許你會(huì)驚訝于貓的靈活動(dòng)作，但這種轉(zhuǎn)身動(dòng)作一直到最近幾十年才被科學(xué)家認(rèn)真研究。貓掉下來(lái)的事件有什么令人困擾的地方?如果考慮剛才提到的角動(dòng)量守恒，你會(huì)發(fā)現(xiàn)這只掉下來(lái)的貓應(yīng)該會(huì)摔個(gè)四腳朝天。當(dāng)一開(kāi)始貓?jiān)诳罩谐仕哪_朝天的模樣，如果只是雙手放開(kāi)，沒(méi)有甩動(dòng)的動(dòng)作，表示一開(kāi)始貓沒(méi)有角動(dòng)量，因此當(dāng)貓落到地面的過(guò)程中不應(yīng)該產(chǎn)生角動(dòng)量。也就是說(shuō)貓不會(huì)轉(zhuǎn)身落地，但真實(shí)情形并不是如此!

在貓下落的情形當(dāng)中，可以想象一條通過(guò)貓身體質(zhì)量重心的水平線，貓的四肢向上，必須經(jīng)過(guò)一次相對(duì)于水平線的旋轉(zhuǎn)才能平安落地，貓是如何做到憑空旋轉(zhuǎn)?早在18世紀(jì)末就有人開(kāi)始研究這個(gè)問(wèn)題，法國(guó)科學(xué)家Marey對(duì)生物的運(yùn)動(dòng)感到有興趣。他在1894年發(fā)展了一套相機(jī)系統(tǒng)可以快速地拍攝一連串貓落下的照片。另一位法國(guó)科學(xué)家Guyon曾解釋貓如何轉(zhuǎn)身落地。角動(dòng)量是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角速度相乘的結(jié)果。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和質(zhì)量不同，一個(gè)物體不管外形如何變化，它的質(zhì)量不會(huì)改變。但是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量卻和物體的外形和旋轉(zhuǎn)軸有關(guān)，相對(duì)于旋轉(zhuǎn)軸的距離越大，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大。例如溜冰選手在冰上做自轉(zhuǎn)的動(dòng)作，當(dāng)雙手張開(kāi)的時(shí)候，相對(duì)于旋轉(zhuǎn)軸的距離就比收手的情形大。因此雙手張開(kāi)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比較大，根據(jù)角動(dòng)量守恒原理，溜冰選手在張開(kāi)雙手和收手的時(shí)候有相同的角動(dòng)量。但張開(kāi)雙手的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大，因此旋轉(zhuǎn)的角速度小，收手的時(shí)候角速度變大，溜冰選手就轉(zhuǎn)得快。Guyon認(rèn)為貓落下的時(shí)候先收縮前肢，

伸展后肢，改變貓前半身和后半身的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，然后前半身和后半身以相反的方向旋轉(zhuǎn)。由于收縮前肢使得前半身的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量小于后半身的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，因此旋轉(zhuǎn)的時(shí)候，前半身轉(zhuǎn)動(dòng)的角度較大。接著貓伸出前肢，收縮后肢來(lái)改變前半身和后半身的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，此時(shí)后半身以原先相反的方向旋轉(zhuǎn)較多的角度，前半身則旋轉(zhuǎn)較少的角度，最后四肢在落地前都能朝向地面。

雖然Guyon的解釋符合角動(dòng)量守恒，但實(shí)際觀察并沒(méi)有發(fā)現(xiàn)貓依照此方式掉落。在1940年，1950年的一本俄國(guó)出版的理論力學(xué)教科書(shū)中提出另一種說(shuō)法，主要是靠貓的尾巴快速旋轉(zhuǎn)，讓貓的身體以反方向旋轉(zhuǎn)落地，就像一架沒(méi)有尾翼的直升機(jī)。但根據(jù)觀察，貓可以在很短的時(shí)間內(nèi)(約1／8秒)旋轉(zhuǎn)180度，并且貓尾巴旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比貓身體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量小很多。若要讓貓?jiān)?／8秒內(nèi)旋轉(zhuǎn)180度，貓的尾巴得在1／8秒內(nèi)以相反的方向旋轉(zhuǎn)數(shù)十圈。簡(jiǎn)直像直升機(jī)旋轉(zhuǎn)的葉片一樣快。此外根據(jù)這種說(shuō)法推論，一些特別修剪過(guò)尾巴的貓是會(huì)摔得四腳朝天。在1960年，英國(guó)生理學(xué)家麥當(dāng)勞曾用切除尾巴的貓做實(shí)驗(yàn)，他發(fā)現(xiàn)這種貓仍會(huì)安全落地。

到了1960年又流行新的解釋方法，新的解釋是來(lái)自于兔子的行為。科學(xué)家發(fā)現(xiàn)兔子也有類(lèi)似的高級(jí)動(dòng)作，當(dāng)兔子四腳朝天地落下，會(huì)有幾個(gè)基本動(dòng)作。兔子會(huì)先彎腰，讓它的身體彎出一個(gè)角度，接著兔子會(huì)伸展它的后肢，讓前半身和后半身近乎垂直，通過(guò)前半身的軸線稱(chēng)作甲軸，通過(guò)后半身的軸線稱(chēng)作乙軸。甲軸和乙軸的夾角近乎90度。此時(shí)兔子的前半身繞著甲軸旋轉(zhuǎn)180度，讓它的前肢朝向地面。根據(jù)角動(dòng)量守恒原理，兔子的后半身必須以相反方向繞著甲軸旋轉(zhuǎn)，但是兔子的后肢距離甲軸較遠(yuǎn)，相對(duì)于甲軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量很大。因此后半身只要向相反方向旋轉(zhuǎn)很小的角度即可。接著換后半身旋轉(zhuǎn)，此時(shí)后半身是繞著乙軸旋轉(zhuǎn)180度。同樣地，兔子的前半身相對(duì)于乙軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量很大，只會(huì)有很小的角度反轉(zhuǎn)，最后兔子的四肢都朝向地面落地。實(shí)際情形并不會(huì)如此繁瑣，兔子同時(shí)進(jìn)行前半身和后半身的旋轉(zhuǎn)，這種高級(jí)動(dòng)作的關(guān)鍵是要先彎腰，彎腰造成前半身和后半身相對(duì)于兩條軸線有不同的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，透過(guò)適當(dāng)?shù)恼{(diào)整達(dá)到轉(zhuǎn)身的目的。

到了1969年，美國(guó)科學(xué)家Kane和Scher在期刊上發(fā)表了新的解釋。他們仔細(xì)觀察貓翻身落下的動(dòng)作，發(fā)現(xiàn)了幾個(gè)特點(diǎn)，當(dāng)中最重要的一點(diǎn)就是沒(méi)有發(fā)現(xiàn)前后身軀的相互扭轉(zhuǎn)現(xiàn)象。先前的解釋方法是將貓的身體分成兩部分，如果前半身順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，后半身就得逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。也就是說(shuō)前半身和后半身之間有相互扭轉(zhuǎn)的現(xiàn)象，以滿足角動(dòng)量守恒，就像雙手?jǐn)Q毛巾一樣，只不過(guò)貓的前后半身旋轉(zhuǎn)角度不同，而Kane和Scher并沒(méi)有發(fā)現(xiàn)前半身和后半身之間有相互扭轉(zhuǎn)的情形。根據(jù)他們的解釋?zhuān)埖粝聛?lái)的時(shí)候，身體呈現(xiàn)彎曲，貓的前半身和后半身都以相同的方向繞各自的軸線旋轉(zhuǎn)，單是這種方式旋轉(zhuǎn)會(huì)多出一些角動(dòng)量。此時(shí)貓的整個(gè)身體必須繞著水平軸線以相反的方向旋轉(zhuǎn)，自然而然地，貓就會(huì)四肢朝下。Kane和Scher將整個(gè)過(guò)程用轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程式描述，并且進(jìn)行了數(shù)值模擬計(jì)算。他們將貓簡(jiǎn)化成兩個(gè)圓錐體，分別代表貓的前半身和后半身，兩個(gè)圓錐體以某個(gè)角度排列，之間用了兩個(gè)椎面體相接，椎面體之間只有滾動(dòng)，沒(méi)有滑動(dòng)，以確保兩個(gè)圓柱體之間沒(méi)有相互扭轉(zhuǎn)的情形發(fā)生。整個(gè)模擬過(guò)程就如預(yù)期想的一樣。

牛頓的貓的問(wèn)題并不是想象的那么簡(jiǎn)單，雖然只是個(gè)古典的角動(dòng)量守恒問(wèn)題，并沒(méi)有牽涉到狹義和廣義相對(duì)論，也沒(méi)有絲毫的量子理論，但直到最近30多年才逐漸有了答案。你可曾猜想過(guò)，一只掉落的牛頓的貓問(wèn)題除了和看似簡(jiǎn)單的角動(dòng)量守恒有關(guān)，還牽涉到古典力學(xué)的完全和非完全系統(tǒng)，甚至加上數(shù)學(xué)的微分幾何理論。先前提到Kane和Scher發(fā)現(xiàn)貓的前半身和后半身之間沒(méi)有扭腰的動(dòng)作，前后身軀都是以相同的方向旋轉(zhuǎn)。若以?xún)蓚€(gè)圓錐體來(lái)代表貓的前后身軀，兩個(gè)圓錐面接觸的地方不會(huì)有滑動(dòng)的情形發(fā)生。這種沒(méi)有滑動(dòng)的現(xiàn)象可以看成圓錐體運(yùn)動(dòng)的一種約束條件。

有約束條件的問(wèn)題并不容易解決，考慮一個(gè)沒(méi)有體積大小的質(zhì)點(diǎn)在三維空間任意移動(dòng)，通?？梢杂梦恢煤退俣葋?lái)描述該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情形。在三維空間中，位置是由三個(gè)數(shù)字表示，也就是三個(gè)坐標(biāo)值，而速度也有三個(gè)分量，總共有六個(gè)數(shù)字來(lái)記錄質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。在古典力學(xué)中，需要六個(gè)獨(dú)立的方程式來(lái)描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，每個(gè)方程式提供一個(gè)數(shù)字的變化情形。如果該點(diǎn)用一根棍子拴起來(lái)，棍子的另一端固定在空間中的某一固定位置上，這時(shí)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)就受到約束。它只能在一個(gè)圓球殼上移動(dòng)，圓球殼的半徑為棍子的長(zhǎng)度，這時(shí)只要6—1=5這個(gè)方程式就可以描述該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，因?yàn)橐呀?jīng)有了一個(gè)約束的條件存在。在貓的問(wèn)題中，兩個(gè)圓錐體之間的限制在于圓錐面必須黏在一起，但是之間的滑動(dòng)和滾動(dòng)又屬于不同的物理問(wèn)題。Kane和Scher考慮的滾動(dòng)情形屬于完全系統(tǒng)，而先前的解釋屬于非完全的滑動(dòng)。雖然Kane和Scher宣稱(chēng)沒(méi)有看到貓有扭腰的動(dòng)作，貓掉落的問(wèn)題應(yīng)該屬于完全問(wèn)題。但直到近幾年，仍有麻省理工學(xué)院的學(xué)生用非完全的方式討論此一問(wèn)題，甚至動(dòng)手制作儀器進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

牛頓的貓的問(wèn)題也可以從數(shù)學(xué)方面下手，以更廣義的方法研究貓掉落的問(wèn)題，允許貓以各種姿勢(shì)下降。例如將貓的頭朝下，就得用更抽象的手段來(lái)看牛頓的貓，或者說(shuō)用抽象的手段來(lái)看一個(gè)可變形物體的方位變換問(wèn)題。另外牛頓的貓還有最佳化的問(wèn)題，也就是說(shuō)要用什么樣的翻轉(zhuǎn)方式才是最理想，這部分就和控制理論有關(guān)。早期有關(guān)牛頓的貓的數(shù)學(xué)理論是要將物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家的規(guī)范理論連接起來(lái)，希望一個(gè)物體外形空間在物理學(xué)家的規(guī)范理論中扮演基本空間或時(shí)空的角色。牛頓的貓掉落的問(wèn)題可以將貓的外形想象成在空間中一組點(diǎn)的集合，這個(gè)點(diǎn)的集合看起來(lái)就像一只貓。貓四腳朝天地掉下來(lái)，則看成點(diǎn)集合在空間中向下掉落，當(dāng)這些點(diǎn)落到地面，整個(gè)點(diǎn)集合的外形沒(méi)有改變，只有方向改變。這問(wèn)題有點(diǎn)像是莫比烏斯帶，一根指向上方的箭頭沿著莫比烏斯帶平行地前進(jìn)，當(dāng)箭頭繞回來(lái)的時(shí)候，方向卻指向下方。在空間中代表貓外形的點(diǎn)也有類(lèi)似的方向改變，只不過(guò)在整個(gè)變化過(guò)程中有一個(gè)約束條件，就是角動(dòng)量必須守恒，數(shù)學(xué)家就是要處理這只牛頓貓的規(guī)范理論。

牛頓的貓的問(wèn)題可不是個(gè)無(wú)聊的問(wèn)題，在實(shí)際運(yùn)用和理論上也不簡(jiǎn)單，它出現(xiàn)在許多地方。例如溜滑板運(yùn)動(dòng)，滑板選手在非常陡峭的滑板場(chǎng)地做出許多不可思議的轉(zhuǎn)體動(dòng)作。當(dāng)滑板選手借助騰空的時(shí)候，在空中做出扭腰轉(zhuǎn)體的高級(jí)動(dòng)作，這些動(dòng)作也都和角動(dòng)量有關(guān)。另外像是在跳水、體操和花樣滑冰，也都有空中轉(zhuǎn)體的動(dòng)作。除了地球上的活動(dòng)外，在太空中也有牛頓的貓的現(xiàn)象，航天員在航天器外回頭拿取身后的工具，這也有角動(dòng)量的問(wèn)題。航天器的控制系統(tǒng)也不例外，看來(lái)牛頓的貓并不會(huì)比薛定諤的貓來(lái)得簡(jiǎn)單!