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    求解特殊積分的若干方法

    2009-04-12 00:00:00
    新課程·上旬 2009年23期

    摘 要:積分學是數(shù)學分析的重要組成部分。熟練掌握積分學的相關內容是非常有必要的。主要論述無窮積分和瑕積分這些特殊積分的計算。由于無窮積分和瑕積分在知識結構上不是相互依存的關系,而是并列存在的關系,因此在討論無窮積分和瑕積分的計算問題時,將無窮積分的相關內容歸為一項,將瑕積分的相關內容歸為一項。指出無窮積分和瑕積分是并列存在的,但它們之間也有一定的聯(lián)系。論述了求解特殊積分的若干方法。

    關鍵詞:無窮積分 瑕積分 方法

    一、研究現(xiàn)狀

    數(shù)學分析是數(shù)學及相關專業(yè)最重要的一門基礎課程之一,也是這類專業(yè)的學生進入大學后最早面對的課程之一。許多數(shù)學工作者都曾從事這方面的研究,并取得了豐碩的成果。20世紀初年勒貝格開創(chuàng)了可列可加測度的積分論,即實變函數(shù),也稱實分析。復變函數(shù)論繼續(xù)向縱深發(fā)展,形成復分析。以函數(shù)空間為背景的泛函和算子理論,開始了泛函分析的歷程。三角級數(shù)論發(fā)展成的各種各樣的傅立葉分析。20世紀分析學的另一個特征是處理高維空間中曲線曲面,多變量函數(shù)的整體特征,這需要拓展學生知識和代數(shù)工具,形成流形上的積分。它使微分幾何學,偏微分方程,多復變函數(shù)論等學科相綜合,形成當代數(shù)學中的主流方向。與此同時,研究多元函數(shù)的反函數(shù),多元積分的外微分形式,逐漸成為分析學中的基礎知識。

    20世紀的分析學基本上解決了線性空間上的線性算子(線性微分方程)的課題,目前非線性分析已成為最活躍的數(shù)學分支之一。微積分的基礎雖已嚴密化,但是無窮小量卻不再是一個量,而是一個變化過程。為了使無窮小和無窮大作為一個量重返數(shù)壇,羅賓遜在1960年將實數(shù)系R擴充為超實數(shù)系R*,無窮小量作為實數(shù)系R*的數(shù),使極限過程的表示更為簡單,這稱為非標準分析。

    而積分學作為數(shù)學分析的重要組成部分,是數(shù)學專業(yè)及物理、化學、建筑等其他相關專業(yè)的學生必備的基礎知識。所以,研究無窮積分、瑕積分的計算具有十分重要的意義。我國的數(shù)學工作者在這個方向也做出許多成績。比如蘭州交通大學數(shù)理與軟件工程學院的許軍保老師于2004年在《商洛師范??茖W校學報》上發(fā)表了《瑕積分計算的簡化》。另外,還有許多從事這方面研究的數(shù)學工作者也取得了不少的成績。由于本人水平有限,在這里只是淺談無窮積分、瑕積分的計算方法。

    二、無窮積分的求解方法

    1.基本概念與性質

    (1)定義

    注:本道例題中,所求積分轉化為了一個瑕積分和一個無窮積分的和。

    四、結論

    無窮積分與瑕積分統(tǒng)稱廣義積分,是積分理論中的重要內容。深刻認識無窮積分與瑕積分的關系,對正確把握常義積分與廣義積分的區(qū)別和聯(lián)系具有十分重要的作用。而廣義積分又可以看作是定積分與函數(shù)極限的結合,因此有關定積分的計算公式和技巧幾乎都能應用于廣義積分。其中最典型的就是分部積分法。

    前面已經(jīng)說過無窮積分和瑕積分在知識結構上不是相互依存的關系,而是并列存在的關系。因此本文討論了幾種有關無窮積分的計算方法,討論了幾種有關瑕積分的計算方法。其中定義法、分部積分法是計算廣義積分最根本的方法。但是,對于那些有一定難度的題目,就需要一些解題技巧,這需要讀者自己去不斷總結。

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    作者單位:四川省萬源市萬源中學

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