巧用對稱 化繁為簡

利用對稱思想巧解數學題，能使我們發(fā)現解題技巧，縮短解題過程，使復雜問題得到簡便的解答，高斯求和就是運用對稱思想解題最典型的例子。

一、利用對稱性解決求和、驗證類問題

例1:計算右框中各數的和。

將“10”所在的正方形對角線作為對稱軸，則所有互為對稱點的兩個數的和都是20，如9+11=8+12=…=20，框中共有55組(1+2+3+…+9)對稱點，對稱軸上有10個10，故框中所有數的和是20×45+10×10=1000。

例2:有一個三角形如圖1所示，不知是否是直角三角形，現沒有量角器，你能否利用已學過的知識進行判斷?

方法一:自制一個直角與三角形的最大角進行比較。將一張白紙對折一次后[如圖2(1)所示]，再對折一次，讓第一次的對折線的兩個部分重合[如圖2(2)]，得到直角∠BOC[如圖2(3)]。

理由:此方法充分利用對稱性特點，第一次對折得到∠BOA=180°，第二次對折得到∠BOC=90°，然后與三角形的最大角進行比較，若相等，則是直角。

方法二:如圖3，做一個與已給三角形全等的三角形，然后進行拼接，觀察C、B、D三點是否在一條直線上。

理由:此圖中的△ABC與△ABD關于直線AB成軸對稱，如果C、B、D三點不在一條直線上，則有∠ABC≠90°。

二、利用對稱性解決鏡子成像類題

鏡子里的圖形與原來的圖形是成軸對稱的知識點是中考的一個熱點，下面例談此類題的兩種常用解法。

例:小亮在鏡中看到身后墻上的時鐘如下，你認為實際最接近八點的是()

解法一:背面讀法:有關鐘表的像的考題都是印在試卷紙上的，可以從紙的背面按正常讀法去讀，卻可得到正確答案。

A是4:10，B是3:55，C是7:50，D是8:05，所以選D。

解法二:左右翻折法:只要將其進行向右翻折即可得到原圖像，具體如下圖，很容易得到正確答案為D。

三、利用對稱性解決圖案設計類題

例:請你運用“兩個圓、兩個三角形、兩條線段”，設計一幅軸對稱圖形，并用簡練的文字說明這幅圖形的名稱(或創(chuàng)意)。題中所給圖形均已滿足軸對稱要求，只需注意將兩個三角形成軸對稱放在一起就行了。

解:

作者單位:江蘇省連云港贛榆縣宋莊中學