對一道物理競賽試題的解析

■張文獻(xiàn)

對一道物理競賽試題的解析

■張文獻(xiàn)

一、試題提出的背景

帶電粒子在電場、磁場和重力場組成的復(fù)合場中的運動規(guī)律十分典型，且該部分知識是高中物理中許多重要定理、定律、運動模型的載體，因此在高考中占有很重要的地位。近幾年的高考物理試題特別是壓軸題與一些競賽題“長得很象”，將物理競賽題改編成高考試題，雖然降低了一些難度，但仍讓相當(dāng)多的考生一籌莫展。現(xiàn)對一道不難的物理競賽試題進(jìn)行分析、引申，希望對更多同學(xué)有所幫助。

二、試題及分析

試題：如圖1所示，質(zhì)量為m、電量為q的帶正電粒子，從垂直紙面向里磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中由靜止釋放，不計空氣阻力，當(dāng)?shù)刂亓铀俣葹間.試求粒子在磁場中運動的最大深度和最大速度。

分析：帶電粒子在運動過程中受到重力和洛侖茲力這兩個力的作用，開始時粒子在重力作用下而向下運動，粒子隨后受到的洛倫茲力與速度方向垂直，且洛侖茲力的大小和方向都在隨時間變化，因此粒子所受合力為變力，且合力方向與速度方向不在一條直線，粒子將做復(fù)雜的曲線運動。由于洛侖茲力始終不做功，故粒子的動能和重力勢能相互轉(zhuǎn)化。粒子在水平方向上受到洛侖茲力的水平分量而做變加速運動，豎直方向受到重力和洛侖茲力的豎直分量而做變加速運動。粒子運動到最大深度（即軌跡曲線最低點）處，速度方向必沿水平方向，洛侖茲力和重力的合力提供向心力，以后粒子將斜向上運動，由能量關(guān)系可知此時粒子速度最大。

三、三種解法

解法一：微元求和法.

在粒子運動軌跡上任取一點A，令粒子在此點速度為，以水平向右方向為x軸，豎直向下為y軸建立直角坐標(biāo)系，將速度v分解為vx和vy，將洛侖茲力f分解為fx和fy，如圖2所示。則有：

將①式兩邊同乘以△t（△t→0）得：

fx△t表示在極短時間△t內(nèi)粒子在x方向的合力的沖量，vy△t表示在時間內(nèi)粒子在y方向的位移.由動量定理知粒子從開始到運動至最低點這過程中，粒子水平方向上合力的沖量等于粒子水平方向動量的變化。

③式兩邊求和分別得：

又因為粒子從開始到運動至最低點這過程中只有重力做功，故由動能定理得：

微元求和法是分析、解決高層次物理問題的常用方法。也是局部到整體的思維方法。此題粒子在x方向只受洛侖茲力的水平分量作用，微元求和后得出一個重要結(jié)論：粒子在x方向的速度改變△v與y方向的位移△y成正比，即

解法二：數(shù)學(xué)判別式法。

粒子作曲線運動到最低點時速度最大為vm，方向沿水平方向，令粒子軌跡曲線最低點的曲率半徑為ρ。

則由向心力公式得：

這是關(guān)于的一元二次方程，在題設(shè)條件的約束下，最低點的速度大小為唯一的確定值，故關(guān)于的二次方程判別式為零。

解法三：建立物理模型法。

粒子開始時速度為零，可設(shè)想其具有沿水平向右的速度和水平向左的速度.由于初速度為零，則和大小相等，且使對應(yīng)的洛侖茲力。則粒子在以后的運動過程中受到三個力作用：重力mg，與對應(yīng)的洛侖茲力，與對應(yīng)的洛侖茲力.由于f1與mg相平衡，粒子在這兩個力作用下做勻速直線運動，粒子所受另一個力提供向心力，使粒子做勻速圓周運動，如圖3所示.則粒子的曲線運動可以看作以速度做水平向右的勻速直線運動和以速度在同一平面內(nèi)做逆時針勻速圓周運動的合運動。這樣在任一時刻粒子的速度是和的矢量和，曲線運動最低點即圓周運動的最低點，此時和同向故合速度最大，。粒子從開始到最低點下降的高度為圓周運動直徑，即由洛侖茲力提供向心力得：由1011式得

此方法關(guān)鍵在于建立恰當(dāng)?shù)奈锢砟Ｐ?，將?fù)雜的曲線運動分解成兩個簡單運動，求解較簡單。

四、試題引申：

解法三還可求出任一時刻粒子的運動軌跡坐標(biāo)方程和速度方程.現(xiàn)提供求t時刻粒子軌跡坐標(biāo)方程的解法：

所以粒子的軌跡坐標(biāo)參數(shù)方程為：

粒子的運動具有周期性，粒子的運動軌跡是一條滾輪曲線，如圖5所示。

該試題中帶電粒子由靜止釋放，如果粒子開始時就有初速度，那該怎么求解呢？這時同樣給粒子附加沿水平方向向左，向右速度大小相等的速度，由于這兩個方向相反速度的合速度為零，因而不影響粒子的運動，粒子以后的運動可以看作以速度v1水平向右的勻速直線運動和以速度v2與v0的合速度作勻速圓周運動的合運動，如圖6所示.如果該空間還有恒定電場，又該如何來求解呢？這時可以將重力mg和電場力Eq等效成一個恒力，相當(dāng)于試題中的恒力即重力來求解，這里不再贅述。

此道試題是帶電粒子在復(fù)合場中運動的一道經(jīng)典題目，由它可以引申出很多類型的試題。2008年江蘇省高考物理試卷第14題就是改編自這道競賽試題。對此物理競賽試題透徹掌握了，那高考試題就迎刃而解了。老師要能把握高考命題走向，同時要有扎實的基本功，抓住問題的本質(zhì)，高屋建瓴地給學(xué)生用通俗易懂的方式講解。通過一題多解，一題多變，對學(xué)生進(jìn)行物理競賽輔導(dǎo)，拓寬學(xué)生的知識面，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，有利于優(yōu)秀學(xué)生的成長和提高，增強他們學(xué)習(xí)物理的興趣，為他們?nèi)蘸蟮陌l(fā)展打下堅實的基礎(chǔ)。

(作者單位：湖北省武鋼三中)

責(zé)任編輯 張 泉