de Sitter空間中的緊致2-調(diào)和類時子流形

李　影，　宋衛(wèi)東

(安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)計算機科學(xué)學(xué)院，安徽 蕪湖　241000)

?

de Sitter空間中的緊致2-調(diào)和類時子流形

李影，宋衛(wèi)東

(安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)計算機科學(xué)學(xué)院，安徽 蕪湖241000)

摘要：利用活動標(biāo)架法，得到了de Sitter空間中的緊致2-調(diào)和類時子流形的一個積分不等式以及該子流形成為極大類時子流形的關(guān)于其第二基本形式模長平方一個拼擠定理.

關(guān)鍵詞：de Sitter空間；2-調(diào)和映射；類時子流形

按照J(rèn). Eells和L. Lemmaire在文獻[1]中的設(shè)想，姜國英在文獻[2，3]中討論了黎曼流形間的2-調(diào)和映照，歐陽崇珍在文獻[4]中討論了黎曼流形M到偽黎曼流形N的2-調(diào)和等距浸入，得到這種等距浸入是2-調(diào)和映照的充要條件以及偽黎曼空間型的2-調(diào)和類空子流形的Pinching現(xiàn)象.從相對論的角度來說，偽黎曼流形的子流形或許比黎曼流形的子流形更有意義，它們在研究方面有很多類似的地方，但是也有很多不同之處.對于de Sitter空間中的類空子流形，目前已有許多研究結(jié)果.文獻[5]將de Sitter空間中的子流形分為類空、類時、類光子流形.文獻[6]給出了de Sitter空間中2-調(diào)和類空子流形的一個積分不等式及其Pinching現(xiàn)象.本文仿照其方法，建立了這類空間中2-調(diào)和類時子流形的一個積分不等式以及該子流形成為極大類時子流形的關(guān)于其第二基本形式模長平方一個拼擠定理.具體結(jié)果如下：

S

則Mn是極大的.

1預(yù)備知識

本文約定各類指標(biāo)取值范圍

1≤A,B,C,…,≤n+p;1≤i,j,k,…,≤n;n+1≤α,β，γ，…,≤n+p.

設(shè)Ln+p+1是n+p+1維實向量空間Rn+p+1并賦予內(nèi)積

=-δij,=0,=δαβ，

KABCD=εAεBc(δACδBD-δADδBC).

(1)

(2)

(3)

其中h,ξ,Rijkl,Rαβkl分別是Mn的第二基本形式，平均曲率向量，曲率張量，法曲率張量.

定義

結(jié)合(1)式，則有

(4)

(5)

在此需要如下引理：

(7)

(8)

2定理證明

定理1的證明

由(6)式可知，

(9)

因此，

(10)

由柯西不等式得

(11)

另外，由文獻[6]，有

(12)

(13)

對(7)式求共變導(dǎo)數(shù)并求和可得

對上式調(diào)整指標(biāo)，再利用(8)式有

(14)

結(jié)合(11)-(14)式，則有

由于Mn是緊致無邊的，根據(jù)Stocks定理，對上式兩邊積分即得定理1的證明.

定理2的證明

≥-n2H2S+cn3H2=n2H2(-S+cn).

所以，當(dāng)S0時，能得到H=0，即Mn是極大類時子流形.因此，定理2得到證明.

參考文獻：

[1]EELLS J, LEMAIREL. Selected topics in harmomic maps[J]. CBMS 50, AMS, 1983.

[2]姜國英.Riemmann流形間的2-調(diào)和映照及其第一、第二變分公式[J].數(shù)學(xué)年刊，1986，7A：389-402.

[3]姜國英.Riemann流形間的2-調(diào)和等距浸入[J].數(shù)學(xué)年刊，1986，7A：130-144.

[4]歐陽崇珍.偽黎曼空間型的2-調(diào)和類空子流形[J].數(shù)學(xué)年刊，2000，21A：649-654.

[5]劉海明，苗佳晶，許宏文，葛禮峽.廣義De Sitter空間中的類時超曲面[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2011，41(16)：193-200.

[6]舒世昌，劉三陽.de Ditter空間中的2-調(diào)和類空子流形[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報，2003，20(1)：135-138.

[7]孔令令，裴東河.四維Minkowski空間中類時超曲面的de Sitter Gauss映射的奇點分類[J].中國科學(xué)A輯：數(shù)學(xué)，2007，37(6)：751-758.

[8]沈一兵.關(guān)于偽Riemmann流形的極大子流形[J].杭州大學(xué)學(xué)報，1991，18(4)：371-376.

[9]高真圣，歐陽崇珍.局部對稱偽黎曼流形中的2-調(diào)和類空子流形[J].南昌大學(xué)學(xué)報，2004，28(1)：12-16.

[10]宋衛(wèi)東，江桔麗.關(guān)于局部對稱偽黎曼流形中的2-調(diào)和類空子流形[J].系統(tǒng)科學(xué)與科學(xué)，2007，27(2)：170-176.

[11]胡有婧，紀(jì)永強.de Sitter空間中的緊致極大類時子流形[J].吉林大學(xué)學(xué)報，2014，52(5)：895-900.

DOI：10.14182/J.cnki.1001-2443.2016.04.006

收稿日期：2015-06-20

基金項目：國家自然科學(xué)基金(11071005)；安徽師范大學(xué)研究生科研創(chuàng)新與實踐項目(2015cxsj108zd).

作者簡介：李影(1991-)，女，安徽阜陽人，碩士研究生，主要從事微分幾何研究.通訊作者：宋衛(wèi)東(1958-)，男，安徽桐城人，教授，主要從事微分幾何研究.

中圖分類號：0186.12

文獻標(biāo)志碼：A

文章編號：1001-2443(2016)04-0338-04

The Compact 2-Harmonic Timelike Submanifolds in a de Sitter Space

LI Ying,SONG Wei-dong

(College of Mathematics and Computer Science, Anhui Normal University, Wuhu 241000, China)

Abstract:Based on the moving frames, an integral inequality about compact 2-harmonic timelike submanifolds was obtained in a de Sitter space and a pinching theorem about the squared norm of the second fundamental form for the compact 2-harmoinc timelike submanifold in a de Sitter space was given.

Key words:de Sitter space; 2-barmonic map; timelike submanifold

引用格式：李影，宋衛(wèi)東.de Sitter空間中的緊致2-調(diào)和類時子流形.安徽師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2015，38(5)：338-341.